3.1.1第一课时函数的概念教学设计2023-2024学年高一上学期数学人教A版

教材：人教A版高中数学必修第一册函数的概念教材分析本节课选自人教A版（2019）第三章函数的概念与性质中的《3.1.1函数的概念》的内容.，函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学，在高中数学中占有很重要的比重.函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终.而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础,在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中,函数是基本数学对象；在实际应用中,函数是数学建模的重要基础.学生对于函数并不陌生，初中阶段只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.在学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的概念，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.课时教学目标及目标解析经历“用集合语言表述函数概念的过程,发展学生数学建模、数学抽象的能力.经历理解y与f(x)的含义,能用函数的定义刻画简单具体的函数的过程,发展学生的逻辑推理、数学抽象的能力.经历由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程,发展学生数学抽象的能力.经历运用函数三要素判断函数相等的过程，发展逻辑推理能力。目标解析（1）学生从具体实例出发,能在初中“变量说”的基础上,进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素,构建函数的一般概念。（2）学生能在确定变量变化范围的基础上,通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系,理解函数对应关系的本质.体会引入符号f表示对应关系的必要性。（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上,归纳共性进而抽象出函数概念,体验用数学的眼光看待事物,发展数学抽象素养。三、教学问题诊断分析对于函数的研究，其大致框架是：函数的事实函数概念的定义与表示函数的性质基本初等函数.本节要完成从事实到概念（定义与表示）再到性质的学习，使学生构建函数的一般概念。（1）应调动学生已有的函数学习经验，同时要防止负迁移；（2）概念内涵、函数要素的发现等，对于大多数学生而言是困难的，特别是用集合语言和对应关系表述概念，是非常数学化的，在确保学生具有领会定义实质、面对具体问题能应用的水平时，可引导学生进行适当的自主探究发现，以深化了解.四．教学重难点1.教学重点：理解函数的概念，掌握函数的三要素.2.教学难点：（1）能从不同情境中找出函数的三要素，抽象概括出函数的概念，培养学生的数学抽象素养.；（2）理解实数集合间一对多、多对一的对应关系；五．教学条件支持及教学方法本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念,会涉及函数值的计算、图象的应用及分析所得信息,因此可以借助于多媒体解决以上问题,因为课件容量大，可以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上。以讲授法、启发式教学为主，通过对四个实例的分析与比较，逐步归纳出函数具有的共性，在过程中不断启发学生思考，从而归纳出用集合和对应的语言描述的函数的概念。六．教学过程设计思考1：观察四幅图片（PPT展示），你有什么发现？师生活动：1.学生观察章头图，分析其中有哪些图片、图片中透露出什么信息；图片中所表现出的运动与变化设计意图通过对学生图片表现出的运动与变化，激发学生对未知领域的好奇心与学习兴趣，并由此体会函数在现实中的广泛运用，从而使学生感受到进一步学习函数的必要性，引起学生兴趣。思考2初中已经接触过函数的概念,我们是如何定义函数的？学生思考，独立完成，给出答案设计意图通过复习函数的定义来引入，巩固旧知，建立新旧知识间的联系，降低了学生的认识难度，使新课内容更易学生接受，便于接下来的课堂教学.追问：正方形周长l与边长x的关系为正比例函数y=x与y=x学生思考，独立完成，给出答案设计意图由于学生知识的限制，没法判断函数是否相等。因此引起认知冲突，说明进一步研究函数概念的必要性。问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）可以怎么表示？它是函数吗？师生互动：学生先独立思考,再和小组同学交流确认.对应关系是S=350t,并且对于任意的时刻t,都有唯一确定的路程S与它对应.因此,这是一个函数.设计意图复习函数解析式，进一步复习初中函数概念，为过渡到高中概念做铺垫（2）思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？学生思考，独立完成，给出答案设计意图通过题目引出认知冲突过渡到研究函数中变量范围的必要性，自然将函数由变量之间的对应转变为集合与集合的对应。我们能够得到变量s与时间t之间的准确关系吗？学生观察PPT，独立思考，回答问题教师总结补充，即在初中的函数定义中给变量加上范围设计意图通过对变量s与t之间的准确关系的描述，将初中的变量与变量之间的对应转变为高中的集合与集合之间的对应，自然而然的建立起函数概念。问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天,如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么：你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？设计意图通过前面两个问题让学生继续通过初中对函数概念的认知,判断是否为函数.（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示,给出这个问题中w与d对应关系的精确表示吗？师生活动：学生回忆刚才老师的示范,独立思考,初步形成函数概念的精确表示,并试着通过集合语言来精确表示具体的函数.问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AirQualityIndex,简称AQI）（1）你能找出中午12点的空气质量指数吗？你认为这里的I是t的函数吗？师生互动：学生小组交流,教师引导学生可以举例说明,比如：你能找到中午12时的I值吗？学生的答案不一,是否说明对于任一时刻t,无法找到唯一确定的I值与它对应呢？由于误差,导致答案不一,但对应的I值确实是唯一存在的.设计意图：学生根据图像描述对应关系有困难特别是在值域不能完全确定时通过引入一个较大范围的集合使函数值“落入其中”这是学生经验中不具备的实际上如果用映射观点看这时的映射就是非满射，为此在问题（1）之后先让学生认可图象表示一个函数然后再通过教师讲解给出对应关系的描述方法从而化解难点。这里学生只要理解I是t的函数即可。（2）你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？学生活动：学生按照前面的精确描述,学生已经形成了“集合对应说”下的函数概念模式,但是对应关系是图象,学生不能确定.教师按照定义解释图象对应关系存在的合理性.对于函数值的集合本题中无法精确的表示,教师引导学生可以通过函数值所在的集合来代替函数值的集合,体现了函数概念中,对于集合B的容纳性.设计意图：学生根据图像描述对应关系有困难特别是在值域不能完全确定时通过引入一个较大范围的集合使函数值“落入其中”这是学生经验中不具备的实际上如果用映射观点看这时的映射就是非满射为此在问题（1）之后先让学生认可图象表示一个函数然后再通过教师讲解给出对应关系的描述方法从而化解难点。这里学生只要理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了。问题4.国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？（1）你认为按表1给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？（2）如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？师生互动：经历前面三个例子的探究过程,学生已经可以独立形成集合对应下的函数概念的精确描述,学生自由发言,总结出本题函数的精确刻画。问题5观察表格，思考上述4个例子的共同特征？师生活动：给学生充分思考的时间,引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程。教师引导学生得出：（1）都包含两个非空数集,用A,B来表示;（2）都有一个对应关系;（3）对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y与它对应.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中,要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象函数概念,并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点,突出“在学生初中已有函数认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素）,用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点。抽象归纳概念、辨析概念函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)，x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。注意：对函数符号y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)不是f与x相乘。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；追问：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？【答案】函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。设计意图通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。例1(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值例2下列图形中不是函数图象的是例3例3下列各组函数中是同一个函数的是A.y＝x＋1与y＝B.y＝x2＋1与s＝t2＋1C.y＝2x与y＝2x(x≥0