四川省洪雅中学校2023年高考数列命题分析及高考数学复习建议课件

立足基础和素养

突出应用和创新—2023年高考“数列”专题命题分析一、考查内容分析二、命题思路分析三、2024年复习建议

数列是刻画离散现象的数学模型，是高中数学的重要内容之一。由于其在测试学生的逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生的创新意识和创新能力等方面有着不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位。从2023年高考数学试卷中，对数列专题的考查符合《普通高中数学课程标准（2017年2020年修订）》〔以下简称《课标（2020年修订）》〕的要求。试题坚持素养导向、能力为重的命题原则，重视数学本质，突出理性思维、批判质疑、勇于探究的科学素养，体现了对学生关键能力的考查；同时，试题密切联系实际生活，让学生体会生活中数学的存在、作用和魅力，激发其学习热情和科学精神，对学生的数学基础、关键能力、学科素养和心理素质都提出了很高的要求，在引导高中数学教学破除题海战术、题型套路和机械刷题等方面具有良好的导向作用。一、考查内容分析考题分值考点考向情境载体关键能力核心素养2023年全国甲，5理科5等比数列及其前n项和等比数列的性质，求和数学推理学习逻辑思维能力逻辑推理数学运算12数列求和及其综合应用累乘法求通项，错位相减法求和数学运算学习运算求解能力数学运算2023年全国甲，172023年全国甲，5文科5等差数列及其前n项和等差数列的性质，求和的基本运算数学运算学习运算求解能力数学运算2023年全国甲，135等比数列及其前n项和等比数列及其前n项和基本运算数学运算学习运算求解能力数学运算2023年全国乙，10理科5等差数列的性质求等差数列中的项数学推理学习逻辑思维能力逻辑推理数学运算2023年全国乙，155等比数列的性质利用等比数列的性质求项数学推理学习逻辑思维能力逻辑推理数学运算考题分值考点考向情境载体关键能力核心素养2023年全国乙，13文科

5等比数列的运算利用等比数列的通项求项基本量运算数学运算学习运算求解能力数学运算2023年全国乙，1812等差数列通项及其前n项和求等比数列通项及其前n项和数学运算学习运算求解能力数学运算2023年新课标Ⅰ卷，75等差数列性质及其前n项和等差数列的判断及其前n项和，充分必要条件数学推理学习逻辑思维能力逻辑推理数学运算2023年新课标Ⅰ卷，2012等差数列的性质和和通项利用等差数列性质求公差数学运算学习运算求解能力逻辑推理数学运算2023年新课标Ⅱ卷，85等比数列性质及其前n项和等比数列的前n项和公式的应用数学运算学习运算求解能力数学运算2023年新课标Ⅱ卷，1812等差数列通项及其前n项和等差数列奇偶结合分组求和法数学运算学习运算求解能力数学运算2023年北京卷105数列单调性利用递推可判断数列的性质数学推理学习逻辑思维能力逻辑推理数学运算2023年北京卷145等差、等比数列的通项公式及求和等差、等比数列的通项公式及求和数学运算学习运算求解能力数学运算数学抽象2023年北京卷2112等差数列等差数列运算求解和反证法证明数列数学推理学习数学运算学习逻辑思维能力运算求解能力逻辑推理数学运算

（2）考查题型有单选题、多选题（只在新高考试卷中出现）、填空题与解答题，每份试卷的解答题中均有数列试题，全国甲卷、乙卷中数列试题难度中等或偏易,新高考卷数列解答题有一定难度.同时新高考卷中为数列与导数的综合，北京卷中的数列解答题也出现在了压轴题的位置.（3）考查内容有：数列的通项；数列的前n项和，各项和（上海卷）；等差（比）数列；等差（比）数列的性质；递推数列；数列通项与前n项和的关系；证明与数列有关的不等式或求与数列有关的不等式的解；求参数的变化范围；数列模型的应用；定义新数列.

（4）2023年全国卷高考数列专题重点考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养及理性思维和探究精神。二.命题思路分析

从2023年的全国高考试题中不难发现，高考对数列的考查主要是数列的性质、通项、求和、最值、递推式数列、数列的证明、与数列有关的大小关系比较、数列文化题，以及与相关知识的交汇题，随着新课标的出台和新课程的实施，2023年的全国高考对数列内容的考查很好地体现了新课程理念和逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养，充分显示了能力要求和学科素养，试题往往以低中档题为主，难题较少，着重考查数列的核心知识、方法与思想，是高考经久不衰的考查内容．1.立足基础，重视“四基”考查.

等差数列和等比数列是高中阶段研究的两类重要特殊数列.《标准》要求探索并掌握等差（比）数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式.因此，等差数列和等比数列的基本量运算一直都是高考考查的重点.

例1（2023年新课标Ⅱ卷第8题）记

，

则

（

）．A．120 B．85 C．-85

D．-120

例2（2023年全国甲卷（文数）第5题）记

为等差数列

的前

项和．若

，则

（

）.A．25 B．22 C．20 D．15

例3（2023年全国甲卷（理数）第5题）设等比数列

的各项均为正数，前

项和

，若

，

，则

（

）A．

B．

C．15 D．40

为等比数列

的前n项和，若

例4（2023年全国乙卷（文数）第18题）记

为等差数列

的前

项和，已知

．(1)求

的通项公式；(2)求数列

的前

项和

．

【评析】以上4道高考题，考查的两个重要数列（等差（比）数列）的基本量的计算.这类试题是命题者直接从教材中选题加以改编．全面考查了学生的“四基”：数学阅读、数学运算、逻辑推理和数学表达的基本技能；函数与方程、整体代换等数学思想；通过条件分析和设问理解，提炼数量关系，最终借助函数、方程或不等式解决问题的数学思维和基本活动经验.2.适度综合，关注本质探究.

近几年高考数列试题的命制遵循覆盖全面、适度综合的原则.综合既可以是内容，如章节内部、章节之间、跨学科的综合，也可以进行关键能力与学科素养的综合考查.

高考数列试题既能立足基础，独立出题，着重考査学生对数列基础知识的掌握情况，又能与其他数学知识进行综合，如与函数、不等式、常用逻辑用语、数学归纳法、三角函数、反证法等综合，成为新高考数列命题的热点.在体现数学整体性和综合性的同时，突出考查学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

例5（2023年新课标Ⅰ卷第7题）记

为数列

的前

项和，设甲：

为等差数列；乙：

为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例6（2023年全国乙卷（理数）第10题）已知等差数列

的公差

为

，集合

，若

，则

（

）A．－1 B．

C．0 D．

【评析】上述例5考查要证明一个数列是等差（比）数列，最好还是回到等差（比）数列的定义上来.但有

的相关式子时，要特别注意

的情形需要单独考虑.并考查学生对充要条件的理解，实际上，该题还考查了命题中的条件类型与命题真假之间的关系。而例6考查了等差数列公差与三角函数的周期问题交汇.

例7（2023年新课标Ⅱ卷第18题）已知

等差数列

，记

，

分别为数列

，

的前

项和，

，

．(1)求

的通项公式；(2)证明：当

时，

．

【评析】

本题位于试卷解答题第2题，无疑应该属于基础题一类．但递推数列与等差数列的结合，又涉及分奇偶讨论，这样相对综合的问题难住了不少考生．由此可见，所谓大题考“质”，就是避开一些命题固定套路，回归数列本质，通过列举找寻规律，用最原始、最简单的办法突破问题．

由此可见，数列可以与其他数学知识相结合，形成具有内在逻辑关系的整体知识网络，考查学生的综合运用能力.从而实现高考数学全面考查知识的目标，并体现对数学核心素养的考查.3.灵活应用，突出应用创新.

高考数学的应用性强调表征分析、提炼数量关系和数学建模三个阶段，数学试题一般通过创建生产、生活相关的实际问题情境，将抽象的数学概念与实际情境相结合，要求学生运用数学知识、思想和方法对实际问题进行分析与研究，进而解决问题、完成自我决策和方案设计.数列应用试题是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体.

例8（2023年北京卷第14题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列

，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且

，则___________；数列

所有项的和为____________．

【评析】此题以度量衡的发展为背景，形成了数学与中国古代文化相结合的考查形式，提升民族自信、展现数学文化.学生认真阅读题干以后，可以提炼出试题中的等差（比）数列背景，再进行认真计算即可.这道试题体现了数学之美、文化之美，更考查了把数学文化和数列知识进行叠加，考查学生的数学建模、数学运算等素养.是一道具有美感的好题4.稳中求新，体现素养导向.

对比近几年的高考数学试卷，部分试题呈现开放、灵活和创新的态势，反刷题、反套路和反猜题的印象深刻.2023年高考数列试题的命制基于数列的核心知识平稳变化，同时坚持创新，包括形式创新、方法创新和思维创新，突出考查学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，重点考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等素养，对今后的数学教学有很好的导向作用.例9（2023年北京卷第10题）已知数列

满足

，则A．当

时，

为递减数列，且存在常数

，使得

恒成立B．当

时，

为递增数列，且存在常数

，使得

恒成立C．当

时，

为递减数列，且存在常数

，使得

恒成立D．当

时，

为递增数列，且存在常数

，使得

恒成立

【评析】本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合不等式放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.

例10（2023年北京卷第21题）已知数列

的项数均为

，且

的前

项和分别为

，并规定

．对于

，定义

，其中，

表示数集

中最大的数.

(1)若

，求

的值；(2)若

，且

求

；(3)证明：存在

，满足

使得

．

【评析】此题是北京卷的最后一道题，试题背景为新面孔的数列，考查了是以非空数集及有穷数列的前ｎ项和为背景，层层设问编制出的一道创新试题．要重点考虑数列的整体特性.难点主要在第(3)小题，对学生的数学试题分析问题能力、逻辑推理能力有很高的要求，重点考查学生的逻辑推理和数学运算素养.整道试题有明显的层次性，作为压轴题具有很好的区分度.三、复习教学建议

在函数主线数列板块的复习教学中，教师要帮助学生理解数列知识之间的内在逻辑联系，整体把握数列知识模块，形成有效的知识关联逻辑、方法运用逻辑和问题分析逻辑.尤其要重视数列概念的内涵和外延，解答高考数列试题，必须要立足数列的本质内涵，聚焦数列与其他数学知识技能、数学思想方法和数学思维活动经验的深度契合.为了提高2024年高考数列专题复习的针对性，提出以下备考建议.

高考复习教学，必须以精准研究、把握备考方向作为前提.教师一定要深入研究《标准》、研究教材、研究高考试题，探寻高考命题的详细信息.

《标准》突出强调数列的函数属性在高考试题中的考查，通过数列的递推公式探求数列的通项公式及项的性质、数列与不等式综合的多方面考查等在高考命题中的逐步回温，都需要一线教师认真研究，做好备考.并通过引导学生深度学习，帮助学生理解提升数列试题的解决能力需要做到“三靠”（靠知识、靠技能、靠思维）、“三练”（练思路、练运算、练表达）、“三会”（会观察、会联想、会转化）.1.靠精准研究把握数列复习方向

等差数列和等比数列的基本量运算是数列模块低层次的运算要求.探求数列通项公式和数列项的性质时，无论是常用的累加法、累乘法，还是构造常数列的方法，这对学生的数学运算能力有较高的要求.而在数列与不等式综合的问题中，对放缩程度的把握则是对运算更高层次的要求.在复习教