地形Rossby波与定常波

大地形激发的准静止行星波（定常波）天气学分析假定平直（均匀）西风气流爬越南北向山脉，如果气流没有水平切变（即初始时Z=0），大气层结是稳定的，且运动近于干绝热过程，则这种运动可视为垂直位涡守恒（如图1）即：(b)。前^前=°后(b)。前^前=°后f后=const”前"后图1西风气流过山形成的背风槽（a）纬向剖面（b）水平面气流爬越山脉时，迎风坡有地形强迫产生的上升运动，气柱厚度h减小，则相对涡度Z应随之减小。因为初始时相对涡度Z=0，这时应有Z<0，因此气流便产生反气旋式曲率，则空气将转向南运动；下山时，气柱厚度h增大，相对涡度也增大，即上山时具有的反气旋式曲率减小。若山脉是对称的，则上山过程的作图2西风气流过山形成的背风槽示意图用被下山的相反作用所抵消，则在背风坡山脚，z恢复为零。但是因为气流过山的全过程是反气旋路径，因此到达山脚时，气流已位于初始纬度％之南（即位于中1维度），/比初始时小，所以z必须比原来大（即下山时z增加的幅度大于上山时z减小的幅度），则在山脚变为正涡度，气流轨迹应为气旋式弯曲，即向北运动。当气流返回到初始纬度％时，z应该回复到初始状态，即z=0.但是由于惯性作用（此时h=const.，则位涡守恒一绝对涡度守恒），气流将继续向北运动一f增大-z减小-反气旋式弯曲，到达一定纬度q时，气流又转向南运动......（重复上述过程）。这样，山脉背风坡形成一系列的槽脊，但是由于摩擦作用，只有第一个槽在天气图上最清楚，称为背风槽或地形槽（见图2）。由于是气流爬越山脉时为保持位涡守恒而形成的槽，故又称为地形Rossby（罗斯贝）波。动力学理论数学推导据图3分析：假定平直西风爬越南北向山脉，气流无水平切变（即初始时z=0），大气层结稳定，运动近似于无摩擦、干绝热过程。过山前（x<0），有一均匀西风U，气层厚度为H，相对涡度孔=0；过迎风坡山脚（x=0）后（X>0），由于存在山脉，设山脉高度为龙，则气层厚度为H-h，相对涡度匚0丰0。 s

图3地形对过山气流的影响示意图（图3地形对过山气流的影响示意图（a）纬向剖面（b）水平面(a)(b)应用正压大气的垂直位涡度守恒定律:（1）在定常条件下，（1）式表示位涡G+f）,..h沿流线W=常数（保持不变），即:（2）•前^前=。后'后（2）前引入流函数：u=-引入流函数：u=-义布v=——dx以方便求解过山前（x<0）：气层厚度h=H.平直西风无垂直速度，无径向速度，无,f=f0+p0y=f-水平切变，故有w=0，v=0，f=f0+p0y=f-0u过山后（x>0）:气层厚度h=H-、；f=f0+p0y；涡度不再等于零，可过山后dvdudvdu 合叩合叩—^―+f+Py=—+ +f+Py=V2W+f+pydxdy00dx2dy200h。。代入(2)式可得：1(表示为：匚+f+Py)H-hh0 0（3）在x=0处给定初始条件：x=0处，^^=-u,e^=0世 dx设在山脚（x，化简（3）式：y)=(0,0)处有水平边界条件：x=y=设在山脚（x，化简（3）式：y)=(0,0)处有水平边界条件：x=y=0处H一匕(泮v]k0uJV2V+f+py=H-hsf-H-h,此v

h0 0H0Huv2v+ 巳v=f-f-pyhHuH0 0 0V2V+^^s£0v=-%f-py

hHuH0 0(4)(h]

1-HkHJks：静止Rossby波的波长。(5)h„(4)式可化间为：V2V+k2V=-H^f-Py(6)观察发现，（6）式为Helmholtz型方程,有一特解：根据数理方程知识可得（6）式H-hP0kH(7)根据微分方程求解知识，非齐次方程通解等于非齐次特解加齐次方程的通解，因此可（6）式具有如下形式的通解：v=vi+（D+y）X（x）将（8）式代入（6）式，然后求解：(8)第一项：V2v=包+地h dx2 By2孚=竺+(D+y)X'=(D+y)X'dx dx (x) (x)...性=(d+y)*"dx2 (x)同理可求出：°故：第一项V2W=巡+巡=(D+y)X"h dx2dy2 (x)第二项:k第二项:k2唯=k2「W+(D+y)XL1 (x)」=k2一二(Sf+&y)+(D+y)X=-=-(0丁)+k2(D+y)X(x)将两项代回（6）式化简得：hc h（D+y）X（HjfQ+。0y）+k2（D+y）X（）=一（万匕+。0y）((9)观察得知（9）式为二阶常系数齐次线性微分方程，其通解为:(10)X(x)=Acoskx+Bsinkx(10)其中A，B为任意常数将（10）式代回（8）式中，得流函数的解:（11）W=W1+(D+y)(Acoskx+Bsinkx)（11）dW , =(D+y)(-kAsinkx+kBcoskx)dx8W W Pd=己1+Acoskx+Bsinkx=-_a+Acoskx+Bsinkx方程组中D，A，B均为待定的系数，再利用x=0处的初始条件:x=0处，x=0处，dw - =—u，dy色=0

dx求得：ddW石<竺、dy=(D+y)kB=0=-。°+A=-uk2故：若D+y丰0，B=°，A=—u+k°将A，B和（7）式的值代入（11）式，流函数的解进一步为:、,，Hu爪 P、 7v=—H■—h们（节f0+P_y）—（D+y）（"—V°）COSkxs0k2(12)为了求出D,再利用水平边界条件:uh P、」f—D(u——0)H—hP0H0 k2H—hP0HJ0J(-pu——0v k2故：D=匕P

0再将D值代入（12）式得:fH— [H-hsu顼|P0H)uhf]H-hP0H〕husu/h f_H—h时Wf0+旗y)—佃+服—s0P0kxh— (H—h)P九H—hs0 sH、 Hu、iy)— +y)(u—)coskxP H—h_,hf+HyP f+Pyhu. 1=—u(~~0 )+(―0 0—)(—s—)coskx(H—h)P0 &0H—h=—u/hf+(hPy-hPy)+HyP0、)J+Py、，hu、 7+(—0 i)(s)coskxP H-hf(hf+hPy)+(Hyp—hPy))

—^-0 ^-0 0 ^-0—\o"CurrentDocument"〔 (H-h)P Js0-h(f+Py)

+u—0 0—coskxP(H—h)0s■^-0(1■^-0(1—coskx)P0(H—h)_-(H—h)Py_h(f+Py)———u s 0——u(H—h)Ps0

_-_h(f+Py),[心、=-uy—u —o o—(1-coskx)Pq(H—h)至此，求得流函数解的最终表达式:(13)h(f+Py)n心、(13)V=-uy-u_0 0—(1-coskx)(H-h)Ps0物理讨论因为W因为W在X方向上是呈周期变化的止（定常）Rossby波动，其波长为：即地形激发出了与时间无关的准静kssH-hkssH-hP0（14）由（14）式可见波长与大地形的高度与气层厚度、平均西风风速以及纬度相关。1）不同地形高度对波长的影响芝竺迎，地球自转角速度在相同纬度与平均西风风速的条件下，改变地形高度，以讨论地形高度变化对准静止行星波波长变化的影响。其中地形高度的变化通过其与气层厚度（或称大气标高，H约为8km）的比值变化来体现。芝竺迎，地球自转角速度已知地球半径a=6371km，Rossby参数P=0。=7.292X10-5s-1，若取9=30°N，u=10m•sT，代入(14)式:10aHU丁'HaU、10a(15)L=2兀， =2兀： =2丸(15)\H—hP \H—h2。cos甲 、:H—h2。cos30°再代入不同地形高度（即不同的hs与H的比值），即可计算出相应的地形Rossby波波长（如表1所示）。由行星波的定义，其临界波长值约为5000km，从表1中可看出，当h=-Hs10时，所激发的地形Rossby波波长最接近行星波波长临界值。取H为8km，计算得出，可激发出行星波的地形高度临界值约为1.6km。类似于青藏高原这样的大地形（H>2/10），其激发的地形Rossby波就属于准静止行星波，其波长在5000〜6000km左右。结合表1的计算结果，可作出地形Rossby波波形随地形高度变化的示意图（如图4、图5）。从图中我们可以看出，地形高度的变化对地形Rossby波波长有显著影响，且这种影响呈规律性变化。地形高度越高，所激发的地形Rossby波波长越长，也就是说，大地形比相对小的地形激发的地形Rossby波的波长更长，更易激发出准静止行星波。从高原地质变化历史的角度，也可以说，高原大地形在不同的隆升阶段，地形对大气行星波波长的影响不同的，隆升高度越高，高原大地形激发的行星波的波长就越长。在高原隆升前现代的行星尺度系统几乎不存在，隆升后才形成了北半球冬季以东亚大槽，北美东部大槽和欧洲槽为显著特征的“三波型”环流形势。表1.不同地形高度对地形Rossby波的影响地形高度与气层厚度之比 激发的地形Rossby波的波长（106m）TOC\o"1-5"\h\z1/10 4.702/10 4.993/10 5.334/10 5.765/10 6.31^111!!^111!!$高厚而--L.—一一，层II匡H的忧1地形数芨的Rci弟by波的—长L〈10sin-）图4不同地形高度对地形Rossby波波长的影响

图5地形激发的图5地形激发的Rossby波波长随地形高度变化的关系均形高度&与气层怛度H的比值除此之外，我们还可以从图4中发现，地形高度越高，所激发的地形Rossby波波长越长，地形槽落区越偏东。根据天气学原理的知识可知，高空槽脊的位置对地面降水起着重要作用，因此，研究地形Rossby波波长，对预报高原大地形以东地区的降水有重要意义。在刘式适对青藏高原大地形作用下的地形Rossby波研究中［21］，由于基本西风和大地形的东西坡度，在大地形西侧地面有上升运动，东侧有下沉运动。西侧地面形成水平辐散，大地形的东侧形成水平辐合，也与陈秋士用。坐标系的分析是一致的［22］。因此，在地形西侧，高空对应地形Rossby波的脊区，环流形势受脊控制，地面由于地形坡度伴有气流的强迫抬升运动，气流水平辐散，在此天气系统配置下，不易产生降水等天气过程。而在地形以东，高空对应地形Rossby波的槽区，地形下行伴随气流显著下沉，单位体积里的空气骤减，因此形成气流水平辐合，这样的天气系统配置，极易形成强烈的对流天气。可以说对青藏高原以东地区的降水起着重要作用，也与我国持续性重大天气异常有着密切的联系。2）不同平均西风风速对波长的影响取中=30°N，hs=土H，代入（14）式:H布"HauL=2兀' =2兀H布"HauL=2兀' =2兀\H-hp=2丸 错误!未指定书签。H-h20cos甲 \920cos30°(16)由（16）式可以看出，大地形激发的地形Rossby波波长不仅与地形高度相关，也与过山西风气流的平均风速相关。取不同平均西风风速U的值代入上式，可求出对应准静止Rossby波的波长(如表2所示)。在不同平均风速条件下，地形激发的定常Rossby波的波长不同。风速越大，则波长越长，即波长与风速的平方根的大小呈正比，如表2和图6所示。取H=8000km,准静止行星波临界波长Lc=5000km，计算可得，能激发出准静止行星波的临界风速为uc=11.3m•s-1。由此可见，即使在地形高度h—H的条件下，当平均风速超过11m•s-1S10时，也可以激发出准静止行星波。表2.不同平均西风风速对地形Rossby波波长的影响风速u(m•s-1)波长L(106m)风速u(m•s-1)波长L(106m)21.67155.7642.97186.3163.64206.6584.21257.43104.70308.14125.15大地形澈发的地形Ro曙by波波长£(xlO:m)图6西风风速与地形Rossby波波长的关系土始•村专的卅中小”防舄舄丑工（：Q6m.）图7不同纬度的地形Rossby波通常情况下，高空风速远大于近地面风速，综合高原大地形的地形因素，则地形高度越高，高空风速也越大，两种条件均有利于激发出更长波长的地形Rossby波，即有利于产生准静止行星波。从而也印证了，青藏高原大地形对东亚大槽，北美东部大槽和欧洲槽构成的波动环流形势的形成起到了重要作用。3）地形所处地理纬度对地形波动的影响（高原南部、北部的不同影响）取u=10m•s-1，hs=£H，代入（14）式：,2兀°~~ °''10~10«L=—=2丸I =2丸， （17）k\H-hP0 V920cos甲由（17）式可以看出，当西风基流风速与地形高度一定时，大地形激发的地形Rossby波波长与地形所处地理纬度相关。取不同纬度位置中代入上式，可求出对应准静止Rossby波的波长（如表3所示）。表3.不同地理纬度对地形Rossby波波长的影响地形所处纬度位置中（°N）地形激发的定常Rossby波的波长（106m）TOC\o"1-5"\h\z30 4.7035 4.8340 5.0045 5.20根据表3与图7可以看出，相同高度的地形，处在不同的地理纬度位置，其激发的地形Rossby波波长也不同。在北半球，地形越偏北，激发出的波长越长;反之，越偏南，激发的波长越短。波长随纬度变化同样呈现出一定的规律性，如图8所示。青藏高原大地形位于北纬25°N〜40°N之间，纬度位置偏北。所以，有利的纬度位置，也是青藏高原能激发出波动型环流的又一重要因素。+比寿女J+比寿女J很K:：RjurL/:F?工壬£(IOtt；.■■■.代忌而许既底0古尹图8纬度位置与地形Rossby波波长的关系 简化的求解过程 7.3.1地形Rossby波我们也称背风槽为地形Rossby波，应用正压大气的垂直位涡度守恒定律（7.6）来分析地形Rossby波。图7.2地形Rossby波如图7.2，在迎风面（X<0），有一均匀西风U，气层厚度为H，相对涡度C0=0；过X=0后（X>0），由于存在山脉，设山脉高度为七，则气层厚度为H-h、相对涡度匚0。0。在定常条件下（7.6）式表示位涡G+f>'h沿流线w=常数保持不变。V为流函数，它满足TOC\o"1-5"\h\zdw 伽u=-—-，v= （7.7）dy ex由图7.2可知

x<0:h=H，斗=-uy,v=0,匚=0,f=f+P0y=f-乙(7.8)(7.9)因此，（7・6）式可以写为*(V2y+f圮ys00)=1(7.10)而在x=0处存在连接条件dy - =—u，8y色=0

d(7.8)(7.9)因此，（7・6）式可以写为*(V2y+f圮ys00)=1(7.10)而在x=0处存在连接条件dy - =—u，8y色=0

dx(7.11)另外，设在（x,y）=（0,0）处，V=0，即式中（7.1