地基沉降计算

地基沉降计算任何建筑物都要建造在土层或岩石上面，土层受到建筑物的荷载作用后，就要产生压缩变形，当变形超过了允许值，将影响建筑物的使用功能。或者当荷载较大超过了地基土的承载能力，将造成地基的破坏，丧失稳定性，从而导致整体的失稳。为保证建筑物的安全，岩土体应同时满足两个基本要求：（1） 土体应具有足够的强度，在荷载作用后，不致因失稳而破坏；（2） 土体不能产生过大的变形而影响建筑物的安全与正常使用。一般建筑荷载等级不大，大部分土体的强度与压缩性，容易满足上述要求。在一些地区由于特定的地质条件，工程上常遇到软弱土体，对这种土体必须进行相应的处理，才能满足强度与变形的要求。一、地基最终沉降量的计算地基最终沉降量是指地基在建筑物荷载作用下，最后的稳定沉降量。计算地基最终沉降量的目的，在于确定建筑物最大沉降量、沉降差和倾斜，并控制在容许范围以内，以保证建筑物的安全和正常使用。计算地基沉降量的方法有多种，如分层总和法、规范法及弹性理论法等。一）分层总和法1、单向压缩基本公式1）计算原理及公式假定：（1） 地基土受荷后不能发生侧向变形；（2） 按基础底面中心点下附加应力计算土层分层的压缩量；（3） 基础最终沉降量等于基础底面下压缩层（见后）范围内各土层分层压缩量的总和。我们将基础底面下压缩层范围内的土层划分为若干分层，现分析第i分层的压缩量的计算方法，参见（图5-1）。在建筑物建造以前，第i分层仅受到土的自重应力作用，在建筑物建造以后，该分层除受自重应力外，还受到建筑物荷载所产生的附加应力的作用。如前所述，在一般情况下，土的自重应力产生的变形过程早已完结，而只有附加应力（新增加的）才会产生土层新的变形，从而使基础沉降。由于假定土层受荷后不产生侧向变形，所以它的受力状态与压缩试验时土样一样，故第i层的压缩量可按下式计算：TOC\o"1-5"\h\zSi=Ash （5-1）其中A= 咨，代入上式，得：i 1+e1iS=^^、h （5-2）\o"CurrentDocument"i1+e i1i则地基总沉降量:S=才S=£-1 2h （5-3）i1+eii=1 1i式中：S—地基最终沉降量；%—第i分层在建筑物建造前，在土的平均自重应力作用下的孔隙比；e2.-第i分层在建筑物建造后，在土的平均自重应力和平均附加应力作用下的孔隙比；TOC\o"1-5"\h\z虬一第i分层的厚度，为了保证计算的精确性，一般取hjW0.4b（b为基础宽度）；n—压缩层范围内土层分层数目。 1公式（5-2）、（5-3）是分层总和法的基本公式，它适用于采用压缩曲线计算。若在计算中采用土的压缩模量Es作为计算指标，则公式（5-2）、（5-3）可变成另外的形式。由压缩定律得，e-e=a（p-p），并由（图5-1）可见，第i分层内相应于上1 2 2 1式中的应力p1=2（。皿+bczi1），而p2=2（。以i+bczi1）+2（。zi+bzi1），于是，第i层土的孔隙比的变化：\o"CurrentDocument"e—e=以一zi zi-11i 2i i2将上式代入式（5-2），并注意到E=1+%，则得：siai\o"CurrentDocument"S=£2Uh （5-4）E2ii=1si式中：Esi—第i分层土的压缩模量。其余符号意义同前。综上所述，按分层总和法计算地基沉降量的具体步骤如下：（1） 按比例尺绘出地基剖面图；（2） 计算基底的附加应力和自重应力；（3） 确定地基压缩层厚度；（4） 将压缩层范围内各土层划分成厚度为hjW0.4b（b为基础宽度）的薄土层；（5） 绘出自重应力和附加应力分布图（各分层的分界面应标明应力值）；（6） 按公式（5-2）计算各分层的压缩量；（7） 按公式（5-3）或公式（5-4）算出地基总沉降量。2）地基压缩层厚度地基土层产生压缩变形是由荷载作用下地基中的附加应力引起的，地基土内的附加应力随深度增加而减小。在基础底面以下某一深度以下的土层压缩变形很小，可以忽略不计。这个深度范围内的土层称为压缩层即地基沉降计算的厚度范围。

目前，确定压缩层厚度的方法有以下几种：当无相邻荷载影响，基础中点下的地基沉降计算深度可按下列简化公式计算Zn=B(2.5-0.41InB) (5-5)式中：B^基础宽度(m)。如zn以下有较软土层时，还应继续向下计算，直到再次满足式(5-7)为止。在计算深度范围内存在基岩时，zn值可取至基岩表面。当有相邻基础影响时，地基沉降计算深度应满足下试要求：(5-6)AS'<0.025^ASr(5-6)i=1式中：AS；一深度zn处，向上取计算厚度为Az(按表5-1确定)的沉降计算变形值;ASi一深度气范围内，第i层土的沉降计算变形值。表5-1 计算层厚度Az值B(m)W22<BW44<BW88<BW1515VBW30>30A(m)0.30.60.81.01.21.5(3)附加应力与自重应力比值法如前所述，附加应力随深度增加而减小，而土的自重应力随深度的增加而增大。一情况下，自重应力已不再使土层产生压缩，可以认为当基底下某处附加应力与自重应力的比值小到一定程度即可认为该处就为压缩层的下限。一般认为，可取附加应力与自重应力的比值为0.2(软土取0.1)处作为压缩层的下限条件，并精确到5kPa，即满足下式：K-0.2b|<5kPa或^-0.1b|<5kPa (5-7)［例题5-1］某基础底面为正方形，边长为/=b=4.0m，上部结构传至基础底面荷载N=1440kN。基础埋深d=1.0m。地基为粉质粘土，土的天然重度y=16.0kN/m3。地下水位深度3.4m，水下饱和重度ysat=18.2kN/m3。土的压缩试验结果e〜p曲线如图5-2所示，计算地基的沉降量。S"图5-3地基应力分布图图5-3地基应力分布图［解］①绘制地基剖面图，如图5-3所示;②计算地基土的自重应力。基础底面处b=yd=16x1=16kPacz1地下水面处b =3.4xy=3.4x16=54.4(kPa)cz2地面下2B深度处b3=3.4x16+(8-3.4)x(18.2-10)=92.1(kPa)③基础底面接触压力(设基础及其回填土的平均重度为20kN/m3)p=M=1440+20x4x4x1=110.0(kPa)F 4x4基础底面附加应力P°=p-)d=110-16x1=94.0(kPa)地基中的附加应力，计算结果见表5-2表5-2 附加应力计算深度z(m)l/bz/b系数a0b=4ap(kPa)01.000.2594.01.21.00.60.22384.02.41.01.20.15257.04.01.02.00.08431.66.01.03.00.04516.8⑥地基压缩层深度zn，由图5-3中自重应力与附加应力分布两条曲线，由bz=0.2b以，当深度z=6.0m时b=16.8kPaw0.2b=0.2x83.9kPa故受压层深度取6m。⑦地基沉降计算分层，一般要求h<0.4A=0.4X4=1.6m。地下水为以上2.4m分两层，每层1.2m；第三层1.6m，第四层阴附加应力较小，可取2.0m。⑧地基沉降计算公式f]"1+e/根据图5-2地基土压缩曲线，由各土层的平均自重压力b-czi数值，查得相应的孔隙比e,；由各土层的平均自重压力与平均附加应力之和bcz_+bz_，查出相应的孔隙比e2，由公式5-2即可计算各土层的沉降量s。列表计算如表5-3所示。⑨基础总沉降量s=▼s=20.16+14.64+11.46+7.18注53.4mmi=1

沉降计算表 表5-3ihi(m)bczi(kPa)bzi(kPa)b+bczi zi(kPa)eie2rie一e—1 2-isi(mm)1+eJi/11.225.689.0114.60.9700.9370.016820.1621.244.870.5115.30.9600.9360.012214.6431.661.044.3105.30.9540.9400.0071611.4642.075.724.299.90.9480.9410.003597.18二）按规范方法计算《建筑地基基础设计规范》所推荐的地基最终沉降量计算方法是另一种形式的分层总和法。它也采用侧限条件的压缩性指标，并运用了平均附加应力系数计算；还规定了地基沉降计算深度的标准以及提出了地基的沉降计算经验系数，使得计算成果接近于实测值。规范所采用的平均附加应力系数，其概念为：从基底至地基任意深度z范围内的附加应力分布图面积A对基底附加压力与地基深度的乘积p0z之比值，入=A/p0z，亦即此附加应力分布图面积A以基底附加应力、地基深度及地基平均附加应力系数Z=A/p0z，三者乘积p0源来等代。假设地基土是均质的，土在侧限条件下的压缩模量E，不随深度而变，则从基底至地基任意深度z范围内的压缩量为：sr=sr=.J£•dz=—Es0―pL』Abdz=oJadz=-E Es0 s（5-8）b式中b式中£为土的侧限压缩应变，£=zEspza

―0——EA为深度z范围内的附加应力面积，A=Jbdzo0因为七2・Po（a为基底下任意深度z处的地基附加应力系数）,所以附加应力面积A为:A=Jbdz=pJa-dz0 0为了便于计算，可以引入一个系数a=A，则式（5-8）改写为poz(5-9)式中p0za——深度z范围内竖向附加应力面积A的等代值；a——深度z范围内的竖向平均附加应力系数。式（5-9）就是以附加应力面积等代值引出一个平均附加应力系数表达的从基底至任意深度z范围内地基沉降量的计算式子。由此可得成地基中第i分层沉降量的计算公式如下（图5-4）：(5-10)As'=竺=Ai—Ai-i=-P^(za—za)(5-10)E EEii i-1i-1式中pza和pza 分别表示z和z范围内竖向附加应力面积A（图中面积oiioi-1i-1 i i-1 i1234）和A；1（图中面积1256）的等代值；a和互心分别为响应的竖向平均附加应力系数;山,则表示第i分层的竖向附加应力面积（图中面积5634），因此，规范方法亦称应力面积法。《建筑地基基础设计规范》用符号z〃表示地基沉降计算深度，并规定z〃应满足下列条件：由该深度处向上取按表2-8规定的计算厚度Az（见图5-4）所得的计算沉降量As'不n大于zn范围内的计算沉降量S'=乎As；的2.5%，即应满足下列要求（包括考虑相邻荷载的i=1影响）：计算厚度Az值 表5-4W22<bW44<bW88<bW1515<bW30>300.30.60.81.01.21.5As'<0.025尤As' （5-11）i=1按上式所确定的沉降计算深度下如有较软土层时，尚应向下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度Az的计算沉降量满足上式为止。当无相邻荷载影响，基础宽度在1〜50m范围内时，基础中点的地基沉降计算深度，规范规定，也可按下列简化公式计算：z=b（2.5-0.4Inb） （5-12）式中b——基础宽度，Inb为b的自然对数值。在沉降计算深度范围内存在基岩时，zn可取至基岩表面为止。为了提高计算准确度，地基沉降计算深度范围内的计算沉降量s'=XAs；，尚须乘以ii=1一个沉降计算经验系数甲，。规范规定平，的确定方法：中s=s/s' （5-13）式中s8系利用地基沉降观测资料推算的最终沉降量（见5-5节）。因此，各地区宜按实测资料制定适合于本地区各类土的平值，而规范提供了一个采用表值（见表5-5）。s

综上所述，规范推荐的地基最终沉降量s（mm）的计算公式如下:s=甲s'=平乎台（za-z1a1） （5-14）i=1si式中s' 按分层总和法计算出的地基沉降量（mm）；平，——沉降计算经验系数，根据地区沉降观测资料及经验确定，也可采用表5-5数值；n——地基沉降计算深度范围内所划分的土层数，其分层厚度取法同前面按分层总和法计算中所述。p0——对应于荷载标准值时的基础底面附加应力（KPa）E时——基础底面下第i层土的压缩模量，按实际应力范围取值（MPa）；z「z,_1——基础底面至第i层土、第i-1层土底面的距离（m）；沉降计算经验系数甲呵、可_1——基础底面的计算点至第i层土、第i-1层土底面范围内平均附加应力系数，可按表5-6，表5-7沉降计算经验系数甲EE=丁£A：

s£AEsi(5-15)- Es（MPa）地基附加应力 -2.54.07.015.020.0Po2fk1.41.31.00.40.2Po罚.75f1.1.1.00.70.40.2表5--5s注：Es为沉降计算深度范围内压缩模量的当量值，应按下式计算:式中A一为第i层土附加应力面积沿土层厚度的积分值，A=p（za—za）i ioii i-1i-1［例题5-2］如图5-5,按规范法计算柱基础甲的最终沉降量，并应考虑相邻基础的影响。计算资料：从基础底面向下第一层（持力层）为4米厚粉质粘土；第二层（下卧层）为很厚的粘土层（如图5-6）。［解］（1）确定P0p=100kPa；（2）计算Esi，分层厚度取2米，计算结果列于表5-8。分层深度zi(m)自重应力平均值p1i(kPa)附加应力平均值Api(kPa)自重应力+附加应力p2i(kPa)分层厚度(m)压缩曲线编号受压前孔隙比e1i受压后孔隙比e2iE=(1+e1.)xP2i-P1ix103e1i-e2i(MPa)0〜247941412.0土样4-10.8100.7492.792〜476591352.00.7870.7512.934〜695371322.0土样4-20.9000.8732.606〜8115271422.00.8850.8693.188〜10135181532.00.8720.8613.06注：各分层附加应力平均值近似取分层顶、底面处的附加应力的平均值。计算a(分层厚度取2m)当z=0时，a虽不为零(查表5-6)，但za=0；计算z=2m范围内的a:(a)柱基甲(荷载面积为oabcx4)对荷载面积oabc,l：b=2.52=1.25,zb=22=1，查表5-6,有lb=1.2,zb=1，得a=0.2291l/b=1.4,zb=1，得a=0.23131一25—12当lb=1.25,zb=1时，内插得a=0.2291+(0.2313-0.2291) =0.22971.4-1.2柱基甲基底下z=2m范围内的a=4x0.2297=0.9188(b)两相邻柱基乙的影响(荷载面积(oafg-oaed)x2x2)对荷载面积oafg，lb=82.5=3.2,zb=22.5=0.8，查表5-6，得a=0.2409；对荷载面积oaed，lb=42.5=1.6,zb=22.5=0.8，a=0.2395；由于两相邻柱基乙的影响，在z=2m范围内a=2x2x(0.2409-0.2395)=0.0056(c)考虑两相邻柱基乙的影响后，基础甲在z=2m范围内的a=0.9188+0.0056=0.9244③按表5-1规定，当b=4m时，确定沉降计算深度处向上取计算厚度Az=0.6m，分别计算z=4、6、8、8.4、9m深度范围内的a值，列于本表5-9。计算AS：z=0〜2m(粉质粘土层位于地下水位以上)：AS'=4(za-za)=剪(2x0.9244-0x1)=66mmiEii i-1i-1 2.79

z=2〜4m（粉质粘土层位于地下水位以下）：△S=些（4x0.7596-2x0.9244）=41mmi2.93余详见表5-9（5） 确定Zn由表5-7,z=9m深度范围内的计算沉降量£AS'=160mm，相应于z=8.4m至9m（按表5-1规定为向上取0.6m）土层的计算沉降量AS'=4mm<0.025x160mm，满足要求，故确定沉降计算深度Zn=9m。注意表5-9,z=8m至8.4m土层（〈0.6m）的小5；值不能验算沉降计算深度。（6） 确定平s按式（5T5）计算z深度范围内压缩模量的当量值Es:E=£AAJ£AA/E11p(za-0xa)p(za-0xa)p(za-zxa)p(za-zxa)——0 1——1 0— +——0 2—2 1 1—+ +——0 n—n n-1 n-1—Esi ES2 ESn7 p0x4.54° v=2.84MPa(1.849 1.189 0.754 0.534 0.092 0.122)p 0"2.79+ + + + + p 0"2.79=0.75f/得中=1.082.93 2.60 3.18 3.06 3.06)=0.75f/得中=1.08查表5-5（当p0s=甲^s's=甲^s'=V£As'=1.08x160=173mmsi=1三）三向变形公式***分层总和法单向压缩公式仅适用于求算薄压缩层地基和大面积分布荷载下地基的总沉降量，为了考虑土的侧向变形的影响，国内外学者提出了分层总和法三向变形公式，仍采用简便的固结试验得出的压缩性指标。根据广义虎克定律考虑侧向变形影响，竖向变形的计算公式如下：(5-15a)8疽k广四i（°,+a,,JE0(5-15a)si二，si二，广口i9,+GhJE0i(5-15b)bxibyis=hbxibyis=h+P)b.一p0h/Egsi——第i分层的竖向应变和竖向变形;b, 第i分层沿x、y、z三个方向的平均应力;(5-15c)P,——第i分层土的变形模量和泊松比;h、0,——第i分层的土层厚度和全应力0,=bxi+。yi+b/根据变形模量E0与压缩模量E的关系式（见上一章式（4-15））：(5-16a)E=&E(5-16a)0iSiE°iE°i=鱼些^土(5-16b)1-1-pmvi(5-16c)式中e1ia、、%.第i式中e1ia、、%.第i分层自重应力的孔隙比、压缩系数和体积压缩系数。代入(5-15c)可得1p h+p)b..-p0^mhs「(1+P)(1-2p)(5-17)得分层总和法三向变形公式:s=£s=£s=£s=£1—^-i1-2pi=1 i=1-0mhivii(5-18)S3iS3i=Pi(5-19)式中s、s——第i分层三向变形和单向压缩的沉降量，s=bmh；3i1i 1iziviiK3i与单向分层总和法计算的沉降量的比值，1—ppK3i1—2p（1—1+『—），可查阅不同p值的K3iK3iizi三）应力历史对地基沉降的影响《一》沉积土层的应力历史根据先期固结压力划分的三类沉积土层天然土层在历史上受过最大的固结压力（指土体在固结过程中所受的最大有效压力），称为先（前）期固结压力。按照它与现有压力相对比的状况，可将土（主要为粘性土和粉土）分为正常固结土、超固结土（超压密土）和欠固结土三类。正常固结土层在历史上所经受的先期固结压力等于现有覆盖土重;超固结土层历史上曾经受过大于现有覆盖土重的先期固结压力；而欠固结土层的先期固结压力则小于现有覆盖土重。在研究沉积土层的应力历史时，通常把土层历史上所经受过的先期固结压力pc与现有覆盖土重p［之比，进行对比，两者的比值定义为超固结比（或超压密比）（OCR）。正常固结土、超固结土和欠固结土的超固结比值分别为OCR=1,OCR>1和OCR<1O当考虑土的应力历史进行沉降计算时，应进行高压固结试验，确定先期固结压力、压缩指数等，试验成果用。-logp曲线表示。确定先期固结压力pc最常用的方法是A，卡萨格兰德（Cassagrande，1936）建议的经验作图法，作图步骤如下（图5-15）：图5-15确定先期固结压力卡萨格兰德法（1） 从e-logp曲线上找出曲率半径最小的一点A，过A点作水平线A1和切线A2；（2） 作匕1^2的平分线A3，与e-logp曲线中直线段的延长线相交于B点；（3） B点所对应的有效应力就是先期固结压力Pc。必须指出，采用这种建议的经验作图法，对取土质量要求较高，绘制e-logp时要选用适当的比例尺等，否则，有时很难找到一个突变的A点，因此，不一顶都能得出可靠的结果。确定先期固结压力，还应结合场地地形、地貌等形成历史的调查资料加以判断，例如历史上由于自然力（流水、冰川等地质作用的剥蚀）和人工开挖等剥去原始地表土层，或在现场堆载预压作用等，都可能使土层成为超固结土；而新近沉积的粘性土和粉土、海滨淤泥以及年代不久的人工填土等则属于欠固结土。此外，当地下水位发生前所未有的下降后，也会使土层处于欠固结状态。由原始压缩曲线确定土的压缩性指标原始压缩曲线是指室内压缩试验e-logp曲线经修正后得出的符合现场原始土体孔隙比与有效应力的关系曲线。在计算地基的固结沉降时，必须首先弄清楚土层所经受的应力历史，从而对不同固结状况由原始压缩曲线确定不同的压缩性指标值。对于正常固结土，如图5-16,e-logp曲线中的ab段表示在现场成土的历史过程中已经达到固结压力pc，它等于现有的覆盖土自重应力p1。在现场应力增量的作用下，孔隙比/的变化将沿着ab段的延伸线发展（图中虚线bc段）。但是，原始压缩曲线ab段不能由室内试验直接测得，只有将一般室内压缩曲线加以修正后才能求得。这是由于扰动的影响，取到实验室的试样即使十分小心地保持其天然初始孔隙比不变，仍然会引起试样中有效应力的降低（图中的水平线bd所示）。当试样在室内加压时，孔隙比变化将沿着室内压缩曲线发展。图5-16正常固结土的扰动对压缩性的影响 图5-17正常固结土的原始压缩曲线正常固结土的原始压缩曲线，可根据J.H.施默特曼（Schmertmann，1955）的方法，按下列步骤将室内压缩曲线加以修正后求得（图5-17）。（1） 先作b点，其横坐标为试样的现场自重压力P1，由e-logp曲线资料分析p1等于B点所对应的先期固结压力pc，其纵坐标为现场孔隙比/0；（2） 再作c点，由室内压缩曲线上孔隙比等于0.42/0处确定，这是根据许多室内压缩试验发现的，若将土试样加以不同程度的扰动，所得出的不同室内压缩曲线直线段，都大致交于孔隙比/=0.42/0。这一点，由此推想原始压缩曲线也大致交于该点；（3） 然后作bc直线，这线段就是原始压缩曲线的直线段，于是可按该线段的斜率定出正常固结土的压缩指数C值。c对于超固结土，如图5-18所示。相应于原始压缩曲线abc中b点压力是土样的应力历史上曾经受到最大压力，就是先期固结压力pc（＞p1），后来有效应力减少到现有土自重应力p1（相当于原始回弹曲线bb1±b1点的压力）。在现场应力增量的作用下，孔隙比将沿着原始再压缩曲线b】c变化。当压力超过先期固结压力后，曲线将与原始压缩曲线的延伸线（图中虚线bc段）重新连接。同样，由于土样扰动的影响，在孔隙比保持不变情况下仍然引起了有效应力的降低（图中水平线b1d所示）。当试样在室内加压时，孔隙比变化将沿着室内压缩曲线发展。超固结土的原始压缩曲线，可按下列步骤求得（图5-19）：（1） 先作外点，其横、纵坐标分别为试样的现场自重压力p1和现场孔隙比/0；（2） 过b1点作一直线，其斜率等于室内回弹曲线与再压缩曲线的平均斜率，该直线与通过B点垂线'（其横坐标相应于先期固结压力值）交于b点，b1b就作为原始再压缩曲线，其斜率为回弹指数C,（根据经验得知，因为试样受到扰动，使初次室内压缩曲线的斜率比原始再压缩曲线的斜率要大得多，而从室内回弹和再压缩曲线的平均斜率则比较接近于原始再压缩曲线的斜率）；（3） 作c点，由室内压缩曲线上孔隙比等于0.42/0处确定；（4） 连接bc直线，即得原始压缩曲线的直线段，取其斜率作为压缩指数C°值。对于欠固结土，由于自重作用下的压缩尚未稳定，只能近似地按正常固结土一样的方法求得原始压缩曲线，从而定出压缩指数C值。图5-18超固结土样的扰动 图5-19超固结土的原始压缩曲对压缩性的影响 线和原始再压缩曲线（二）地基固结沉降的计算地基固结沉降计算通常采用单向压缩分层总和法，采用与单向压缩基本公式相同的分层标准和沉降计算深度确定原则，但土的压缩性指标必须从e-logp曲线表达的现场原始压缩曲线中确定，从而考虑应力历史对地基沉降的影响。对于正常固结土，其压缩性指标与单向压缩基本公式从e-logp曲线中所确定的压缩性指标虽然不同，但对计算结果的影响不大；另外，在分层总和法公式中的计算参数原始孔隙比也有差异，但对计算结果的影响也很小。因此，通常认为考虑应力历史计算的三种固结土层的固结沉降量都是单向压缩的最终沉降量。正常固结土的沉降计算计算正常固结土的沉降时，由原始压缩曲线确定的压缩指数C^，按下列公式计算固结沉降s°（图5-20）：图5-20正常固结土的孔隙比变化s=Ws=W£Hi=1式中£i——第i分层的压缩应变;（5-38a）H——第i分层的厚度。因为£iA£因为£iA£ i——1+£0i11+£0iClogfP±^p]ci"P「）1i（5-38b）所以sc=WJL^C1所以sc=WJL^C11+£icilog+Ap，1 」vP）1i（5-38c）式中A£i——从原始压缩曲线确定的第i层土孔隙比变化;七——从原始压缩曲线确定的第i层土的压缩指数；P"——第层土自重应力的平均值，Pu=%厂+bc（i］./2；Api——第层土附加应力的平均值（有效应力增量），Api=＜女+b^g）2；£0i——第i层土的初始孔隙比。超固结的沉降计算计算超固结土的沉降时，由原始压缩曲线和原始再压缩曲线分别确定土的压缩指数Cc和回弹指数C（图5-21）。e计算时应按下列两种情况区别对待。如果某分层土的有效应力增量Ap大于（pc-p1），则分层土的孔隙比将沿着原始再压缩曲线bQ段减少A，然后沿着原始压缩曲线bc段减少A£〃，即相应于Ap的孔隙比变化A£应等于这两部分之和（图5-21（a））。其中第一部分（相应的有效应力由现有的土自重压力p1增大到先期固结压力Pc）的孔隙比变化A£为：A£'=Clog（p:p） （5-39a）e c1式中一一回弹指数，其值等于原始再压缩曲线的斜率。第二部分［相应的有效应力由Pc增大到（P1+Ap）］的孔隙比变化A£〃为：△/"=Clog[G1+Ap，p](5-39b)式中Cc——压缩指数，等于原始压缩曲线的斜率。总的孔隙比变化A为：A/△/"=Clog[G1+Ap，p](5-39b)式中Cc——压缩指数，等于原始压缩曲线的斜率。总的孔隙比变化A为：A/=A'+A/"=Clog（p/p1）+Clog[（p1+Ap）/p] （5-39c）因此，对于Ap>（p^-p）的各分层总和的固结沉降量s^为:-—广[Clog土+Clog% A]cn1+/瓦"p.Jci"p/（5-40）式中〃一分层计算沉降时，压缩土层应小应力增量Ap>»Pi）的分层数;Cei、Cci——第i层土的回弹指数和压缩指数;p”一第层土的先期固结压力；其余符号意义同式（5-38）。如果分层土的有效应力增量Ap不大于（pc-pi），则分层土的孔隙比变化A/只沿着再压缩曲线b1b发生（图5-21（b）），其大小为：A/=Celog[（pi+Ap）/pi] （5-41）因此，对于Ap<（p-pi）的各分层总和固结沉降量s^为:s=8，[Clogcm1+/ei式中m——分层计算沉降时，压缩土层中具有Ap<（Pf）的分层数。总的地基固结沉降s为上述两部分之和，即

csc=scn+scm(5-42)(5-43)3.欠固结土的沉降计算欠固结土的沉降包括由于地基附加应力所引起，以及原有土自重应力作用下的固结还没有达到稳定那一部分沉降在内。欠固结土的孔隙比变化（减量），可近似地按与正常固结土一样的方法求得原始压缩曲线确定（图5-22）。因此，这种土的固结沉降等于在土自重应力作用下继续固结的那一部分沉降与附加应力引起的沉降之和，计算公式如下：s=工¥log

c.]1+/.cip +Ap'―1 衬pci(5-44)式中Pl第层土的实际有效压力，小于土的自重应p1i。尽管欠固结土并不常见，在计算固结沉降时，必须考虑土自重应力作用下继续固结所引起的一部分沉降。否则，若按正常固结土层计算，所得结果将远小于实际观测的沉降量。二、弹性力学公式计算地基沉降量布辛奈斯克解给出了一个竖向集中力 P作用在弹性半空间表面时半空间内任意点M(x,y,z)处产生的竖向位移①(x,y,z)的解答。如取M点坐标z=0。则所得的半空间表面任意点竖向位移①(x,y,o)就是地基表面的沉降s(图5-7), 、P(1一旦2)s=①(x,y,o)= (5-20)和r0式中 s——竖向集中力P作用下地基表面任意点沉降；r——地基表面任意点到竖向集中力作用点的距离，E0——地基土的变形模量(或弹性模量E)；R——地基土的泊松比(参见第四章表4-)。图5-7集中力作用下地基表面的沉降曲线图5-8局部柔性荷载下的地面沉降计算(a)任意荷载面(b)矩形荷载面对于局部柔性荷载作用下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如图5-8(a)所示，设荷载面A内N(&,n)点处的分布荷载为p0(&,n)，则该点微面积d&d门上的分布荷载可由集中力P=P(&,n)d&m代替。于是，地面上与N点相距为or=i(x—&)2+(y+n)2的M(x,y)点的沉降s(x,y)，可按式(5-20)积分求得：s(x,y)=(5-21)1-H2" p0(&,门)史血s(x,y)=(5-21)兀E0 a(x—&)2+(y一门)2对均布的矩形荷载P°(&n=P0=常数，其角点C的沉降按上式积分的结果为:(5-22)式中5c是单位均布矩形荷载P0=1在角点C处引起的沉降，称为角点沉降系数。它是矩形荷载面长度l和宽度b的函数，即：& 1*cJT& 1*cJTb+\l2+b2 l+、［l2+b2lln +bln l b(5-23)以长宽比m=lb代入上式，则式（5-18）写成:(1f2)b(1f2)bS= 冗E0T1+\m2+1mln m+In(m+\m2+1)(5-24a)1+1+顷2+1.s. ~mln +In(m+\-m2+1)m，称为角点沉降影响系数，则上式改换为:(5-24b)利用上式，以角点法容易求得均布的矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中心点。的沉降是图5-8（b）中以虚线划分的四个相同的小矩形的角点沉降量之和，由于小矩形的长宽比m=（l!2）；:（b/2）=lb等于原矩形的长宽比，所以中心点o的沉降为:2—bp01—L12 1—L12—bp0(5-25a)s-4•① (b/2)p-2① (5-25a)o o即矩形荷载中心点沉降为角点沉降的两倍，如令气=2«c为中心沉降影响系数，则:1—u2,(5-25b)s=① bp(5-25b)0以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且还影响到荷载面以外，沉降后的地面呈碟形。但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而基底沉降依基础刚度的大小而趋于均匀，所以中心荷载作用下的基础可以近似地按柔性荷载下基底平均沉降计算，即：(5-26a)s=（jjs（尤,y）dxdy）；A(5-26a)式中A为基底面积，对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：(5-26b)式中sm——平均沉降影响系数。通常为了便于查表计算，把式（5-24b）、（5-25b）、（5-26b）统一表达为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：s=s（1—u2）bpE （5-27）0 0式中矩形荷载（基础）的宽度或圆形荷载（基础）的直径;式中矩形荷载（基础）的宽度或圆形荷载（基础）的直径;沉降影响系数，按基础的刚度、底面形状及计算点位置而定，由表5-10查得。对于中心荷载下的刚性基础，由于它具有无限大的抗弯刚度，受荷沉降后基础不发生挠曲，因而基底的沉降量处处相等，即在基底范围内，式5-21）中s3,y）=s=常数，将该式与基础的静力平衡条件』』Po（&』）d&d门=P；联合求解后可得基底反力P03,y）和沉降s。其中s也可以表达为式（5-23）的形式，但式中po=PA（P和A分别为中心荷载合力和基底面积），①则取刚性基础的沉降影响系数①r，按表5-10查得，其值与柔性荷载七接近。刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜平面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（5-27）取必=必r计算；基底倾斜的弹性力学公式如下：1—u2Pe圆形基础 0-tan0=6 —— （5-28a）E b301—u2Pe矩形基础 0-tan0=8K （5-28b）Eb30式中 0——基础倾斜角；P——基底竖向偏心荷载合力；e 偏心距；b——荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；K——计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按lb（l为矩形基底另一边长）值由图5-9查取。上述弹性力学公式计算基础沉降和倾斜对于矩形或圆形基础，当地基土质均匀时，利用式（5-27）和式（5-28）估算基础的最终沉降和倾斜是很简便的。但按这种方法计算的结果往往偏大，这是由于弹性力学公式是按均质的线性变形半空间（半无限体）的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土（包括下卧基岩的存在），即使是均质的土层，其变形模量Eo一般随深度而增大。因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的Eo值是否能反映地基变形的真实情况。地基土层的Eo值，如能从已有建筑物的沉降观测资料，以弹性力学公式反算求得，这种数据是很有价值的。通常在整理地基［静］荷载试验资料时，就是利用式（5-27）反算Eo的（见上一章4.节）。对于成层土地基，应取地基沉降计算深度）范围内变形模量Eg和泊松比七的加权平均值Eo和U，即近似均按各土层厚度的加权平均取值。此外，弹性力学公式可用来计算短暂荷载作用下地基的沉降和倾斜，此时认为地基土不产生体积变形，例如在风力或其他短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（5-28）计算，但式中E0换取土的弹性模量E（见第4章4）代入，并以土的泊松比日=0.5代入（参见下面瞬时沉降的计算问题）。三、变形发展三分法（斯肯普顿法）计算最终沉降量根据对粘性土地基，在外荷载力作用下，实际变形发展的观察和分析，可以认为地基土的总沉降量，是由三个分量组成（图5-10）即s=Sd+s+s （5-29）式中sd——瞬时沉降（畸变沉降）；sc——固结沉降（主固结沉降）；ss—一次压缩沉降（次固结沉降）。此分析方法是A.W.斯肯普顿（Skempton）和L.比伦（Bjerrum）提出的比较全面计算总沉降量的方法，这里不妨称为计算地基最终沉降 图5-10地基总沉降量的三个分量示意量的变形发展三分法，也称斯肯普顿法。1.瞬时沉降瞬时沉降是紧随着加压之后地基即时发生的沉降，地基土在外荷载作用下其体积还来不及发生变化，主要是地基土的畸曲变形，也称畸变沉降、初始沉降或不排水沉降。斯肯普顿提出粘性土层初始不排水变形所引起的瞬时沉降课程用弹性力学公式进行计算，其后的室内大比例尺模型试验和现场实测结果表明，当饱和的和接近饱和的粘性土在受到中等的应力增量的作用时，整个土层的弹性模量可近似地假定为常数。与此相反，无粘性土的弹性模量明显地与其侧限条件有关，线性弹性理论的假设已不适用；通常用有限元法等数值解法，对土层内采用相应于各点应力大小的弹性模量进行分析，即无粘性土的弹性模量是根据介质内各点的应力水平而确定的。所谓应力水平是指实际应力与破坏时的应力之比，例如地基土在应力变化的过程中达到的最大剪应力（或土样受到的最大周围压力）与抗剪强度的比值，称为剪应力水平，简称应力水平。无粘性土的地基由于其透水性大，加荷后固结沉降很快，瞬时沉降和固结沉降已分不开来，而且次压缩现象不显著，更由于其弹性模量随深度增加，应用弹性力学公式分开来求算瞬时沉降不正确。对于无粘性土的最终沉降量，可采用J.H.加•施默特曼（Schmertmann1970）提出的半经验法计算，可参阅H.F.温特科恩和方晓阳主编的基础工程手册，本教材从略。粘性土地基上基础的瞬时沉降s，按下式［参见式（5-27）］估算：dsd=①（1-日2）p0bE （5-30）式中R和E分别为土泊松比和弹性模量，斯肯普顿考虑了饱和粘性土在瞬时加荷时体积变化等于零的特点，先确定泊松比，根据广义虎克定律［参见式（5-15）］，AV./V=8疽£,+£z=0（1-2^）JE=0，可取日=0.5，则式（5-30）可变为s=0.753pb/E （5-31）d 0确定弹性模量E的适当数值更为困难，它必须在体积变化为零的条件下（饱和土不排水试验体积变化为零），一般由三轴压缩试验或无限单轴压缩试验得到的应力-应变曲线上确定的初始切线模量E或相当于现场荷载条件下的再加荷模量Er。也可近似采用E=（250—500）（。—b）=（500-1000）c，式中（b—b）和c分别为三轴压缩不排1 3f u 1 3fu水试验中试样破坏时的主应力差和不排水抗剪强度（见第6章）。瞬时沉降sd还与基础作用的荷载P0水平有关。所谓荷载水平是指基础作用荷载P0与极限荷载Pu（极限承载力）之比值，此作用荷载和极限荷载的单位均为应力，荷载水平也就是应力水平。因为荷载水平越高，土中产生塑性变形区会越大，sd也越大。为此，应对式（5-31）算出的sd值除以小于1的修正系数，得到修正后的瞬时沉降s'如下：ds：=sjkd （5-32）式中q——瞬时沉降修正系数，可以从图5-11中查得，图中Hb表示粘性土地基的厚度图5-11瞬时沉降修正系数 图5-12固结沉降修正系数与基础宽度之比，f为加荷前现场土的剪应力与不排水抗剪强度之比f=（b"叮心尸（1—K0）bJ2su（气、b:为初始有效竖向应力和水平向应力，K0为土的静止侧压力系数）。2.固结沉降固结沉降是由于在荷载作用下随着土中超孔隙水压力的消散，有效应力的增长而完成的。斯肯普顿认为粘性土按其成因的不同可以有超固结土、正常固结土和欠固结土之分，而分别计算这三种不同固结状态粘性土在外荷载作用下的固结沉降，它们的压缩性指标必需在e—logp曲线上得到，将在下面（应力历史对地基沉降的影响中）介绍。由于所得来的压缩性指标是单向压缩的条件，与工程实际情况有差异，A.W.斯肯普顿（Skempton）和L.比伦（Bjerrum）建议将单向压缩条件下计算的固结沉降s乘上一个修正系数得到考虑侧向变形的修正后的固结沉降S'如下:cs；=Xs^ (5-33)式中人一一固结沉降修正系数，人=0.2〜1.2由偏差应力作用下的孔隙压力系数A值从图5-12中查得，或从下面推导公式中求算。在单向(竖向)压缩的固结仪中，在加荷初始，竖向大主应力增量△©1等于孔压增量(超孔隙水压力)，则土样的压缩量皿为[参见式(5-2c)]AH=mv&1H0 (5-34)式中mv——土的体积压缩系数；H0——土样初始高度。地基土层(厚度为H)单向压缩的固结沉降公式为s=jHmA。1H0 (5-35)在三轴压缩仪中考虑侧向变形(轴对称三向应力状态)的饱和土体中某处A。1和A3共同作用下的总孔压增量Au为(见式(6-28))：Au=Ab+A(Ab-Ab)=AAb+(1-A)Ab (5-36)式中 A——在偏差应力条件下的孔隙压力系数，它是饱和土体在偏差应力状态时单位偏差应力增量(Ab1-Ab3)所引起的孔压增量(Au-Au3)；AU3―小主应力周围压力增量，在Ab3的作用下孔压增量为AU3(见第6章图6-)。地基土层(厚度为H)考虑侧向变形时的固结沉降公式如下(Au为深度z处的超孔隙水压力)：s'=jHmAudz=jHm[AAb+(1-A)Ab]dz (5-37)TOC\o"1-5"\h\zc0v 0v 1 3jHm[AAb+(1-A)Ab]dz得出s7sc=人=一v一" (5-38)0mv 1Z假定mv和A均为常数，则(5-39)X=A+(1-A)jHAbdz..jHAbdz0 3 ''0 1(5-39)考虑土在固结过程中有侧向变形，得到修正后的固结沉降，提高了计算精度，例如上海地区较高灵敏度的软粘土，用单向压缩条件下计算得到的固结沉降偏小，这种土的A值大于1得出人值总大于1；又如南京地区下蜀黄土，其A值小于1很多，人值必然小于1。必

须指出，在推导中假定竖向应力为大主应力△©1，水平向应力为小主应力Ac3，这仅在对称轴线上，才是合适的。次压缩沉降次压缩沉降被认为与土的骨架蠕变有关；它是在超孔隙水压力已经消散、有效应力增长基本不变之后仍随时间而缓慢增涨的压缩。在次压缩沉降过程中，土的体积变化速率与孔隙水从土中流出速率无关，即次压缩沉降的时间与土层厚度无关。图5-13次压缩沉降计算时的孔隙比与时间关系曲线许多室内试验和现场测试的结果都表明，在主固结完成之后发生的次固结的大小与时间关系在半对数图上接近于一条直线，如图5-13所示。因而次压缩引起的孔隙比变化可近似地表示为：Ae=Clo^— （5-40）i式中C——半对数图上直线的斜率，称为次压缩系数;a，——所求次压缩沉降的时间""1;t1——相当于主固结度为100%的时间，根据e-logt曲线外推而得（图5-13）。地基次压缩沉降的计算公式如下：（5-41）L£rC/gr（5-41）i=1oi 1根据许多室内和现场试验结果，C.值主要取决于土的天然含水量o，近似计算时取C=0.018°，C值的一般范围如表5-13所示。表5-11 C.的一般值土类C土类Ca土类正常固结土0.005〜0.020高塑性粘土、有机土超固结土（OCR）<0.001N0.03四、最终沉降量计算方法的讨论综上地基最终沉降量各种计算方法中，以分层总和法较为方便实用，采用侧限条件下的压缩性指标，以有限压缩层（沉降计算深度）范围的分层（地基附加应力分布是非线性的）计算加以总和。三种分层总和法中以单向压缩基本公式最为简单方便，对于中小型基础，通常取基底中心轴线下的地基附加应力进行计算，以弥补所采用的压缩性指标偏小的不足。对于基底形状简单，尺寸不大的民用建筑基础，根据经验给以一个合适的地基变形允许值（如12cm）也能解决地基变形问题。随着社会生产力的发展，作用荷载、基础尺寸不断加大，基础型式复杂多变，只计算基底中心点的沉降是不够的。规范修正公式运用了简化的平均附加应力系数（按实际应力分布图面积计算）、规定了合理的沉降计算深度、提出了关键的沉降计算经验系数，还有配套的各种建筑物基础变形特征的地基变形允许值；至于三向变形分层总和法，它是单向压缩分层总和法的一个发展，考虑了侧向变形，由于没有积累出相应的沉降经验系数，实用上受到了限制，但对于大型、复杂、重要的基础，采用此法的计算成果作为宏观、定性分析的控制沉降量也是有益的。弹性力学公式计算最终沉降量，由于是按均质线性变形半空间的假设，而实际地基的压缩层厚度总是有限的，无粘性土地基的变形模量是随深度增大的，所以计算结果往往偏大；还有一个缺点是无法考虑相邻基础的影响。但是弹性力学公式可以计算刚性基础在短暂荷载作用下的相对倾斜以及变形发展三分法中粘性图的瞬时沉降，计算时必须注意所取用的模量不是土的变形模量而是土的弹性模量。变形发展三分法计算最终沉降量，全面考虑了地基变形发展过程中由三个分量组成，将瞬时沉降、固结沉降及次压缩沉降分开来计算，然后叠加。固结沉降部分又考虑了不同应力历史生成的三类固结土，正常固结土、超固结土及次固结土，分别采用各自不同的压缩性指标和计算各自不同的固结沉降。对于正常固结土固结沉降与前面单向压缩分层总和法的总沉降，其计算结果是基本一致的，因为压缩性指标均由单向压缩固结试验的侧限条件下得到的，不过这里指标取自e-logp曲线、前面指标取自e-p曲线。本法计算的三类固结土层各自的固结沉降，再叠加瞬时沉降和次压缩沉降后更趋于接近实际的最终沉降。本法又提出了将单向压缩条件下计算的固结沉降乘上一个修正系数得到轴对称线上的地基考虑侧向变形的修正后的固结沉降，提高了计算精度。但本法计算最终沉降量只适用于粘性土层。最后指出，不同应力历史生成的三种固结土，其变形参数即压缩性指标及固结沉降量是不同的（见§5.3）；同样应力历史对土的强度也有影响，三种固结土的强度指标（参数）也是不同的（见第6章），可见土的变形和强度的性质是紧密地联系在一起的。此外，在加荷过程中土体内某点的应力状态的变化，对土的变形和强度也是有影响的，本章§5.3和第6章将分别介绍应力路径法计算地基沉降和应力路径在强度问题中的应用。§5-3应力路径法计算地基沉降简介应力路径是指在外力作用下土中某点的应力变化过程在应力坐标图中的移动轨迹。土体中任一单元体的变形和强度变化都与应力路径有关。由于常规固结试验的侧限条件以及无法控制不排水条件，土体中的孔隙压力和有效应力强度指标必须从三轴压缩试验中得到，因此，必须通过三轴压缩试验来研究土体的应力路径问题。应力路径法是用应力轨迹表示现场在施工前、施工中以及完工后地基土中某点的应力变化情况。应力路径法能够促进和发展新的更符合地基应力状态变化的室内土工试验方法和成果分析方法。土体在外荷载作用下土中某点的初始应力状态将转变到受荷后的最终应力状态。如果是弹性体，应力应变关系符合广义虎克定律总是线性变化的，这种关系只决定于材料本身的特性，不随加荷过程中的应力变化而变化。但土是弹塑性体，受荷前、后的初始和最终应力状态尽管相同，往往由于加荷、卸荷、再加荷的过程不同，其变形和强度的性质是很不一样的。所以，研究土的性质，不仅需要知道土中某点的初始和最终应力状态，还需要知道它所受的应力变化过程，即应力路径。根据室内土工试验的土样都是圆柱体的特点，按照材料力学bZx=b,的轴对称二维问题来研究土中某点的应力状态。通常利用在。〜T直角坐标上的莫尔应力圆表示土中某点的应力状态。但在应力变化过程中，莫尔圆很多，重叠复杂，难以将应力路径表达清楚。所以，必须在应力圆上找出一个特征点，例如在。〜T直角坐标中破坏应力圆上的剪应力破坏点或最大剪应力作用点（顶点），它的移动轨迹作为应力路径。通常以破坏应力圆上的顶点作为特征点，则该点的坐标为P=（气+。3）/2，q=（气一b3）『2，因此应力路径就表示在P〜q直角坐标中（参见§6.6图6-）。应力路径对土体强度的研究比较深入（见第6章），本节简介应力路径对土的变形的影响以及应力路径法计算地基沉降的概念。图（5-23a）所示两种应力路径，虚线AC表示三轴压缩排水试验的有效应力路径；实线ABC表示先做不排水试验，其有效应力路径为曲线AB（AB与AC两线的水平横坐标距离为超孔隙水压力）达到接近破坏的B点后，排水固结，此时保持q不变而p增加，应力路径为BC。两种应力路径，初始和最终应力状态相同，而相应的轴向应变是不同的，如图5-23（b）所示，因B点接近破坏线，必然产生较大的轴向应变，反之虚线远离破坏线，其轴向应变较小。此即应力路径对土体变形影响的概念。图5-23应力路径对变形影响的概念图5-24地基沉降过程中的应力变化图5-24所示地基土在沉降过程中的应力变化，图中A点落在K0线上，表示施工前现场地基土中某点的自重应力状态（K。为土的静止侧压力系数）。土中自重应力状态就是处在侧向有效应力b；与竖向有效应力。：的K°比例关系。当现场大面积填土施工后，地基中某点仍然是自重应力状态，因为当竖向有效应力增量为聂时，侧向有效应力增量为K0Ab。显示图中AE的应力路径，所产生的应变只有竖向的，如同在固结仪中土样受力后没有侧向应变。当该点受到来自建筑物或土工建筑物的附加应力Ab'=Ab和Ab'=0作用时，大1 3主应力增量为Ab、小主应力增量为0（近似假定主应力方向与自重应力状态相同），则莫尔应力圆必然与Ko线相割，其顶点在Ko线的上方。显示图中AC的应力路径，竖向产生压缩应变，侧向产生膨胀应变。总应力路径为AC；有效应力路径为AB'，水平线BC段为超孔隙水压力的大小，随着超孔隙水压力的消散，有效应力的增长，最后也达到C点。因此，初始沉降和固结沉降分别是路径AB和BC的函数。总沉降应为ABC有效应力路径所引起的总应变乘上土层的厚度。可见，有效应力路径是连续的。然而在单向压缩（一维固结）中，受到超孔隙水压力的大小仅为Ac1，随着超孔隙水压力的消散，有效应力增长的路径沿着K0线从A至E，不发生初始沉降，而固结沉降为路径AE的函数。如果考虑三维固结对一维固结沉降进行修正，（见5.2.3节），则初始沉降为路径AB的函数，而固结沉降为路径DE的函数。由此可见，在这种修正中，有效应力路径是不连续的。应力路径法计算地基沉降，其步骤如下：（1） 在现场荷载作用下估计地基中某些有代表性土体单元（例如每一土层的中点处）的有效应力路径；（2） 现场钻孔取样，在试验室内做这些单元的三轴压缩试验（见第6章），复制现场有效应力路径，并测定各阶段的竖向应变；（3）将各阶段的竖向应变乘上各土层厚度，即可求得各阶段沉降包括初始和最终沉降。五、地基沉降与时间的关系一）地基固结过程中任意时刻的沉降量土的固结（压密）度土的固结度是指地基土在某一压力作用下，经历时间t所产生的固结变形（沉降）量与最终固结变形（沉降）量之比，亦称固结（压密）百分数，或土层中超孔隙水压力的消散程度，即：U=sjs° （5-44a）或U=（日°-^）/日0 （5-44b）式中scf——地基在某一时刻t的固结沉降；sc——地基最终的固结沉降，简化取分层总和法单向压缩基本公式计算的最终沉降量；R0——初始孔隙水压力（应力）R——t时刻的孔隙水压力（应力）土层中某点的固结度对于解决实际工程问题并不重要，为此，引入土层的平均固结度的概念是必要的。对于竖向排水情况，由于固结沉降与有效应力成正比，所以某一时刻有效应力图面积和最终有效应力图面积之比值，称为竖向排水的平均固结度U:zTT 应力面积abcd应力面积abce-应力面积adeU=~:—— = :—:—— z应力面积abce 应力面积abce严1"!hZdz(5-45)式中uz,t——深度z处某一时刻t的超孔隙水压力;b^——深度z处的竖向附加应力（即t=0时刻的起始超孔隙水压力），在连续均布荷载P作用下，Hbdz=bH=pH0 Z z 0将§4.4中的式（4-26）代入上式得：U=1-旦无上m=1,3(5-46)8rr兀2)1r9兀2 )——[exp-—T+—exp-——T冗2V4vJ9V4vJ上式中括号内的级数收敛很快，当U>30%时可近似地取第一项如下:（冗2 ）-4TJU=1一旦exp-(5-47)式中m 正奇数（1、3、5…）；exp 指数函数；T——竖向固结时间因数，T=cVH2，其中c为竖向固结函数，t为时间，H为压v vv v缩土层最远的排水距离，当土层为单向（上面或下面）排水时，H取土层厚度；双面排水时，由土层中心分别向上下两方向排水，H应取土层厚度之半。图5-25平均固结度与时间因数的关系曲线为了便于应用，按公式（5-43）绘制出如图5-25所示的Uz-T关系曲线（1）。对于图5-26（a）中所示的三种双面排水情况，均可利用图5-25中的曲线（1）计算，此时，只须将土层的厚度改为2H，即H取土层厚度之半。另外，对于图5-26（b）中单面排水的两种三角形分布起始孔隙水压力图，则用对应于图5-25中的Uz-［关系曲线（2）和（3）计算（U的表达式从略）。有了U-［关系曲线（1）、（2）、（3）,还可求得梯形分布起始孔隙水压力图的解答。对于图5-27（a）中所示双面排水情况，仍可利用图5-25中曲线（1）计算，H应取压缩土层厚度之半；对于图5-27（b）中所示单面排水情况，可运用叠加原理求解如下：设梯形分布起始孔隙水压力在排水面处和不排水面处分别为。'和。〃,当。'<。"时，zz zz可利用曲线（1）和（2）求解，按式（2-72）和式（5-41）列出某时间t的沉降量为(5-48)(5-49)(5-50)(5-51)(5-52)Ub'+b"=Us=—•——H(5-48)(5-49)(5-50)(5-51)(5-52)E2s令s=Us=匕1•b'H11 z11EzsUb''-b'和s2=U2s2=E•z2zHs2b'U+(b〃一b')U1b'+b''zz所以U=1b'+b''zzz当bz>b:时，可利用曲线（1）和（3）求解，同理得出2b''U+（b'-b''）UU=—zzib'+b''z__z3 （5-53）zz式（5-49）和式（5-50）中Ui、U2和U.3可根据相同的时间因数T*从图5-25中分别用曲线（1）、（2）、（3）求取。图5-26一维固结的三种起始孔隙水压力分布图 图5-27两种孔隙水压力的梯形分布图（a）双面排水（b）单面排水 （a）双面排水（b）单面排水地基固结过程中任意时刻的沉降量根据土的固结度的定义［式（5-41）］，可得地基固结过程中任意时刻的沉降量的计算表达式为：s#=Us^ （5-54）式中符号意义同式（5-41）。其计算步骤如下：（1） 计算地基附加应力沿深度的分布；（2） 计算地基固结沉降量；（3） 计算土层的竖向固结系数和时间因数；（4） 求解地基固结过程中某一时刻t的沉降量。【例题5-3】某饱和粘土层的厚度为10m，在大面积荷载p0=120kpa作用下，设该土层的初始孔隙比％=1，压缩系数a=0.3MPa-1，压缩模量E=6.0MPa，渗透系数k=1.8cm/年。对粘土层在单面排水或双面排水条件下分别求（1）加荷一年时的沉降量（2）沉降量达156mm所需的时间。【解】（1）求t=1年时的沉降量粘土层中附加应力沿深度是均布的，。z=p0=120kpa；粘土层的最终沉降量s=JH=-120-x104=200mm；E6000s粘土层的竖向固结系数c=k（1+%）=云譬残罗=1.2x105cm2/年vya0.1x0.0003对于单面排水条件下：竖向固结时间因数T=异=，2:t，X1=0.12vH2 10002由图5-25中的U'-T曲线（1）查得相应的固结度U广0.39；则得t=1年时的沉降量s=Us=0.39x200=78mm在双面排水条件下（仍用曲线（1），但压缩土层厚度取半数）：f 1.2x105x1…时间因数T=一—— =0.48；v5002由图5-25中的曲线（1）查得固结度