2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题卷（五）（新高考通用）解析版

【百强名校】2023届新高考地区百强名校

新高考数学模拟考试压轴题精编卷（五）（新高考通用）

一、单选题

1.（2023春•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）在平面直角坐标系x。），中，已知过

抛物线y,=4x焦点尸的直线与抛物线相交于A,B两点,以AF,BF为直径的圆分别与

x轴交于异于尸的P,°两点，若|PF|=2|硝，则线段的长为（）

A.1B.1C.2D.月

2222

【答案】C

BE

【分析】设|AF|=2加，忸同="，通过几何分析可求得tanNAFP=qm=20,从而求出

AB的方程，联立AB的方程和抛物线方程即可求弦长|.

如图，过点43分别作准线x=—l的垂线，垂足为C,。，

过8作AC的垂线，垂足为E,

因为AF,M为直径的圆分别与x轴交于异于尸的P,。两点,

所以ZAPF=ZBQF=90，且ZAFP=ZBFQ,

所以4QFB与.PFA相似,且相似比为|叫：|PF|=1:2,

所以诉=2,设|"j=2闻所|=相，

所以|C£|=|阳=忸耳=〃7,则|AE|=m,

所以忸q=砰=2应m,

BEi-BE\r-

tanZAEB=——=2V2,g|JtanZAFP=—=2V2,

AEAE\

所以直线AB的斜率为2夜，所以48的方程为y=2夜（x-1），

y=2y/2(x-1)z2

联立〈-可得2f_5x+2=0,

y2=4x

设4内,%）,5（%,%），则有N+W="|，

9

所以|48|=玉+*2+〃=5，

故选:C.

2.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）在边长为3的菱形A8CZ）中，ZBAO=60°,

将△ASO绕直线8。旋转到，A3。，使得四面体从BCD外接球的表面积为18兀，则此时

二面角A—3D-C的余弦值为（）

D.近

3

【答案】A

【分析】由已知条件，得出/近是二面角A'-5D-C的平面角，作ABCD的中心产，

FG//HA,AG//HC,AGGF=G,知四面体ABC。外接球的球心。在GF上，根据

勾股定理求出A”=G，HE=2,进而可得二面角A'-E5-C的余弦值.

2

【详解】由题意可知，△•/）和△38均为正三角形，

设E为8。中点，延长CE,作交CE于点”,

可得NAEC是二面角A-BD-C的平面角，

作△BCQ的中心尸，则尸在CEL且/C=2EF,

W-FG//HA,AG//HC,AGGF=G,可知四面体ABC。外接球的球心。在GF匕

又4兀/?2=1871,R=­,

2

在R/_AGO和R^CFO中，由C尸=3x且、2=石，EF=—,

232

R2=CF2+OF2=OG2+AG2,AE2=AH2+HE2-解得A"=«，HE=—,

2

n1]

.•.cosNAEH=翕=§,二面角A-BD-C的余弦值为一；

2

故选：A

3.(2023春•江苏南京•高三南京师大附中校考开学考试)如图，已知四棱锥S-ABCC的

底面ABC。为矩形，SALAB,SB=SC=2,SA=AD=l,则四棱锥S-ABC。的外接球的表

面积为()

【答案】A

【分析】判断出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】设外接球的半径为R,

由于SAJ.AB,AB1AD,SAnAD=A,SA,AZ)u平面SAD,

所以平面SA。，由于/Wu平面ABC。，所以平面ABC。/平面SA。.

CD=AB=4*-f=B由于CO///3,所以CE>J>平面SAD,

由于SDu平MilSAD,所以CD,LSD，所以SD=12。—(6)=1=SA=AD>

所以二角形SAD是等边二角形，设其外心为。2,设E是AO的中点，

则SEJLAZ),由于平面他CDJ,平面SAD且交线为AO，SEu平面SAD,

所以SE_L平面ABCZ),

设ACc8。=Q,则O,是矩形ABCD的外心.

连接。也，由于REu平面ABCD,所以SELOg,

球心。在。|的正上方也在。2的正上方，故四边形。|。。2后是矩形,

OE=-AB=—,O,S=-^-=—

t1222233

所以R2=OS2=13

12

所以球的表面积为4兀配=子.

故选：A

4.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列｛0"｝中,4=2,

a；+a”+l=3%+i("eN"),S”是数列---的前"项和，贝U§2023=()

q+2J

।1,1।11------?—

A.1--—B.1--------—C.I----------D.

“2023—1“2024—1“2023+*。2024+1

【答案】B

111

【分析】把递推公式转化为一^7=-7---------T，再裂项相消即可求•

%+2an-\an+i-\

【详解】由a；+a,,+l=3a,川(〃eN*)可得："-2=3。,m-3,

即(4+2)(4-1)=3(.-1)

两边同时取倒数得：一--——=——-，即一­r---------r

%-14+24”一14+21。〃+1T

-------------------------1----------------------------------1--|----------------------------------------

所以§2023=一=1-

〃202411

a一1a2-la2-\a3-\a2Q23-1a2Q24-1

故选：B.

5.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边

111

分别为a,b,c,a2+b2=3c2,则--------p-----------------)

tanA--tanBtanC

_1_

A.0B.1C.2D.

2

【答案】A

【分析】易知结合余弦定理可得2而cosC=2c2,然后边化角后利用sin（A+5）=sinC展

开，然后化简可得.

【详解】由余弦定理以及/+k=3/可得:

c7-c940万•2.cosCsinC

2abeosC=2c~=>sinAsinncosC=sin~C=>-------=--------------,

sinCsinAsinB

又在三角形中有sin（A+/?）=sinC,即sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

cosCsinAcosB+cosAsinBcos8cosA

所以----------------=-----1----

sinCsinAsinBsinBsinA

故」7+一一一

tanAtanBtanC

故选：A.

6.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）己知。=lnl.21,6=0.21,c=e02-l,

则（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.h>c>a

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,利用导数研究其单调性，从而得到。<人再直

接计算1.2『=2.5937,从而得到e>1,215,进而得到c>6；由此得解.

【详解】令f(x)=ln(l+x)-x,xe[0,l),

贝U尸(力=占-1=/40，故f(x)在[o,1)上单调递减，

所以/(().21)</(0)=0,即ln(1.21)—0.21<0,即山(1.21)<0.21,故a〈b：

因为1.2F=1.21x1.21x1.21x1.21x1.21=2.5937-e®2.718,

所以e>1.2F,故e°2>1.21=0.21+1，即萨-1>0.21，即c>6；

综上：c>b>a.

故选：C.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形

结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

7.(2023春•江苏南京•高三南京师大附中校考开学考试)已知函数

f(x)=e*-g/-or(aeR)有两个极值点，则实数”的取值范围()

A.(fl)B.(0,1)

C.[0,1]D.(1,+co)

【答案】D

【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得。的取值范围.

【详解】的定义域是R,r(x)=e,-x-a,

令Zi(x)=ev-x-a,/z,(x)=e'-1,

所以力(x)在区间(―,0)(x)<0,Mx)递减；在区间(0,-K»),K(x)>0,/?(x)递增.

要使/(x)有两个极值点，则/'(0)=/?(0)=1-。<0,。>1,

此时,f(-a)=e-"-(-a)-a=b>0,

构造函数g(x)=x_ln2x(x>l),g[x)=l-/=；J,

所以g(x)在上递增，所以g(x)>l-ln2>0,

所以/'(ln2a)=eM2"—ln加一a=a-ln2a>0,

所以实数a的取值范围

故选：D

【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二

次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.

8.(2023•福建厦门•厦门双十中学校考模拟预测)已知函数f(x)=1og3(31+3)-

若〃a-l)Z/(2a+l)成立，则实数a的取值范围为()

A.(-oo,-2]B.2]j[0,+<x))

C.-2,—D.(—co,-2]।—»+°°I

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=log3(3*+l)-gx,根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可

得函数为偶函数目在[0,+8)单调递增，进而f(x)关于直线X=2对称，口在[2,W)单调

递增，结合条件可得以2a+l-2|,解不等式即得.

【详解】因为g(x)=log3(3'+l)-：x=log3伊+3力的定义域为R,乂

g(-x)=log,(3+3^=(x),故函数g(x)为偶函数，

f

又xw[O,M）时，3>1.y=3：单调递增，故由复合函数单调性可得函数y=3*+3T在

[0,+8）单调递增，函数y=k）g3X在定义域上单调递增，

所以g（x）在[0,+8）单调递增，

所以〃x）=log3（3i+3）_gx=l+Iog3（3i+i）-gx

-2

=log3（3'+l）-1（x-2）=^（x-2）,

所以/（x）关于直线x=2对称，且在[2,4w）单调递增.

所以/（a_l）Z/（2a+l）o|a_l_2怛囚+1-2|,

两边平方，化简得（a+2）（3a-4）M0,解得-24aq.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数g（x）=log3（3'+l）-；x,然后根据函数

的单调性及对称性化简不等式进而即得.

9.（2023•福建厦门•厦门双十中学校考模拟预测）己知"，用分别是双曲线

22

=的左、右焦点，过”的直线分别交双曲线左、右两支于A,B

两点，点C在x轴上，C8=364,85平分则双曲线「的离心率为（）

A.y/jB.75C.73D.V2

【答案】A

【分析】根据CB=3gAN知C8〃取1,再根据角平分线定理得到忸制,|BC|的关系，再

根据双曲线定义分别把图中所有线段用。，仇c表示出来，根据边的关系利用余弦定理即

可解出离心率.

因为C8=3gA,所以

设归司=勿，则国C|=4c,设|A£|=f,则忸制=3f,|明=2九

因为明平分ZFJBC,由角平分线定理可知，雪=幽=券=：

BC\4c2

所以忸C=2忸用=6f,所以|力印=g|BC|=2f,

由双曲线定义知|伍HMl=2a,即2l=2a,t=2a,①

又由W|-四|=2a得忸闾=3.〃=2人

所以忸用=|他|=|A用=2/,即△ABE是等边三角形，

所以NEBC=NABE=60。.

在耳8名中，由余弦定理知cosN历86=笆且鼻察毋1

把①代入上式得e=£=近，所以离心率为不.

a

故选：A.

10.(2023春•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)若正实数〃，b满足a>匕,且

ln44nb>0,则下列不等式一定成立的是()

(tb+l+lbla

A.logab<0B.a一一>b一一C.2<TD.a-<b-'

ba

【答案】D

【分析】根据函数单调性及lna-ln)>0得到或OvAvavl,分别讨论两种情况

下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选

项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.

【详解】因为a>6>0,y=lnx为单调递增函数，故lna>lnb,由于lna」nb>0,

故Ina>lnZ?>0,或InIna<0,

当lna>ln〃>0时,a>b>\,此时logaft>0；

«-y-||=1--7|>0,tha-\>b-；

b\a)\ab)ba

4zZ?+l-(6/+/?)=(6Z-l)(&-l)>Or2"川>2"";

当InbclnocO时，OVOVQVI,此时log,力〉。，

^1,1

故a——<b——；

ba

^/?+1-(«+/?)=(a-1)(/?-1)>0,沙'>2"种；

故ABC均错误；

D选项，两边取自然对数，伍—l)lna<(a—l)Inb,因为不管还是

均有(4-。伍-1)>0,所以半〈瞥，故只需证当〈”即可，

a-\b-\a-\b-\

1I

inxl---In1X|

设/(x)=---(x>0且xwl),则尸(%)=x，令g(x)=l-----Inx(x>0且

X-l(x-l)2"

XH1),则g<x)=!」=\^,当xe(o,l)时，g<x)>0,当xe(l,+oo)时，g<x)<0,

所以g(x)<g⑴=0,所以.f'(x)<0在x>0且xwl上恒成立，故〃勾=里(x>0且

XK1)单调递减，因为。>人，所以上巴<学，结论得证，D正确

a-\b-\

故选：D

二、多选题

II.(2023•福建厦门•厦门双十中学校考模拟预测)在一次全市视力达标测试后，该市甲

乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：

甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生

达标率60%70%65%75%

定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中

正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校

B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率

C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%

D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率

【答案】ABD

【分析】根据表中数据，结合达标率的计算公式对各选项逐一判断即可.

【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%,文科生达标率为70%,

乙校理科生达标率为65%,文科生达标率为75%,故选项AB正确;

设甲校理科生有x人，文科生有)’人，若0.6x=0.7y,即6x=7y,则甲校总达标率为

0.6x+0.7y

—>选项C错误;

x+y

由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同,

总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，

当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的

总达标率，选项D正确；

故选：ABD

12.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体

ABC。-44Gq中，点M,N分别为接CQ,C8的中点，点Q为侧面内部（不

含边界）一动点，则（）

A.当点。运动时，平面MNQ截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形

B.当点。运动时，均有平面MNQ_L平面

C.当点Q为Aq的中点时，直线AC〃平面MNQ

D.当点Q为AM的中点时，平面MNQ故正方体的外接球所得截面的面积为?

【答案】BCD

（分析】点。运动时，平面MNO截正方体所得的多边形可能为五边形成六边形判断A,

根据线面垂直即可判断B,根据线线平行可判断C,根据几何体外接球的性质可计算长

度求解半径即可判断D.

【详解】如图2所示，当点Q运动时，平面MN。截正方体所得的多边形可能为五边形

成六边形，故A错误：

DM厂

由于80J.AC,A4,，8,ACcA4,=4AC,AAu平面A4G,所以比）工平面AAG,由于

MN//D8,故直线MN_L平面AAG，MNu平面MNQ,平面MVQL平面AAg，故B

正确;

如图3所示，当点。为Aq中点时，截面MNSER为五边形，宜线MN与直线AC交于

点7,易得：会AT=:3，又在平面中，易得S色B,•=百AE'=：3，所以AC〃ET,AGO

TC1七d1

平面MNQ,ETu平面MN。,则直线\C//平面MNQ,故C正确；

黑4G=3,所以球心0到平面MNQ的距离等于点A到平

OG

面MN。距离的三分之一，乂由B选项可知，点A到直线ET的距离即是点A到平面MNQ

3x3V2

的距离，利用等面积法可得该距离为所以球心。到平面MNQ的距离

F

d」M=旦,所以截面圆的半径「=左下=

,所以截面圆的面积

326

为?，故D正确，

6

【点睛】

13.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）已知抛物线Lx?=4），，。为坐标原点，

/为抛物线C的焦点，点尸在抛物线上，则下列说法中正确的是（）

A.若点A（2,3）,则|刻+|P尸|的最小值为4

B.过点B（3,2）且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

C.若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则,ODE的周长为8/

D.点”为抛物线C上的任意一点，G（0,-l）,\HG\=t\HF\,当f取最大值时，GFH

的面积为2

【答案】AD

［分析）A选项，过p点做准线的垂线，垂足为匕由抛物线定义,四|+|闭=|期+|尸邛，

据此可得最小值；

B选项，过点8且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在

的直线；

C选项，设。（4乂），E（z，%），及£>,E两点在抛物线上可得多=%，

后可得.OOE的周长；

D选项，设“a，），），贝k=卜+（）’+1I=,4y二由基本不等式可得

y%2+（y-1）Vy+2y+\

t取最大值时，y=i,后可得sGM的面积.

【详解】A选项，过P点做准线y=-1的垂线，垂足为4.则由抛物线定义，有|尸产I=|尸用.

则I固+|P尸1=1四+归用，则当A,P,片三点共线时，|R4|+|P尸|有最小值4.故A正确;

B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为x=3,此时直线与抛物线只有一个

交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：y=Z（x-3）+2,将直线方程与抛物

线方程联立，则V-4日+12%-8=0.令A=16/-48%+32=0=>%=1或

k=2,则直线y=x-l或y=2x-4为抛物线切线.综上，过点B（3,2）且与抛物线只有一

个公共点的直线有3条，故B错误；

C选项，设£（与，%），因二角形OQE为正三角形，

则\OD\=|0E|=x；+y；=x；+y；,又刀=4y,x；=4y2,

则4（x-%）=¥-¥=>（%-%）（%+,+q=o.

n

因X，y2>0,则%=Xn毛+X|=。.乂由图可得/。。尸=y-

得,ODE的周长为2473.故C错误；

D选项，设”(x,y),则f='+。=Jl+,4y二

\x2+(y-l)V+2y+1

4

=11+44li+(

J'+922n+2,当'取最大值时，

y=l取H（2,1），则此时&G尸〃的面积为:x|FG|x|xc|=|x2x2=2.

故D正确.

14.(2023春•江苏南京福三南京师大附中校考开学考试)已知函数〃x),g(x)是定义

域为R的奇函数，/(x+1)的图像关于直线x=l对称，函数g(2x+l)的图像关于点(1,0)

对称，则下列结论正确的是()

A.函数的一个周期为8

B.函数g(x)的图像关于点(3,0)对称

C.若g。)—3g(3)—5g(5)=6,则g(2023)=l

D.若/(88)+g(88)=6,贝S(2)=6

【答案】ABC

【分析】根据奇偶性及对称性得到f(x)的周期性,令“(x)=g(2x+l),则"(x)关于点

(1,0)对称，即可得至++x)=0,从而得至Ug(3+x)+g(3—x)=0,即可得到

g(x)的对称性，再根据g(x)的奇偶性得到g(x)的周期性，最后根据周期性判断C、D.

【详解】解：对于A：因为“X)是定义域为R的奇函数，所以/(T)=-“X),

又〃x+l)的图像关于直线x=l对称，所以/[(l+x)+l]=/[(l-x)+l],即

F(2+x)=/(2-x),

所以/(4+x)=/(-x)=-/(x),则/(8+x)=/(x),即函数/(x)的一个周期为8,故A

正确；

对于B：令"(x)=g(2x+l),则"(x)关于点(1,0)对称，

所以“(l+x)+〃(l-x)=0,即g(2(l+x)+l)+g(2(l-x)+l)=0,即

g(3+2x)+g(3-2x)=0,

所以g(3+x)+g(3—x)=0,即g(x)的图像关于点(3,0)对称，故B正确；

对于C：因为g(x)是定义域为R的奇函数，所以g(-x)=-g(x),又g(x)的图像关于

点(3,0)对称，

所以g(6+x)+g(—x)=0,所以g(6+x)=g(x),即函数g(x)的一个周期为6,

所以g(5)=g(—l)=—g(),又g⑶=()，g(l)-3g(3)-5g(5)=6,

所以6g(1)=6,即g⑴=1,所以g(2023)=g(6*337+l)=g(l)=l,故C正确；

对于D：因为/(x)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,

所以〃88)+g(88)=〃8xll)+g(6xl4+4)=6,即/(0)+g(4)=6,所以g(4)=6,

所以2)=-g(4)=-6,故D错误；

故选：ABC

15.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模)已知。工0出工0且b>-l,

浦=(e"-l)ln(b+l),则下列说法中错误的是()

A.a<b

B.若关于6的方程尸辿=机有且仅有一个解，则机=e

a

C.若关于人的方程上心=机有两个解伉，b2,则4+8>2e

a

D.当a>0时，—<—+―!—

b22b+2

【答案】BC

【分析】对于A,构造〃力=后，无工0,然后得到其单调性即可判断；对于B,转化

为y=G与y=m的交点问题；对于c,结合前面结论得到告=〈=心*=/,代入计

ab,e"

算即可判断：对于D,转化为即告<1+」，即可判断.

eM-122e"

【详解】

因为必=(e"-l)ln(。+1),化简可得，-=皿处!)

ea-1b

，/、e"(l—尤)—1

令/(可==Y"二°，则，("=.-1)2，

令〃(x)=e，(l-x)_l,则”(x)=e，(l_x)+e"(-l)=_Ae”,

故xvO时，〃(力>0,函数力(力在(一%0)上递增;

x>o时，/r(x)<o,函数〃(x)在(o,y)上递减;

所以/?(x)V/z(O)=e°-l=O

即/'("<0,所以函数f(x)单调递减，

所以a=ln(b+l),

且令g(x)=e*-(x+l),则g，(x)=e*-l,令g'x)>0,得x>0,则g(x)递增;

令g<x)<0,得xvO,则g(x)递减;

所以g(x)Ng(O)=O,即e*Nl+x,所以b=e"-l2”成立，故A正确；

由上a=£1=机转化为y=£l与y=m的交点问题，

aaa

则”叫丁),

a"

如图所示，

当ae(«,O)时，y'<0,则、=《递减，当a<0时，y<0,

a

当ae(l,m)时,/>0,则y=W递增,

a

当ae(O,l)时，/<0,则尸《递减，

a

即当a=l时，函数有极小值e,

所以只有一个解时加=e或〃?<0,故B错误;

1iAfl砂砂

由9=PJ="，由图易知，不妨设a<%,则0<4<1<仇，贝I」有：=卜

4b2

取对数可得伪G-1）=Inr=4=「，即4=曲=--,r>l

所以々+打=9_业>26。-1）是否成立,

BP(r+l)lnr>2e(r-l),

令〃(zr)=(r+l)lnf-2e(/-l),r>1,

取Z=e时,zn(e)=e+l-2e(e-l)vO不成立,故C错误;

<1+—

<e“+l

所以2ae“<（e"+"e"-1）=e?"-1

^z（a）=e2a-l-2aea,a>0,只需证明z（a）>0成立即可，

z'（a）=2e2a-2（l+a）ea=2ef,（ea-l-a）>0,所以z（a）>z（O）=0成立

故D正确；

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围：

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

16.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前

5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排

名，但小明记得平均排名亍=6,于是分别用旭=6和m=8得到了两条回归直线方程:

y=btx+at,y=b2x+a2,对应的相关系数分别为q、r2,排名），对应的方差分别为s；、

s；,则下列结论正确的是（）

Xi2345

yioin6n2

Yx^-nxy

(附：b=¥------------,a=y-bx')A.r,<rB.s：<s；

力x；一烟2

1=1

C.bt<b2D.<a2

【答案】BD

【分析】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当机=6、加=8

时的R。、相关系数⑺和方差(S2),进而比较大小即可.

，、'心"、、、”-i.—1+2+3+4+5,—10+6+6+4+2,血血/

【详解】当，"=6n时，x=---------------=3,y=--------——!=6,解得4=6,

5

则2苍必=1x10+2x6+3x6+4x6+5x2=74,

;=|

5

^x,2=12+22+32+42+52=55,6=18,

1=1

5_

Z(占7)(%-刃

/=!

=(1-3)(10-6)+(2-3)(6-6)+(3-3)(6-6)+(4-3)(6-6)+(5-3)(2-6)=-16,

£(王-君2(y一］)2

i=l

=(1-3)2(10-6)2+(2-3)2(6-6)2+(3-3)2(6-6)2+(4-3)2(6-6)2+(5-3)2(2-6)2=128,

^x^-nx-y

74—5x188

所以a=R-------------

-55-5x325

1=1

--54

得4=y-btx=-

Z(x,-x)(%-y)

.--JfeL-Jill一万

(10-6)2+(6-6f+(6-6)2+(6-6尸+(2-6『_四

55

"s"8,

同理，当m=8时，%=一2,4=12,4=一

17

所以斗<s；,白>£>2,a,<a2,

故选：BD.

17.（2023春•江苏南京•高三南京师大附中校考开学考试）如图，在五面体ABCQE中,

平面ABCOJ_平面ABEF,四边形48co与四边形ABE尸全等，S.ABLAD,AB//CD,

48=2,8=1,则下列说法正确的是（）

A.ADA.BE

B.若G为棱CE中点，则DEL平面A8G

C.若A£>=C£>,则平面AO£_L平面BDE

D.若AE=6,则平面AOE_L平面8CE

【答案】ABC

【分析】对于A,利用面面垂直的性质定理得到A£>_L平面ABE尸，从而得以判断；对

于B,利用线面垂直的判定定理推得CE_L平面ABG，由此判断即可；对于C,利用面

面垂直的的判定定理，结合勾股定理即可判断；对于D,先证得E”与BE不重合，再

推得平面〃CE_L平面AOE,从而得到矛盾，由此判断即可.

【详解】对于A,因为平面ABCD上平面ABEF,A8J.,平面ABCDc平面AB£F=45，

4）u平面ABCD,

所以AZ»J•平面AfiM,因为8Eu平面ABEF,所以故A正确：

对于B,取棱CE的中点G,连接3G,AG,AE,AC,如图①，

图①

因为四边形ABCD与四边形ABEF全等，所以BC=BE,AC=AE,

因为G为棱CE中点，所以BG_LCE,AG，CE,

因为3GAG=G,8G,AGu平面A8G,所以CEL平面A8G,

由题意知AB//CD//EF,CD=EF,所以四边形8EF为平行四边形,

所以DF//CE,则。尸/平面ABG,故B正确;

对于C,连接。如图①，

由题意知AF=AD=CD,AFLEF,所以人后=^AF2+EF2=近，

又在直角梯形ABE尸中易知跖=血，所以AEhBE?=，即EBJ_AE,

由选项A知EBA.AD,又AOcAE=A,AD,A£u平面ADE,

所以£8J_平面ADE,又£3u平面8£）£，所以平面AOEJ,平面BDE,故C正确；

对于D,连接过点E作四，越交A8的延长线于点H,连接C”，如图②,

图②

由AE=J5,EF=1,得斗尸=｛AE2-EF。=立，所以8E=J『+（扬?=下），

AE2+BE2-AB23+3-411

此时cosZAEB=—_________=_<_

2AEBE2X6XG32

所以60。<ZAEB<90°,故EH与8E不重合,

因为AO_L平面Aa卯，平面AfiEF,所以A£>_LE”，

又EH工AE,4£>门4£=44。,人£：匚平面4£）£',所以E"J_平面ADE,

又E"u平面HCE,所以平面HCE，平面ADE,

假设平面6CE_L平面ADE,

因为£«与8E不重合，所以平面HCE与平面5CE不重合，

又平面HCEc平面BCE=CE,则CE_L平面A£>E,

因为4£>u平面ADE,所以CE_LAO,

y.DF//CE,所以DF1AO，这与A£>_LA尸矛盾;

所以假设不成立，故平面5CE与平面A£»E不垂直，故D错误.

故选：ABC.

18.（2023春•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）已知数列｛凡｝满足勺=e匹-1,

且4=1，S,是数列｛q｝的前"项和，则下列结论正确的是（）

A.«„>0B.an+l>an

C.出021+a2023>2a2022D.Sig>2

【答案】ACD

【分析】对•于选项A,B证明数列｛凡｝为单调递减数列即得解；对于选项C,证明随着

。“减小，从而为+1-4,增大，即得解：对于选项D,证明即得解.

【详解】解：对于选项A、B,因为q=l,.•.《尸0,所以e〃"=右3,

a„

设g(x)=e*-1-xe',g'(x)=ev-e*-xex=-xe'

当x>0时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)<g(0)=0,则xe、>e'-l,

所以>e""一1,

当%>。时，e"”>上二^=e"""，atl>a,l+l

a”

e""—1

当a“<0时，e""--------=e',，a„<a„+l,

a“

因为4=1,所以这种情况不存在，

则数列也｝满足当4>0时，巴>«„+1,为单调递减数列，

故A选项正确，B选项错误；

a

对于选项C,a„+t-=In(e--1)-Inan-a„

令x=a“,xe(0,l],设/(x)=ln(e*-l)-lnx-x,xe(O,l]

xiii

则r(x)=』e一上一1=±一±<0,

e-1xe-1x

所以函数f(x)单调递减，所以随着凡减小，从而。向一%增大,

所以々2023一。2022>。2()22一。2021，即%()21+。2023>2a2022,所以C选项正确,

对于选项D,由前面得。<。向</41,

下面证明4+1>,只需证明凡+i1aIe"--l1eu"-1%”，

"'2-^>一=----2n——oln-------->—a„<=>-------->e2

a

„2an2a„2a„

b-\11.1

令。=6"”，则1<6<e,所以——>b20b2-b2-lnb>。,

\nb

贝ij加扬+方240,

人令m(b)—-—b—2-In/?,/?€(l,e]

m（。）>m（l）=0成立，则"I>-an

所以$2023>4+电+^%+,+^T〃2=4.

=l+21n（e-l）-^-ln（e-l）>2

所以D选项正确：

故选：ACD.

【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该

问题应该注意的事项：

（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往

往是很容易被忽视的问题；

（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中

相关限制条件的转化.

19.（2023春•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）在棱长为"的正方体

48CO-A2CA中，与平面ACR相交于点E,尸为内一点，且

S△鹤"=为"四，设直线叨与AG所成的角为°,则下列结论正确的是（）

A.BQ工PEB.点尸的轨迹是圆

C.点P的轨迹是椭圆D.。的取值范围是三仁

【答案】ABD

【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得与DJ■平面,

分析可得点E即为△4CR的中心，结合5旷,/=可得PE=ga，从而可得点户的

轨迹是以E为圆心，半径为ga的圆，转化为PD是以底面半径为高为3a的圆

333

锥的母线，分析求得。的范围即可得出结果.

【详解】如图所示，

BQ与平面AC。相交于点E,连接距）交AC于点。，连接BQ：

由题意可知，平面ABCD,ACu平面ABCD,则BB、1AC.

又因为ACJ.8。，BBqBD=B,BB^BDu平面BDRB],

所以ACL平面B。。用，

又与。u平面8力£（百，所以ACLBQ；

同理可证AR1BQ,

又ARiAC=A,4〃,ACu平面ACR,

所以BQ1.平面AC。；

又因为AC=AD,=CD,=AB『BR=4c，由正三棱锥性质可得点E即为△AC。的中心,

连接。。；

因为。为AC的中点，。。交片。于点E,连接PE，

由平面4cA