江西省上饶市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题（含解析）

上饶市2022—2023学年度上学期期末教学质量测试高二数学试题卷命题人：俞振王渠佳张丽董乐华注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列与直线平行的直线的方程是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.【详解】直线斜率为，纵截距为，A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；故选：A.2.展开式中的系数为（）A. B. C.20 D.10【答案】D【解析】【分析】直接由二项式定理求解即可.【详解】由二项式定理直接可得展开式中的系数为故选：D.3.在平面直角坐标系中，圆与圆，则两圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】B【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.【详解】圆，圆心，半径，圆，即，圆心，半径，所以两圆心距离，故两圆的位置关系是外切故选：B.4.为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，基本事件有种，由于选修劳动教育的人数可能是人或人，所以甲选修劳动教育包括的基本事件有，所以甲同学选修劳动教育的概率为.故选：B5.已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，求出即可得渐近线方程.【详解】由已知可得，则，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.6.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.【详解】，A选项正确.，B选项正确.，C选项正确.，D选项不正确.故选：D7.某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（）A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84【答案】A【解析】【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】此人是癌症患者的概率为.故选：A8.是抛物线上一点，点，是圆关于直线对称曲线上的一点，则的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】由题意可知曲线是半径为1的圆，设圆心，圆的圆心坐标为，则有，显然是抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，当在线段上时，有最小值，最小值为，所以当在线段上时，如下图所示：有最小值，最小值为，故选：C【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.二、选择题2：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.B.事件为必然事件，则事件、是互为对立事件C.设随机变量服从正态分布，若，则D.甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12【答案】AC【解析】【分析】根据组合数的性质可判断选项；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项；由正态分布的性质可判断选项；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项.【详解】对于，由组合数的性质可得：，故选项正确；对于，事件为必然事件，若互斥，则事件是对立事件；若不互斥，则事件不是互为对立事件，故选项错误；对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项正确；对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故选项错误，故选：.10.在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（）A.B.该正方体的内切球的表面积为C.D.平面截正方体所得的截面是五边形【答案】ABD【解析】【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.【详解】A选项，设是的中点，连接，由于，所以，所以，即，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以，A选项正确.B选项，正方体内切球的半径为，表面积为，B选项正确.C选项，根据正方体的性质可知，，所以与不平行，C选项错误.D选项，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，由此得到的五边形，即时平面截正方体所得图象，所以D选项正确.故选：ABD11.2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（）A.的可能取值为0，1，2，3 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为，则，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：ACD.12.若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（）A.的最小值为B.直线恒过定点C.的最小值为0D.当最小时，直线的方程为【答案】ABC【解析】【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.【详解】设，因为，，点满足，所以，即，化简得，所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.对于A，因为直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，设圆心到直线l的距离为d,所以，故A正确；对于B，设，则，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，①因为为，②由①，②相减,得直线，即，由，得，所以直线恒过定点，故B正确；对于C，因为，，根据几何性质可知，，在中，，因为，所以，所以此时，为全等的等腰直角三角形，所以，，即有，所以，所以的最小值为0，故C正确；对于D，因为四边形的面积为，此时四边形为正方形，，所以直线的方程为，故D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量，若，则实数为______.【答案】【解析】【分析】直接由数量积为零列方程求解.【详解】,，解得.故答案为：.14.共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.【答案】【解析】【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.【详解】必须相邻且在右边,可将捆绑在一起并且不用排序，则6人的排列方法种数共有种.故答案为：.15.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.【答案】##【解析】【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.【详解】如图所示正四棱锥，，则平面.设正四棱锥外接球的半径为，则，设正四棱锥底面边长，高为，则①，由整理得②，由①②解得，由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，.故答案为：16.已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,,则的方程为______.【答案】【解析】【分析】设出点坐标,根据直线与椭圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.【详解】解:由题知,设,,,所以直线的斜率为,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:因为,轴,轴,所以,所以有,即,解得:,因为在上,所以,两式相减可得:即,两边同时除以,将代入可得:,即①,因为,所以②,①②联立可得:,因为,所以,即,根据截距式直线方程可得:,化简可得:.故答案为：.【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:(1)设出点的坐标;(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.求下列问题的排列数:（1）3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;（2）3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.【答案】（1）480（2）504【解析】【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置,再给甲找位置,另4人全排,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.【小问1详解】解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,将4人全排共种,4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,所以男生甲和女生乙不能相邻共种【小问2详解】由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,当乙不排排头,因为乙不能排排尾,所以乙只能排中间4个位置中,共种,因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,还有4个位置,选一个位置给甲,有种,此时还有另4人,没有限制,全排列有种,故当乙不排派头时有种,所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:种.18.已知圆过点，，.（1）求圆的方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.【小问1详解】设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为，即；【小问2详解】当过点的直线斜率不存在时，此时，弦长为，不符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线l的方程为，即，所以，解得或，所以直线的方程为或，即或.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，又因为底面是正方形，所以，且，平面，平面.所以BD⊥平面PAC．【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，，，，所以，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，得，取，，得，取，所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.20.已知为原点，线段的端点在圆上运动.（1）求线段长度的取值范围；（2）点在线段上，且，求动点的轨迹方程.【答案】（1）|OA|（2）【解析】【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.【小问1详解】圆的圆心为，半径，则，由于，所以||；【小问2详解】设,,由点在线段上，且，可得，则有可得，因为点在圆上，代入得，整理可得点的轨迹方程为.21.伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：前一天当天篮球羽毛球篮球0.40.6羽毛球0.60.4（1）已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？（2）已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：运动项目篮球羽毛球能量消耗（卡）500400问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）【答案】（1）打篮球（2）打篮球【解析】【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消