2022年北京市海淀区高三数学一模考试逐题解析

2022年北京市海淀区高三一模数学考试逐题解析

局二数字2022.3

本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，满分15。分，考试

时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将

本试卷和答题纸一并交回。

第I卷(选择题共40分)

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项。

1.已知集合4={%]-1<%<2},3={x|x>()},则AUB=

A.{%|2}x>-1}

C.{x|x>-1}D.{%[%>0}

【答案】B

【解析】

A={x\-\<x<2},B={x|%>0},所以AUB={%|%2—1}

故选B

2.在复平面内，复数z对应的点为(1,-1),则z(l+i)=

A.2B.2i

C.-2iD.-2

【答案】A

【解析】

因为z对应的点为(1,—1),所以z=l—i,z(l+i)=(l-i)(l+i)=l-i2=1+1=2

故选A

J?

3.双曲线7-的离心率为

AV3RV6

33

C.—D.V3

3

【答案】C

【解析】

2

因为双曲线r土-V=i,

3

所以/=3,〃=1,cr=a2+b2=4,-=

aV33

故选C

4.在(4-1)4的展开式中，尤2的系数为

A.-lB.1

C.TD.4

【答案】B

【解析】

因为(五―4的通项公式为J=禺(«产(-步=,

令2+2=2解得r=0

2

所以产的系数为仁(—1)。=1

故选B

5.下列命题中正确的是

A.平行于同一个平面的两条直线平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.垂直于同一个平面的两个平面平行

D.垂直于同一条直线的两个平面平行

【答案】D

6.已矢口直线+=l是圆％之+9一2%—2y=0的一条对称轴，则的最大值为

A.-B.-C.lD.V2

42

【答案】A

【解析】因为直线/:or+Oy=1是圆％2+y2-2%-2y=0的一条对称轴，则直线/过圆心,

将圆方程化为标准方程：(x-+(y-Ip=2,则圆心为(1,1),所以a+。=1,则〃=1-〃，

ab—a(l—a)=—a"+a=—(a—)'H—,所以a人的最大值为一.

244

故选A

7.已知角a的终边绕原点。逆时针旋转与后与角尸的终边重合，且cos(a+〃)=l,则

a的取值可以为

A」B—C.2D.史

6336

【答案】C

【解析】因为角a的终边绕原点。逆时针旋转日后与角夕的终边重合，所以

27r2冗2元

a+—+2kn=4(keZ),贝Ucos(a+力)=cos(2a+—+2hr)=cos(2a+—)=1,

2<z+—=2kji(Z:eZ),a=-—+kit(ZrGZ),所以a可以为生.

333

故选c

8.已知二次函数/(%)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(%)的图

象,则不等式g(%)>log2X的解集是

A.(-oo,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(O,1)

【答案】C

【解析】根据图象可以得到f(x)经过(-2,0),(0,1),(1,0)这

三个点，所以将/(外向右平移2个单位后g(%)过

(0,0),(2,1),§,0)这三个点，可以求出g(%)=-V+g

同时画出>=以刈与>=1奥2》的草图，如右图所示:

y=g(x)与y=log2%只有一个交点(2,1),

当xe(0,2)时，y=g(%)在y=log2%图像上方，

所以不等式g(x)>log2%的解集是(0,2)

故选C

9.在△ABC中，A=4,则“sinB＜是“△ABC是钝角三角形”的

42

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

充分性：因为在△ABC中sinB＜立，所以8〈巴或8〉生，又因为A=4,所以8＜三，

24444

因为C=TU-A-8,所以。＞4，△A3C是钝角三角形，充分性成立；

2

必要性：因为△ABC是钝角三角形，则B可以为"，sinB=—＞—,必要性不成立.

322

故选A

10.甲医院在某段时间内，累计留院观察的某病例疑似患者有98人，经检测后分为

确诊组和排除组，患者年龄分布如下表:

年龄（岁）[20,40)[40,60)[60,80)[80,+oo)总计

[0,20)

确诊组人数0374014

排除组人数7411519284

为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7

人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用X,丫分别表示两种抽样方式下

80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论：

①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；

②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；

③x,y的取值范围都是｛0」,勺；

65

④E（X）<E（r）.

其中，正确结论的个数为

A.lB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①错误，所以抽7人均不在确诊组的概率为0>0,可能发生;

。98

②错误，所抽7人均小于20岁的概率为£>0,可能发生；

③正确，两种抽法，80岁及以上可能被抽到的人数均为0,1,2；

④正确，分别写出x,y分布列

2

X0

65

C；6c*c；

P

C；8

J_2

Y0

65

C；2——

P

Cl

计算量较大，会占用过多时间。

可结合对概率的理解，因为80岁及以上的人在两种抽样中均为2人，所以总人数越多,

抽到的概率越小。

故有石(X)(石(F).

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

11.已矢口抛物线丁=2〃%的准线方程为无=—1,贝!Jp=.

【答案】2

【解析】

解：由抛物线方程丁=2〃%可知抛物线方程为x=-

则有一“=p=2.

2

12.已知｛%｝是等比数列，S“为其前几项和.若的是6,S2的等差中项，§4=15,则4=

,q=.

【答案】2,1

【解析】

解：•••｛〃”｝为等比数列，且2%=q+S2

/.2a2=2q+a2

a2=2〃]即q=2

又丁S4=a]+%+/+%=q+2a]+4ay+84=15q=15

/.4=1.

13.若函数=1的值域为［-1,+QO),则实数。的一个取值可以为

【答案】1,(。＞0的任意一个数)

【解析】

解：对a进行分类讨论

①当a=0时/(九)=2'T,值域/(%)w(-l,+co),不符合题意;

②当a<0时/(%)=2，v-a-l,值域/(%)G(-a-l,+oo),且-不符合题意;

图①图②图③

14.已知《］,°2是单位向量，且与乌二。，设向量〃=丸《］+“2，当2=〃=1时，（a,e）=

;当％+〃=2时，,一ej的最小值为.

【答案w，等

【解析】

解：(1)因为。=4+02，

2

所以同=^(e,+e2)»(e}+e2)=^(e,+2e2»e]+e;)=J1+1=\[1,

(e]+e2)»ei

同.同V22

(2)因为。=又4+〃=2

a—C]=(A—1)G+(2—2)e

,一止,(…/

=J[(丸-De〕+(2―/l)e2H(2-1)0]+(2-/l)e2]

=7(2-l)2+(2-A)2

3

2

15.已知函数/(%)=上红空，给出下列四个结论：

x~+1

①/(%)是偶函数；②/(%)有无数个零点；

③/(X)的最小值为-；；④/(%)的最大值为1.

其中，所有正确结论的序号为.

【答案】①②④

【解析】①正确，y=cos%与y=V+l均为偶函数，所以/(%)为偶函数；

②正确，取心=4+左兀,攵GZ即可；

2

③错误，易知〃1)=」，/，⑴」…fsin吗二2%cosm

2(Y+1)-

所以:(l)=g〉O

又因为/'(幻为连续函数，所以必存在/<1,满足％e(尤0」)时，;(尤0)〉。

所以/⑶在(%,1)上单增，所以/(x0)</(l)=-1.

④正确，易知/(0)=1,xwO时，cos7Lre[-l,l],x2+1>1

COSTLY

所以"(%)l=l|<1,所以/⑴皿=1

x2+l

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分14分)

设函数/(%)=2sin%cos%+Acos2x(AeR).已知存在A使得/(%)同时满足下列三

个条件中的两个：

条件①：/(0)=0；

条件②：/(x)的最大值为血；

条件③：x=工是/(%)图象的一条对称轴.

8

(I)请写出/(X)满足的两个条件，并说明理由；

(II)若/(尤)在区间(0,m)上有且只有一个零点，求相的取值范围.

【解析】

(I)/(x)=2sinxcos%+Acos2x=sin2x+Acos2%=VFT^sin(2%+0)

(其中tan0=A,/e(-g,-|));

由条件①/(0)=0得A=0;

由条件②/(x)的最大值为及得A=±l;

由条件③：％=工是/(%)图象的一条对称轴得二+°=E+g#eZ;

842

冗7T

所以°=——,keZ，所以A=tanQ=tan—=1;

44

所以/(x)满足条件②③.

(II)由(I)知/1(%)=41sin(2jc+—);

4

f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，

所以/<2加+工W2万，—<m<—;

488

加的取值范围（至，立］

88

17.(本小题满分14分)

如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形.平面AADDJ平面

ABCD,AD=2,AAi=AiD.

(I)求证：A,D1.AB；

(II)若直线AB与平面AQG所成角的正弦值为巨，求AA的长度.

［解析］^D、

(I)•••底面ABCO是正方形，//

：.ABVAD.//\\

又,/平面AADD,_L平面ABCD,//---------夕;

平面ANOQD平面ABCD=AD,////

BC

ABu平面A6CD,

AB_L平面AADR,

4。(=平面44。2，

二.\DVAB.

(II)取AZ)中点O,3。中点E,连接04、OE,

•.•底面ABCQ是正方形，,

AOEHAB,OEA.AD

'：AB_L平面4皿兀

o石，平面

0EV0A,,

AAi=AiD,EC

，。41AD,

：.OE,OD,0A两两垂直,

以。为原点，OE,0D,西分别为％,y,z轴正方向建立空间直角坐标系

O-xyz.

设。4=a,(a>0)

则A(O,—1,O),8(2,-1,0),D(O,1,O),4(0,0,。)，G(2,2,a).

则煜=(2,2,0),以=(0,-La),瓶=(2,0,0).

设平面A.DC1的一个法向量为〃=Q,y,z),

〃・4G=2%+2y=0

则

n•£)A=-y+az-0

令z=L得％=-a,y=a,

n={—a,a,V).

设直线A3与平面所成的角为6,

则sin0=|cos<AB,n〉|=,

\AB\-\n\

gnV2lI-2.I

即-----=------1■

72xJ2a2+1

整理得/=3,

Va>0,

••a=，

：.^(0,0,73),村=(0,1,6),

M=府+『+(G)2=2,

所以A4的长度为2.

18.(本小题满分14分)

《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23

点到次日凌晨1点).相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越

低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.

组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比

1[0,51)0.1%9.2%

2[51,66)11.1%47.4%

3[66,76)34.6%31.6%

4[76,90)48.6%11.8%

5[90,100]5.6%0.0%

注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.

(I)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分

位数分别在第几组？

(II)据统计，睡眠指数得分在区间［76,90)内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠

指数得分在区间［76,90)内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡

人群的人数，求X的分布列与数学期望风X)；

(III)根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间［76,90)

内•试判断这种说法是否正确，并说明理由.

【解析】

(I)V0.1%+11.1%=11.2%<25%,0.1%+11.1%+34.6%=45.8%>25%,

早睡人群睡眠指数25%分位数在第3组；

V9.2<25%,9.2%+47.4%=56.6>25%,

晚睡人群睡眠指数25%分位数在第2组.

(II)由题意得X的取值范围是{0,1,2,3},

尸—。)=嘿及心;尸(X=l)=喝畤喧

P(X=2)=喝)2(,蔑尸—3)=%)审喂

分布列:

X0123

1124864

P

125125125125

4412

AE(X)=3x-=—

555

(III)不正确，理由如下:

因为各组睡眠指数的原始数据不明，所以当各组睡眠指数集中在左端点时，睡眠指数

的平均值估计为0x0.1%+51xll.l%+66x34.6%+76x48.6%+90x5.6%=70.473<76,

此时平均睡眠指数并未落在［76,90)区间内.

19.(本小题满分14分)

已知函数/(%)=，(依2_%+]).

(I)求曲线＞=/(%)在点(0,/(0))处的切线的方程；

(II)若函数/(%)在x=0处取得极大值,求a的取值范围;

(III)若函数/(%)存在最小值，直接写出a的取值范围.

【解析】

(I)•.•/(%)=ex(ax2-x+1)

.,./'(%)=eRax+(2a—1)]

.,-.f(O)=O,/(O)=l

二.曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线的方程为y=1

(II)Vf(x)=ex(ax2-x+l),xeR

f'(x)=exj([ax+(2a-1)]

(1)当a=0时，令f'(x)--exx=0,x=0

当工变化时，/'(x)、/(x)的变化情况如下：

X(-℃,0)0(0,+QO)

f'M+0—

fM/极大值

函数/(%)在x=0处取得极大值/(0)=1，满足题意

1_0/7

(2)当a<0时，令/'(%)=e'M"+(2a-l)]=0,%=0或%

a

当x变化时，/'(%)、/(x)的变化情况如下:

,1-2即1一2a(J—^,0)

X(8,)0(0,+8)

aaa

f'(x)—0+0—

于(X)极小值/极大值

二.函数/(%)在x=0处取得极大值/(0)=1,满足题意

(3)当a>0时，令/'(%)=e'+(2a—1)]=0,为=0或%=-----

a

①当匕即=0即。=]_时一，八外20恒成立

a2

此时函数/(%)在R上单调递增，无极值，不满足题意

②当]^£〉0即0<4<J_时

a2

当％变化时，(@)、/(%)的变化情况如下:

1—2〃A-2a、

X(-00,0)0(0.—)(,+8)

aaa

/'(X)+0—0+

/(%)/极大值极小值/

...函数/(%)在X=0处取得极大值/(0)=1,满足题意

③当匕即<0即4〉工时一

a2

当工变化时，/'(%)、/(%)的变化情况如下:

,1一2乐1一2a

X(8,)0(0,+oo)

aaa

/'(%)+0——0+

/(%)/极大值极小值

...函数/(x)在X=0处取得极小值/(0)=1,不满足题意

综上所述，

函数在％=。处取得极大值时a的取值范围为(-8,1)

(III)(0,1]

20.(本小题满分15分)

YV21

已知椭圆C-T+==l(4>b〉0)的下顶点A和右顶点8都在直线4：y=—(%-2)上.

a~b~2

(I)求椭圆方程及其离心率；

(II)不经过点6的直线L：y=丘+机交椭圆C于两点P,Q，过点尸作工轴的垂线交4于

点。，点P关于点。的对称点为E.若E,3,Q三点共线，求证：直线4经过定点.

【解析】

(I)因为椭圆的下顶点A和右顶点B都在直线4:y=g(x-2)上,

所以下顶点A坐标为(0,-1),右顶点3坐标为(2,0)

即：a=2,b=1

由：a2=Z?2+c2

得：c=V3

所以椭圆的方程为三+丁=1,离心率e=£=且

4-a2

(II)设点尸(%”y),Q(x2,y2)

，2一

联立了+y=1

y=kx+m

整理得：(1+4Z:2)x2+Shwc+4m2-4=0

A=(Ak2nr-4(4公+l)(4m2一4)>0,M4Zr2+l>m2

-Skm4m2-4

1-1+4公1-l+4k2

由题意：O(x”g(X|-2)),E(%],%-2-y)

_x,-2-y,—%

KK

BE-%]一R2'BQ~/-2C

若及民。三点共线，则怎E=%BQ

gp.%-2-y=%

Xj—24-2

整理:(X1-2)y2-(%1-2-^])(x2-2)=0

代入y}=kx]+m,y2=kx7+m

得：(再—2)(^x2+tii)—(石—2—kx、—〃z)(%2—2)=0

整理得:(2k-1)玉％2+(m-2k+2)(再+x2)-4(m+l)=0

代入韦达定理：(2左一1)细＜+(加一2左+2)卫勺一4(m+1)=0

1+4K1+4K

整理得：(2女+机)(2£+僧+1)=