2024年1月广元市高2021级高三一诊文科数学试卷

秘密★启用前广元市高2021级第一次诊断性考试 数学(文科) 2024.1.3本试卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|-3<x<2},B={x|x²+4x-5≤0},则A∩B=A.ØB.(-3,1]C.[-1,2)D.(-3,2)2.复数z=1+i1-i+i,则|zA.1B.2C.2D.43.已知向量a=(1,3),b=(-2,-1),则(a+b)·(2a-b)=A.10B.18C.(-7,8)D.4.已知命题p:∃x∈R,2ˣ≥2x+1,则￢p为A.∃x∉R,2ˣ<2x+1B.∃x∈R,2ˣ<2x+1C.∀x∉R,2ˣ<2x+1D.∀x∈R,2ˣ<2x+15.甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：一下列说法正确的是A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大 数学(文科)试题第1页(共4页)

6.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2023，则输出的y值为A.116B.C.14D.7.已知数列{an}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，若a₁+a₅+a₉=9,b2b5bB.A.2D.33C.C.8.已知F₁,F₂为双曲线C:x2a2-yeb2=1a0,b>0)的左、右焦点,点A在C上,A.x29-y26=19.若直线y=kx与曲线y=lnx相切,则k=A.1e2B.2e2C.1e10.函数fx=sinωx+ω(ω＞0,|ω|<A.52B.83C.7311.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,下列结论正确的是A.AB₁与A₁C₁所成的角为60°B.DB₁与A₁C₁所成的角为60°C.AB₁与A₁D所成的角为45°D.DB₁与C₁D₁所成的角为45°12.已知O为坐标原点,F₁,F₂是椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)的左、右焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF₂⊥x轴,直线AP与y轴交于点M,直线BM与PF₂交于点Q,直线F₁Q与yA.13B.12C.23二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数fx=a-1x²+asinx为偶函数，则y≤4-x,14.已知实数x,y满足{y+2≥0,则2x+3y的最大值为___________y≤x+2,(数学(文科)试题第2页(共4页)15.在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若A₁B₁=2,AB=4,则该四棱台的高是.16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为?译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果(“优”或“良”)制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300(1)通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系?(2)现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产--线的概率.附表及公式：P(K²≥k₀)0.150.100.050.0250.010k₀2.0722.7063.8415.0246.635其中K18.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形，A=π3,,求△AB从①a=23；②b=2这两个条件中任选一个；补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.数学(文科)试题第3页(共4页)19.(12分)已知O为坐标原点，过点P(2，0)的动直线l与抛物线C:y²=4x相交于A,B两点.(1)求OA.OB;(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20.(12分)如图,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,直线C₁B⊥平面ABC,,(1)求证:AC⊥BB₁;(2)若AC=BC=BC₁=2,，在棱A₁B₁上是否存在一点P，使得四棱锥P一BCC₁B₁的体积为43?若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.21.(12分)已知函数f(1)若a=0,判断f(x)在-π(2)当a>0,探究f(x)在(0,π)上的极值点个数.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，已知曲线C:x²+y²=|x|+y(其中y>0),曲线C1:x=tcosαy=tsinα(t为参数,t>0),曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)若曲线C与C₁,C₂分别交于A,B两点,求△OAB面积的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|2x-2|+|x+2|.(1)解不等式f(x)≤5-2x;(2)令f(x)的最小值为T,正数a,b满足a²+b²+2b=T,证明：a+b≤2asinBcosB(３２cosB－１２sinB)＝３bsinA．２分由正弦定理,得２３sinAsinBcos２B－２sinAsin２BcosB＝３sinBsinA．∵A,B∈(０,π),∴sinAsinB≠０．∴２３cos２B－２sinBcosB＝３．４分∴３cos２B＝sin２B,即tan２B＝３．５分∵BasinBcosB(３２cosB－１２sinB)＝３bsinA．２分由正弦定理,得２３sinAsinBcos２B－２sinAsin２BcosB＝３sinBsinA．∵A,B∈(０,π),∴sinAsinB≠０．∴２３cos２B－２sinBcosB＝３．４分∴３cos２B＝sin２B,即tan２B＝３．５分∵B∈(π２,π),∴２B∈(π,２π)．∴２B＝４π３,即B＝２π３．６分(Ⅱ)由题意,得BD→＝BC→＋CD→．７分∵AC＝４AD,∴BD→＝BC→＋３４CA→＝BC→＋３４(BA→－BC→)＝１４BC→＋３４BA→．９分∴BD→２＝(１４BC→＋３４BA→)２＝１１６(BC→２＋６BA→BC→＋９BA→２)．∴抛物线E的方程为y２＝４x．４分(Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在且为０．设直线l的方程为y＝kx＋m,A(x１,y１),B(x２,y２)．由y＝kx＋m,y２＝４x{消去y,得k２x２＋(２km－４)x＋m２＝０．∴Δ１＝(２km－４)２－４k２m２＝－１６km＋１６＞０,∴km＜１．∴x１＋x２＝４－２kmk２,x１x２＝m２k２．５分∴y１y２＝(kx１＋m)(kx２＋m)＝k２x１x２＋km(x１＋x２)＋m２＝km(４－２km)k２＋２m２＝４mk．∴OA→OB→＝x１x２＋y１y２＝m２k２＋４mk＝－４．７分∴(mk＋２)２＝０,∴mk＝－２．∴m＝－２k,此km＝－２k２＜１．∴直线l的方程为y＝k(x－２)．８分假设在x轴上存在点H(x０,０),使得x轴分∠MHN．则直线HM的斜率与直线HN的斜率之和为０．设M(x３,y３),N(x４,y４)．由y＝k(x－２),y２１２＋x２９＝１ìîíïïïï消去y,得(３k２＋４)x２－１２k２x＋１２k２－３６＝０．∴Δ＜３,有|x２－x|＋１＜３．１分∴|x２－x|＜２,即－２＜x２－x＜２．３分解x２－x＞－２,x２－x＜２{得－１＜x＜２．４分∴等式f(x)＜３的解集为(－１,２)．５分(Ⅱ)由已知,有|x２－x|＋|x－２|＋m＋１＞０恒成立,即－m＜|x２－x|＋|x－２|＋１恒成立．令g(x)＝|x２－x|＋|x－２|＋１．则g(x)＝x２－２x＋３,x＜０;－列；（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为会．试判断，之的大小关系．（结论要求证明）（19）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）当，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若在区间存在极小值，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于（与重合）两点，直线与直线交于点．求证：．（21）（本小题14分）若无穷数列满足如下两个条件，则称上准确填写校和姓名，将条形码粘贴在答题卡相应位置处。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔。5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体2．港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分的全长为6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国的第一条外海沉管隧道．将数字55000用科数法表示为A．5.5×103 B．55×103 C．5.5×104 D．0.55×1053．如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，过点E作GE⊥EF于E，如果∠GEB=120°，那么∠EFD的大小为A．60° B．50°C．40° D．30°4．围棋起源于中国，古称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是对称的是 A B C D5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果，下列结论中错误的是A． B． C．．6．正五边形的内角和为A．108° B．720° C．360° D．540°7．某数兴趣小组做“用频率估计概率”的实验，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．抛掷一个质地均匀的正六满分5分）解：原式…2分3分∵，∴∴…5分20．（本小题满分5分）（1）作图正确.2分（2）略.…3分21．（本小题满分5分）（1）∵□ABCD，∴BC∥DE.∴∠CBE=∠BED.∵BE分∠CBD，∴∠CBE=∠EBD.∴∠EBD=∠DEB.∴BD=DE.又∵BC=BD，∴BC=DE，∴四边形