空间向量的坐标表示与计算_第1页
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空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:1.平面向量根本定理：3.平面向量的正交分解及坐标表示xyo2.正交分解问题：

我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP

由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得

探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？于是存在三个实数x，y，z，使所以P=xa+yb+zc.注意：

空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，反之基底必须是不共面向量，零向量当然不能作基底。空间向量根本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使其中叫做基向量例1、向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．二、空间向量直角坐标系1.单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示2.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系O--xyz

其中，点O叫做原点，向量e1,e2,e3叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面其中

(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.起点在坐标原点时，终点A点的坐标就是向量p的坐标xyzOA(x,y,z)e1e2e3QBC3.空间向量的坐标表示给定一个空间直角坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3

p3.1.5空间向量运算的坐标表示平面向量运算的坐标表示：一．复习回忆那么:（1）(2)（3）（4）那么，空间向量运算的坐标表示又怎么样呢？〔一〕向量的直角坐标运算二、讲授新课解:例2若

1、向量的长度〔模〕公式〔二〕向量的模与夹角在空间直角坐标系中，已知、，则推广：2.两个向量夹角公式例3.求以下两个向量的夹角的余弦：三、空间向量坐标的综合应用已知、，求：线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则∴点的坐标是.

练习：A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足以下条件的点D的坐标〔1〕DB//AC,DC//AB(2)DB⊥AC,DC⊥AB且AD=BC解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，那么

如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

练习2、已知垂直于正方

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