逻辑学（第4版） 课件 第3章 命题逻辑

第三章命题逻辑余俊伟中国人民大学哲学院yujw@纲要第一节

联结词与复合命题第二节

真值形式与命题推理第三节真值函数第四节命题逻辑的公理化中国人民大学哲学院余俊伟yujw@2第一节联结词与复合命题一、判断、语句和命题判断是对对象有所断定的思维形式（1）鸟都是有羽毛的。（2）塑料不是导电的。（3）闯红灯是犯罪行为。判断有所断定，都有真假。判断通常由陈述句表达，而反问句也间接地表达了判断。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@3第一节联结词与复合命题一、判断、语句和命题判断是对对象有所断定的思维形式判断有所断定，都有真假。判断通常由陈述句表达，而反问句也间接地表达了判断一般疑问句，没有做出断定，没有真假判断与语句不是一一对应的同一判断可以由不同语句表达；同一语句可以表达两种判断逻辑学，尤其是传统逻辑，一般将表达判断的语句称为命题。命题都有真假。真假在逻辑上统称为真值。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@4第一节联结词与复合命题二、联结词、原子命题和复合命题原子命题是不包含和自身不同命题的命题。任何一个复合命题总是由两部分构成：联结词和联结词所联结的成分。所联结的成分必须是命题，因此，联结词又称为命题联结词；其所联结的命题称为支命题。联结词属于逻辑常项；支命题属于变项，叫命题变项。一般使用p、q、r

等字母表示命题变项复合命题的形式结构类型是由联结词决定的中国人民大学哲学院余俊伟yujw@5第一节联结词与复合命题二、联结词、原子命题和复合命题（1）小张下午喝了一杯咖啡。（2）小张晚上失眠了。（3）小张下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了。（1）与（2）是原子命题；（3）是复合命题（1）与（2）是它的支命题，“并且”是它的联结词。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@6第一节联结词与复合命题二、联结词、原子命题和复合命题（1）小张下午喝了一杯咖啡。（2）小张晚上失眠了。（3）小张下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了。（4）因为小张下午喝了一杯咖啡，所以他晚上失眠了。（3）与（4）是两种不同类型的复合命题。真值联结词与非真值联结词：区别为，所构成的复合命题的真值是否仅由支命题的真值决定的中国人民大学哲学院余俊伟yujw@7第一节联结词与复合命题二、联结词、原子命题和复合命题作为复合命题的支命题未必是原子命题（5）（小张下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了），但是，并非他第二天上班迟到了。我们要求命题是有穷长的中国人民大学哲学院余俊伟yujw@8第一节联结词与复合命题二、联结词、原子命题和复合命题有些推理的有效性仅依赖于命题联结词命题逻辑就是通过研究命题联结词的逻辑特性研究命题推理有效性常用的联结词有“并非”、“并且”、“或者”、“如果，那么”和“当且仅当”为结合自然语言分析，一般都增加“要么，要么”和“只有，才”中国人民大学哲学院余俊伟yujw@9第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（一）负命题负命题就是否定某个命题的命题。负命题也叫否定命题被否定的命题叫否定支。表达否定的联结词中，典型的是“并非”并非所有的天鹅都是白的。并非只有高年级同学才能选修这门课负命题的一般形式是：并非p。其中“并非”是逻辑常项，“p”是命题变项，是支命题，叫否定支。现代逻辑：以﹁表示对“并非”的逻辑抽象；﹁p中国人民大学哲学院余俊伟yujw@10第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（一）负命题负命题就是否定某个命题的命题。负命题也叫否定命题。负命题的真值表p﹁p真假假真中国人民大学哲学院余俊伟yujw@11第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题联言命题就是断定了几种事物情况同时存在的命题生命不可能有两次，但是许多人连一次也不善于度过。哲学家们只是用不同的方式解释世界，而问题在于改变世界。联言命题的一般形式是：p

并且

q。其中，“并且”是逻辑常项，p、q

称为联言支，是变项。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@12第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题联言命题就是断定了几种事物情况同时存在的命题联言命题的一般形式是：p

并且q。其中，“并且”是逻辑常项，p、q称为联言支，是变项。“不但p，而且q”、“既p

，又q”、“虽然p

，但是q”、“不仅p，也q”路遥知马力，日久见人心。现代逻辑：以“∧”表示对“并且”的逻辑抽象；p∧q读作“p合取q”中国人民大学哲学院余俊伟yujw@13第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题联言命题就是断定了几种事物情况同时存在的命题联言命题的真值表pqp∧q真真真真假假假真假假假假中国人民大学哲学院余俊伟yujw@14第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题联言命题就是断定了几种事物情况同时存在的命题“并且”，合取符号∧，是个二元联结词。当一个联言命题有三个支命题时，其自然语言表达往往写成“p

并且q

并且r”，严格表达应为：

p并且(q并且r)

，或者（p并且q)

并且r

[以∧表示应为：p

∧(q∧r)或者(p

∧q)∧r]。但是，先左结合的结果，与先右结合的是一样的中国人民大学哲学院余俊伟yujw@15第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题有关联言命题如下两种推理形式：1.分解式

p

并且q

p∧q

所以，p∴p

或者

p并且q

p∧q

所以，q∴q

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@16第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（二）联言命题有关联言命题如下两种推理形式：2.合成式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@17第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题选言命题就是断定了几种事物情况至少有一种存在的复合命题。学习成绩不好，或者是由于主观不够努力，或者是由于方法不得当。人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。选言命题的支命题称为选言支。有的选言命题的选言支可以同时成立，有的则不能。第一个例子中的两种情况可以同时存在第二个例子中的两种情况是不能并存的中国人民大学哲学院余俊伟yujw@18第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题1.相容选言命题相容选言命题是断定了几种事物情况至少有一种存在，而且可以同时存在的选言命题相容选言命题的一般形式是：p或者q，“或者”是逻辑常项现代逻辑以“∨”表示对“或者”的进一步逻辑抽象“p∨

q”叫做析取式，读作“p析取q”，p、q叫做析取支。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@19第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题1.相容选言命题相容选言命题是断定了几种事物情况至少有一种存在，而且可以同时存在的选言命题pq

p∨

q真真真真假真假真真假假假中国人民大学哲学院余俊伟yujw@20第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题1.相容选言命题（1）否定肯定式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@21第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题1.相容选言命题（2）析取引入律中国人民大学哲学院余俊伟yujw@22第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@23第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题2.不相容选言命题不相容选言命题是断定了几种事物情况有且只有一种存在的选言命题pq要么p，要么q真真假真假真假真假假假真中国人民大学哲学院余俊伟yujw@24第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题2.不相容选言命题pqr要么p，要么q，要么r真真真假真真假假真假真假真假假真假真真假假真假真假假真真假假假假中国人民大学哲学院余俊伟yujw@25第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（三）选言命题2.不相容选言命题不相容选言命题是断定了几种事物情况有且只有一种存在的选言命题“要么，要么”虽是逻辑常项，但不是通常意义上的函数二元真值联结词。因为将它看作二元真值联结词，中国人民大学哲学院余俊伟yujw@26第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@27第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@28第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@29第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@30第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题1.条件关系与假言命题事物之间的条件关系包括充分条件关系和必要条件关系。A是B的充分条件指：有

A则有B。A是B的必要条件指：无A则无

B。因此，从充分与必要两种条件关系考虑，事物之间的关系有四种：充分不必要；必要不充分；既充分又必要；既不充分又不必要。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@31第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题1.条件关系与假言命题事物之间的条件关系包括充分条件关系和必要条件关系。“大于6”是“大于3”的充分条件，但不是必要条件“年满18周岁”是“拥有选举权”的必要条件，但不是充分条件“是等边三角形”是“是等角三角形”的既充分又必要条件。这种条件关系也简称为充要条件“感染新冠病毒”既不是“咳嗽”的充分条件也不是“咳嗽”的必要条件。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@32第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题1.条件关系与假言命题中国人民大学哲学院余俊伟yujw@33第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题1.条件关系与假言命题中国人民大学哲学院余俊伟yujw@34第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题1.条件关系与假言命题假言命题是断定两种事物情况之间条件关系的复合命题。有两个支命题，表示条件的支命题叫前件，表示依赖条件而成立的支命题叫后件。根据假言命题断定前件是后件的何种条件，假言命题分为三种：充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@35第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题充分条件假言命题是断定前件是后件的充分条件的假言命题。例如：如果法国队赢得下一场比赛，它将成功晋级决赛。断定了“法国队赢得下一场比赛”是“法国队成功晋级决赛”的充分条件中国人民大学哲学院余俊伟yujw@36第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题充分条件假言命题是断定前件是后件的充分条件的假言命题。pqp→q真真真真假假假真真假假真中国人民大学哲学院余俊伟yujw@37第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题“p→q”与“如果p，那么q”的涵义不完全相同。后者更多时候被称为（充分）条件句。前者是对条件句的一种抽象，仅考虑前件、后件与条件句三者之间在真假方面的关系，断定：一个为真的（充分）条件句排除了前件真而后件假这种情况，而不考虑其他如因果、时空等涉及内容意义方面的因素。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@38第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题“p→q”与“如果p，那么q”的涵义不完全相同。人们会认为，“如果2+2=4，那么雪是白的”是一个病句，因为我们看不出前件与后件之间有什么内容上的关联。另外，前件为假的充分条件假言命题的真值都为真，也与直觉不符。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@39第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题“p→q”与“如果p，那么q”的涵义不完全相同。例如，一名旅客因为晚到检票口三分钟而错过列车，基于此，人们很自然会认为以下两个语句的真值是不同的。如果这名旅客早5分钟到检票点，那么他能赶上他想坐的那趟列车。如果这名旅客早5分钟到检票点，那么他不能赶上他想坐的那趟列车。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@40第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题“p→q”与“如果p，那么q”的涵义不完全相同。然而，将“如果，那么”抽象成“→”，仅考虑真值，那么二者都为真。这也是为什么人们称上述真值表所定义的这种蕴涵为实质蕴涵的一个原因。“实质”意为仅考虑最为本质的因素。对于探求知识而言，真是最本质关键的因素。相应地，人们称这种背离直觉为实质蕴涵怪论。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@41第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题（1）肯定前件式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@42第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题2.充分条件假言命题（2）否定后件式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@43第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@44第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题3.必要条件假言命题必要条件假言命题是断定前件是后件的必要条件的假言命题。pq真真真真假真假真假假假真中国人民大学哲学院余俊伟yujw@45第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@46第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题3.必要条件假言命题（2）肯定后件式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@47第一节联结词与复合命题

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@48第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题4.充要条件假言命题充要条件假言命题是断定前件是后件的充要条件的假言命题。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@49第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题4.充要条件假言命题（1）肯定前件式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@50第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题4.充要条件假言命题（2）肯定后件式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@51第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题4.充要条件假言命题（3）否定前件式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@52第一节联结词与复合命题三、基本复合命题及其推理形式（四）假言命题4.充要条件假言命题（4）否定后件式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@53第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理如果我说的是真话，那么，你不应当任命我为法官。如果我撒谎，那么，你不应当任命我为法官。或者我说真话，或者我撒谎。所以，你不应当任命我为法官。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@54第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理二难推理是由两个充分条件假言命题与一个选言命题构成的推理形式，也叫假言选言推理。如果他有勇气，他就敢于同困难作斗争。如果他有智慧，他就善于同困难作斗争。他或者不敢同困难作斗争，或者不善于同困难作斗争。所以，他或者缺少勇气，或者缺少智慧。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@55第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理1.简单构成式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@56第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理2.简单破坏式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@57第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理3.复杂构成式

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@58第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（一）二难推理4.复杂破坏式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@59第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（二）反三段论反三段论是由充分条件假言命题和联言命题组合得到的一种常见的推理形式。如果你签订了合同，同时又履行了合同义务，那么你就不承担违约责任。你签订了合同并且承担了违约责任。所以，你没有履行合同义务。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@60第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（二）反三段论1.中国人民大学哲学院余俊伟yujw@61第一节联结词与复合命题五、组合推理形式（二）反三段论2.中国人民大学哲学院余俊伟yujw@62第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表1.真值形式真值形式是由命题变项与（命题）联结词合乎规则地构成的有穷长的符号表达式。它是在命题逻辑层次上解析命题得到的形式结构。特别地，我们规定单个命题变项也是真值形式。

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@63第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表1.真值形式真值形式是由命题变项与（命题）联结词合乎规则地构成的有穷长的符号表达式。所用联结词本身联结多少个支命题必须是明确的。在表达式中出现的联结词作用在哪个或哪些支命题上是明确的。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@64第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表2.真值表如何画真值形式的真值首先，分析由命题变项开始如何逐步得到完整的真值形式由的过程。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@65第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表2.真值表如何画真值形式的真值首先，分析由命题变项开始如何逐步得到完整的真值形式由的过程。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@66第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表2.真值表其次，写下所有命题变项的全部真值组合。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@67第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表最后，根据常用联结词的真值表表计算出每一种组合下每列真值形式的值。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@68第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表2.真值表一个真值形式的真值表列值，是指其真值表中，其所在之列对应的值。如上表中最右列即为真值形式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@69第二节真值形式与命题推理一、真值形式（一）真值形式与真值表2.真值表一个真值形式的真值表列值，是指其真值表中，其所在之列对应的值。一个真值形式的真值表列值如果都为真，我们称该真值形式为重言式；如果都为假，我们称其为矛盾式，介于二者之间者，即有真也有假者，为偶真式，或可真可假式。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@70第二节真值形式与命题推理一、真值形式（二）基本复合命题的负命题1.负命题的负命题“并非‘非P’”等值于“P”用符号表示即为：中国人民大学哲学院余俊伟yujw@71第二节真值形式与命题推理一、真值形式（二）基本复合命题的负命题2.联言命题的负命题“并非‘p并且q’”等值于“非p

，或者，非q”用符号表示即为：中国人民大学哲学院余俊伟yujw@72第二节真值形式与命题推理一、真值形式（二）基本复合命题的负命题3.相容选言命题的负命题“并非‘p

或者q’”等值于“非p，并且，非q”用符号表示即为：中国人民大学哲学院余俊伟yujw@73第二节真值形式与命题推理

真真假真假假假真真真真假真假假真假假假真假真真假真假假假假真假假假真真真真假真真中国人民大学哲学院余俊伟yujw@74第二节真值形式与命题推理

中国人民大学哲学院余俊伟yujw@75第二节真值形式与命题推理一、真值形式（二）基本复合命题的负命题7.充要条件假言命题的负命题中国人民大学哲学院余俊伟yujw@76第二节真值形式与命题推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.归谬赋值法简化真值表方法。给定一个蕴涵式，为判定它是否为重言式，先假设它不是重言式，因而其前件真而后件假。接着由此分析其前件与后件所包含的支命题的取值，直至确定其中命题变项的取值。在此过程中如果出现要给同一个真值形式（通常是命题变项）既赋予真又赋予假这种矛盾情况，则说明所给的蕴涵式是重言式；否则，就不是重言式。理论上，它可用于判定任何一种真值形式是否为重言式。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@77第二节真值形式与命题推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法中国人民大学哲学院余俊伟yujw@78第二节真值形式与命题推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法一个合取范式是重言式当且仅当其每个成员都是重言式。一个析取范式是矛盾式当且仅当其每个成员都是矛盾式中国人民大学哲学院余俊伟yujw@79第二节真值形式与命题推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法命题3.3将一个真值形式中的某部分（或全部，即该真值形式本身）替换与之等值的真值形式，所得结果与原真值形式等值。这种替换叫等值置换。命题3.4任意一个真值形式总是等值于一个合取范式，也等值于一个析取范式。与其等值的合取范式（析取范式）称为它的合取范式（析取范式）。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@80第二节真值形式与命题推理一、真值形式（三）重言式的判定方法上式是合取范式。它既不是重言式也不是矛盾式。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@81第二节真值形式与命题推理二、命题推理及其有效性判定（一）复合命题的真值形式例3.6写出下列复合命题的真值形式。（1）哲学不消灭无产阶级，就不能成为现实；无产阶级不把哲学变成现实，就不可能消灭自己。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@82第二节真值形式与命题推理二、命题推理及其有效性判定（二）一般命题推理及其判定中国人民大学哲学院余俊伟yujw@83第二节真值形式与命题推理二、命题推理及其有效性判定（二）一般命题推理及其判定例3.7

写出下列命题推理的真值形式。（1）如果按前面所提到的多年教科书中对真理发展规律的表述，把意见的矛盾斗争简单化，认为真理与错误一开始便界限分明，相比较而存在，相斗争而发展，那就必然会自居真理，把自己的意见当成真理，而把不同意自己的意见一律当作谬论，要进行批判、斗争中国人民大学哲学院余俊伟yujw@84第三节真值函数一、n元真值函数的总数一元真值函数的定义域就是真值集｛真、假｝。它有两个元素。一元真值函数有4个，如下表所示：中国人民大学哲学院余俊伟yujw@85第三节真值函数一、n元真值函数的总数中国人民大学哲学院余俊伟yujw@86第三节真值函数二、真值函数集的完备性真值函数有无穷多个，常用的是前面讨论的那五个。这五个常用的真值函数是否足够？足够是指仅用这五个就足以“表示”全部真值函数。答案是肯定的。下面先定义表示，然后对上述肯定答案作出详细说明。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@87第三节真值函数二、真值函数集的完备性否则，它至少在一种情况下取真。以如下三元真值函数为例我们说明如何构造一个析取范式表示

。以下函数在三种情况下为取真，我们就分别构造三个简单合取。中国人民大学哲学院余俊伟yujw@88第三节真值函数二、真值函数集的完备性中国人民大学哲学院余俊伟yujw@89第三节真值函数二、真值函数集的完备性中国人民大学哲学院余俊伟yujw@90第三节真