2023-2024学年辽宁省鞍山市第五十一中学九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

五十一中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题一．选择题（共5小题）1．如若关于x的方程有一个根为，则a的值是（

）A．9 B．5 C．3 D．2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．关于的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为B．对称轴为直线C．当时，y随x的增大而增大D．开口向下4．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．5．一元二次方程与的所有实数根的和等于（）A．2 B．-4 C．4 D．36．如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（

）A．点 B．点 C．点 D．点7．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．8．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（

）A． B． C． D．9．如图，在同一直角坐标系下，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．10．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（

）A． B． C． D．二．填空题（共3小题）11．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是．12．已知实数，满足，则代数式的最小值是．13．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的项点均是格点，则的值是．

14．如图，在平面直角坐标内有点，点第一次跳动到点，第二次点跳动到，第三次点跳动到，第四次点跳动到依此规律动下去，则点的坐标是．

15．如图，中，，，，把绕点顺时针方向旋转度得到，交射线于点，当是等腰三角形时，则线段的长为．三．解答题（共3小题）16．解下列方程：(1)；(2)．17．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线对应的函数表达式并用配方法求顶点D的坐标．(2)点F在抛物线上，且位于之间．过点F作x轴的平行线交抛物线于点G．过点G、点F作x轴的垂线垂足分别为H、E．求矩形周长的最大值．18．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．(1)若，求证：．(2)若，求的长．19．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，(1)请求出y关于x的函数关系式．(2)设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？20．党的十八大以来，复兴号实现对31个省区市全覆盖按照有关规定：距离铁轨道200米以内的区域噪音影响超过标准，不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．请阅读以下材料，完成问题：材料1：在中的所对的直角边等于斜边的一半．材料2：如图是一个小区平面示意图，矩形为一新建小区，直线为高铁轨道，、是直线上的两点，点、、在一直线上，且，．小王看中了①号楼单元的一套住宅，与售楼人员的对话如图：(1)小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；(2)若一列长度为228米的高铁以252千米/时的速度通过时，则单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：，，）21．（1）在数学课上，李老师给出如下问题：如图，在平面直角坐标系中，点、点、点，求的面积小明、小宇同学提出了他们的解题思路①小明同学从三角形的形状入手②如图：小宇同学连接，将三角形的面积转化为若干个小三角形的面积的和差．请你选择一名同学的解法，求出的面积．

（2）李老师肯定了这两名同学的思路，并指出小宇的解法对于研究三角形（有两个点在轴上）面积具有普遍意义．李老师提出了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与一次函数交于A、C两点，点D是某函数图像上的一点，且的面积为4，利用小宇同学的解法求出点D的横坐标．

说明：①点D的位置需要同学自己确定②请先在答题卡上写明点D的具体位置，并在答题卡上的对应图形上标清点D．如果需要增加新的函数图像，直接在答题卡，上画出图像并标清点D．22．阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．23．自从我校九年级数学兴趣学习小组成立以来，参与同学集思广益，兴趣盎然，一次某学习小组为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程【实践】：（1）他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式【应用】：（2）按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽米，最高米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙，可借助图2解决）？【探究】：（3）该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下问题，请予解答：如图3，过原点作一条直线，交抛物线于，交抛物线的对称轴于，为直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，问在直线上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．B【详解】解：由题意得，解得：；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．2．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．3．C【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意；，抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，故选：C．4．D【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．【详解】解：由题意可得：将绕点C顺时针旋转得，，故选：D．【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．5．D【详解】解：方程中，∴该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．方程中，所以该方程无解．∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D．6．C【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．【详解】解：如图所示：∵以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，∴对应点到位似中心的距离比值为1：2，∴A的对应点为：点．故选：C．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．7．C【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越小，∵点都在二次函数的图象上，，∴，故选：C．8．B【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．【详解】解：如图，，过圆心O，连接，，，，纸条的宽为，，，，，，设，，，，，，，，，纸杯的直径为．故选：B．9．C【分析】根据一次函数和二次函数的图象来判断即可．【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，,故本选项正确；D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟知一次函数和二次函数的图象是解题的关键．10．B【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，即故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质．11．k＜﹣【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝9+4k＜0，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，解得：k＜﹣．故答案为：k＜﹣．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程没有实数根；是解本题的关键．12．3【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是3．【详解】解：，，，，，当时，代数式有最小值等于3，故答案为：3．13．##【分析】延长到D，连接，由网格可得，即得，可求出答案．【详解】解：延长到，连接，如图：

∵，，，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．14．【分析】根据跳动后点的坐标的变化，可得出变化规律“，（n为非负整数）”，再代入即可求出结论．【详解】解：因为，，，，，，，，…，（n为正整数），当时，，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标规律探究，解决本题的关键是寻找点的变化规律．15．5或6或【分析】根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论：①当为顶点，即，即可求解；②当为顶点，即，由等腰三角形的定义得，再由旋转的性质和勾股定理可求，，由等腰三角形的性质得，即可求解；③当为顶点，即，过作交于，由判定得，由相似的性质得，从而可求出、的长，由勾股定理得，即可求解．【详解】解：①当为顶点，即，如图，与重合，；②当为顶点，即，如图，，由旋转得：，，，，，，，，；③当为顶点，即，如图，过作交于，，，，，，解得：，，；综上所述：的长为或或；故答案：或或．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等；掌握相关的判定方法及性质，能根据等腰三角形不同顶点进行分类讨论是解题的关键．16．(1)，(2)【分析】本题考查解一元二次方程，含特殊角的三角函数值计算，掌握一元二次方程的常用解法，各个特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键．（1）将方程变形为，利用因式分解法解该一元二次方程即可；（2）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质，化简绝对值法则计算即可得到结果．【详解】（1）解：，，，∴或，∴，；（2）解：原式．17．(1)，顶点(2)20【分析】（1）根据对称轴公式得出，把点A的坐标代入函数表达式得出，求出a，b的值即可；（2）设，矩形周长为s，则，根据矩形的性质求出，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，∴，解得，∴抛物线对应的函数表达式，∵，∴顶点坐标为；（2）解：设，矩形周长为s，则，∴，∴当时，s有最大值为20，即矩形周长的最大值为20．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、矩形的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解本题的关键．18．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．（1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即；（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴即；（2）解：∵平行四边形中，，又∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．19．(1)(2)当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元【分析】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式、根据实际问题求二次函数解析式及根据二次函数的增减性求最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．【详解】（1）设y与x的函数关系式为，，得，即y与x的函数关系式为；（2）由题意可得，，∵在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，∴，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，w取得最大值，此时．答：当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．20．(1)理由见解析(2)受影响的时间为秒【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，含的直角三角形的性质．解决问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形．（1）作过点作，垂足为，根据含的直角三角形可求得的长，再与200米比较大小即可求解；（2）在上找到点、，使得米，根据勾股定理可求，即可，根据速度可得单元用户受到影响时间有多长．【详解】（1）解：作过点作，垂足为，∵，，∴，∵，米∴，则米，∴米，又∵，∴单元用户会受到影响，则售楼人员的说法不可信．（2）在上找到点、，使得米，∴米，∴米，又∵速度252千米/时米/秒，∴时间秒，即受影响的时间为秒．21．（1）5；（2）点D是一次函数上的一点，，点的坐标为或（答案不唯一）【分析】本题考查坐标与图形，二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积问题，根据图形表示出三角形的面积，列出方程是解决问题的关键．（1）小明同学的解法：由勾股可得，，，进而可知，即：，利用直角三角形面积公式即可求解；小宇同学的解法：连接，根据，利用三角形面积公式即可求解；（2）由题意可得，，，当点D是一次函数上的一点时，设，①点在右侧时，则；②点在左侧时，则；分别求出的值，即可求得点的坐标．【详解】解：（1）小明同学的解法：∵、、，∴，，，∴，即：，∴；小宇同学的解法：连接，

则；（2）当时，，解得，，当时，，解得，，∴，，，则，，，∴，当点D是一次函数上的一点时，设，①点在右侧时，

则即：，解得：，则点的坐标为，②点在左侧时，

则即：，解得：，则点的坐标为，综上，点D是一次函数上的一点，点的坐标为或（答案不唯一）．22．(1)见解析(2)①，见解析；②2或4【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；（2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：延长至，使，连接，在和中，，∴（），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①解：线段与的数量关系为：，证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：∵点为的中点，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，，∴，∵