【数学】贵州省遵义市2024届高三上学期12月月考试题（解析版）

贵州省遵义市2024届高三上学期12月月考数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意：，所以.故选：A.2.复数的虚部是（）A.I B.1 C. D.-3【答案】D【解析】，所以虚部为.故选：D.3.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】抛物线的标准方程为，故其准线方程为，点在抛物线上，故，由抛物线的定义知，，故选：C.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为在上单调递减，所以，因为在R上单调递减，所以，因为在上单调递减，所以，故.故选：B.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故充分性成立，当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.在三棱柱中，平面是等边三角形，是棱的中点，在棱上，且.若，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取AB中点,连接DF，EF,因为D是BC的中点，所以，即异面直线AC

与

DE

所成角就是平面或补角，假设，因为△ABC

是等边三角形，所以,因,，所以,因为平面ABC，则为直三棱柱，所以,,在△DEF中，,故异面直线AC

与

DE

所成角余弦值为.故选：B.7.已知函数在上单调递增，则最大值是（）A.0 B. C. D.3【答案】A【解析】由题意可得，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，设，则，当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.故选：A.8.已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，故，画出与的图象，函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，则，解得.故选：D二、选择题9.根据国家统计局发布数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的分位数为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为【答案】ABD【解析】我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%，A正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为，C错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确.故选：ABD10.已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（）A.直线l过定点B.圆C的半径是6C.直线l与圆C一定相交D.点P到直线l的距离的最大值是【答案】BC【解析】直线l：，即由，解得，则直线l过定点，故A错误；圆C：，即，则圆C的圆心坐标为，半径为6，故B正确；因为点与的距离为，则点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定相交，故C正确；点P到直线l的距离的最大值是，故D错误．故选：BC．11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则的值可能是（）A.2 B.4 C.8 D.10【答案】AD【解析】设函数的最小正周期为,则或者，即或，解得或，故选：AD.12.在正四棱台中，，点在四边形内，且，则（）A.正四棱台的体积是56B.正四棱台的侧面积是C.正四棱台的外接球的表面积是D.的轨迹长度是【答案】ACD【解析】A选项，取正方形的中心，正方形的中心，连接，则⊥平面，过点作⊥于点，则⊥平面，，因为，所以，故，所以，因为，由勾股定理得，故正四棱台的体积为，A正确；B选项，过点作⊥于点，则，故，正四棱台的侧面积是，B错误；C选项，正四棱台的外接球球心在直线上，连接，则，如图所示，设，则，由勾股定理得，，所以，解得，所以，故外接球表面积为，C正确；D选项，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，如图，其中，故，又，由勾股定理得，由于，所以，故，故的轨迹长度是，D正确.故选：ACD.三、填空题13.已知向量，满足，且，则向量与的夹角是______.【答案】【解析】由条件，可得，即，，，得到，所以，又，所以．故答案为：.14.在数列中，，若是等比数列，则______【答案】41【解析】已知，则，，因为是等比数列，所以公比，所以，所以.故答案为：41.15.已知某比赛在六支队伍（包含甲、乙两支队伍）之间进行，假设这六支队伍的水平相当，则甲、乙这两支队伍都进入前3名的概率是______.【答案】【解析】这六支队伍按排名先后，共有种情况，其中甲、乙这两支队伍排在前3位的情况共有种，所以所求概率．故答案为：.16.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，若（为为椭圆的半焦距长），则椭圆的离心率是______【答案】【解析】联立与得，，解得，不妨设，则，故因为，所以，故，故，因为，所以，整理得，方程两边同除以得，，解得（舍去）或，故.故答案为：四、解答题17.设数列的前项和为且.（1）求的通项公式;（2）若，求数列的前项和.解：（1），则,两式相减得即，且时,，解得.所以（2）,.18.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.解：（1）因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．19.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，且，，，，.（1）证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以，，又，由余弦定理得，故，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，⊥，又，所以⊥，因为平面，平面，所以，，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，由得，故，解得，故，设平面的法向量为，故，令，则，故，设平面的法向量为，故，令，则，故，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.20.已知双曲线的右焦点为，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程;（2）过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.解：（1）由题意得，，则，，所以双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，，，，联立得，令，解得且，则，，，设点到直线的距离为，则，所以，解得或0（舍去），即，所以直线的方程为或.21.在中，，在边上，且.（1）若，求的周长;（2）求周长的最大值.解：（1）若，则，又，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，故，故的周长为；（2）由（1）知，，设，则，由三边关系可得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得故，所以