统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练8数列理

数列(8)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＝10，则S9＝()A．22.5B．45C．67.5D．902．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4＋log3a6＝()A．2B．3C．4D．93．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，则a2022＝()A．4B．2C．－2D．－44．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝()A．eq\f(15,8)B．eq\f(65,8)C．15D．405．已知数列{an}为首项为2，公差为2的等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，则eq\f(S2022,2022)＝()A．2021B．2022C．2023D．20246．《张丘建算经》卷上第二十二题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为()A．18B．20C．21D．257．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和为Sn，且Sn＋Sn－1＝2an(n∈N*)，则数列{|an－10|}的前n(n≥4)项和为()A．3n－1－10n＋42B．3n－1－10n＋30C．eq\f(1,2)·3n－10n＋eq\f(67,2)D．eq\f(1,2)·3n－10n＋eq\f(33,2)8．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n2－1,2)，n为奇数,\f(n2,2)，n为偶数))，若把这个数列{an}排成如图形状，并记A(m，n)表示第m行中从左向右第n个数，则A(9，5)的值为()0248121824324050……A．2520B．2312C．2450D．23809．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝(－1)n＋1(an－n)＋n，记{an}的前n项和为Sn，则下列选项错误的是()A．a48＋a50＝100B．a50－a46＝4C．S48＝600D．S49＝60110．[2023·山东高三二模]已知数列{an}，an＝eq\f(1,f（n）)，其中f(n)为最接近eq\r(n)的整数，若{an}的前m项和为20，则m＝()A．15B．30C．60D．11011．[2023·甘肃省永昌县第一高级中学期末]等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，数列bn＝eq\f(an,（an＋1－1）（an－1）)，{bn}的前n项和为Tn，则T10的值为()A．eq\f(4094,4095)B．eq\f(2046,2047)C．eq\f(1022,1023)D．eq\f(510,511)12．在数列{an}中，a1＝1，数列{eq\f(1,an)＋1}是公比为2的等比数列，设Sn为{an}的前n项和，则下列选项错误的是()A．an＝eq\f(1,2n－1)B．an＝eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2)C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为递减数列D．S3>eq\f(7,8)[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．在等差数列{an}中，a2＋a6＋2a10＝8，则数列{an}的前13项和为________．14．[2023·全国乙卷(理)]已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．15．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，写出一个满足Sn＝(2－eq\f(1,2n－1))an的通项公式：an＝________．16．已知{an}为等比数列，且an>0，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，Tn为其前n项之积，若Tn>1，则n的最小值为________．数列（8）1．B由等差数列的性质可得：a1＋a9＝a3＋a7＝10，则S9＝eq\f(（a1＋a9）×9,2)＝45.故选B.2．C等比数列{an}中，若a5＝9，所以a4a6＝（a5）2＝81，所以log3a4＋log3a6＝log3（a5）2＝log381＝4.故选C.3．D因为a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，所以an＋2＝2－an＋1－an，则a3＝2－a2－a1＝－4，a4＝2－a3－a2＝2，a5＝2－a4－a3＝4，…，所以数列{an}是以3为周期的数列，则a2022＝a674×3＝a3＝－4.故选D.4．C方法一若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由eq\f(1－q5,1－q)＝5×eq\f(1－q3,1－q)－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝eq\f(1－q4,1－q)＝15.故选C.方法二由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得（1＋q）（q3－4q）＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.5．C依题意Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝2n＋n（n－1）＝n（n＋1），所以eq\f(S2022,2022)＝eq\f(2022（2022＋1）,2022)＝2023.故选C.6．C依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有eq\f(30（5＋a30）,2)＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.7．A由a1＝1，Sn＋Sn－1＝2an①，得a1＋a2＋a1＝2a2，解得a2＝2，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an②，由①②，得2Sn＝3an，则2Sn－1＝3an－1，两式相减，得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1，又a1＝1，a2＝2不符合上式，所以数列{an}从2项开始是以a2＝2为首项，3为公比的等比数列，则an＝2·3n－2（n≥2），所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2·3n－2，n≥2)).得a3＝6，a4＝18，所以a1－10，a2－10，a3－10均小于0，a4－10，a5－10，…，an－10均大于0.所以当n≥4时，数列{|an－10|}的前n项和为Tn＝（10－a1＋10－a2＋10－a3）＋（a4－10＋…＋an－10）＝21＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－3－10（n－3）＝2×eq\f(32（1－3n－3）,1－3)－10n＋51＝3n－1－10n＋42.故选A.8．D由题可知，设数阵第n行的项数为bn，则数列{bn}是以1为首项，公差为2的等差数列，数列{bn}的前8项和为1×8＋eq\f(8×7,2)×2＝64，所以，A（9，5）是数列{an}的第64＋5＝69项，因此，A（9，5）＝eq\f(692－1,2)＝2380.故选D.9．A因为a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1（an－n）＋n，所以当n为奇数时，an＋2＝an＝a1＝1；当n为偶数时，an＋an＋2＝2n.所以a48＋a50＝96，选项A错误；又因为a46＋a48＝92，所以a50－a46＝4，选项B正确；S48＝a1＋a3＋a5＋…＋a47＋[（a2＋a4）＋（a6＋a8）＋…＋（a46＋a48）]＝24×1＋2×（2＋6＋…＋46）＝24＋2×eq\f(（2＋46）×12,2)＝600，故C正确；S49＝S48＋a49＝600＋1＝601，选项D正确．故选A.10．D由题意知，函数f（n）为最接近eq\r(n)的整数，又由f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，f（6）＝2，f（7）＝3，f（8）＝3，f（9）＝3，f（10）＝3，f（11）＝3，f（12）＝3，…由此可得f（n）在最接近eq\r(n)的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4，…又由数列{an}满足an＝eq\f(1,f（n）)，可得a1＝a2＝1，a3＝a4＝a5＝a6＝eq\f(1,2)，a7＝a8＝…＝a12＝eq\f(1,3)，…则a1＋a2＝2，a3＋a4＋a5＋a6＝2，a7＋a8＋…＋a12＝2，…因为{an}的前m项和为20，即Sm＝10×2＝20，可得数列{m}构成首项为2，公差为2的对称数列的前10项和，所以m＝10×2＋eq\f(10×9,2)×2＝110.故选D.11．B由题意得an＝2n，所以bn＝eq\f(2n,（2n＋1－1）（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)，所以T10＝eq\f(1,2－1)－eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,22－1)－eq\f(1,23－1)＋…＋eq\f(1,210－1)－eq\f(1,211－1)＝1－eq\f(1,211－1)＝eq\f(2046,2047).故选B.12．B因为a1＝1，数列{eq\f(1,an)＋1}是公比为2的等比数列，所以eq\f(1,an)＋1＝2·2n－1＝2n，所以an＝eq\f(1,2n－1)，故A正确，B错误；因为y＝2x－1（x≥1）是单调递增函数，故y＝eq\f(1,2x－1)（x≥1）是单调递减函数，故数列{an}是递减数列，故C正确；S3＝a1＋a2＋a3＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,7)>eq\f(7,8)，故D正确．故选B.13．答案：26解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＋2a10＝8，∴（a1＋d）＋（a1＋5d）＋2（a1＋9d）＝8，∴a1＋6d＝2，则S13＝13a1＋eq\f(13×（13－1）,2)d＝13（a1＋6d）＝26.14．答案：－2解析：方法一设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))q17＝－8②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.方法二设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.15．答案：2n（答案不唯一）解析：当an＝2n时，Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2，（2－eq\f(1,2n－1)）an＝（2－eq\f(2,2n)）2n＝2n＋1－2＝Sn，∴an＝2n满足条件．16．答案：4解析：设等比数列的公比为q，则eq\f(a3＋a4,a1＋a2)＝9＝q2，而an>0，故q>0，故q＝3，所以a1＋3a1＝1即a1＝eq\f(1,4)，故an＝eq\f(1,4)×3n－1，故Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)31＋2＋3＋…＋n－1＝eq\f(3\s\up6(\f(n（n－1）,2)),4n)，由Tn>1可得eq\f(3\s\up6(\f(n（