统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练6平面向量三角函数与解三角形理

平面向量、三角函数与解三角形(6)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·全国甲卷(理)]已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(4,5)2．已知平面向量a＝(1－x，3＋x)，b＝(2，1＋x)，若a·b＝4，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)3．已知sinθ＋cosθ＝－eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，则sinθ－cosθ＝()A．eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．eq\f(7,5)D．－eq\f(7,5)4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))－1(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，则下列点的坐标为f(x)的对称中心的是()A．(eq\f(π,12)，－1)B．(eq\f(π,12)，0)C．(－eq\f(π,12)，－1)D．(－eq\f(π,12)，0)5．若在△ABC中，2a·cosB＝c，则三角形的形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－15eq\r(3)B．－30C．－15D．157．函数y＝eq\f(xsinx,e|x|)的图象大致为()8．[2023·全国甲卷(理)]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos(2x＋eq\f(π,6))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交点个数为()A．1B．2C．3D．49．已知偶函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－eq\r(3)cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在(0，1)上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围为()A．(2π，4π]B．(3π，4π]C．(4π，6π]D．(3π，5π]10．已知函数f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))，则下列说法错误的是()A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的定义域为{x|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}C．f(x)的图象关于点(－eq\f(π,8)，0)对称D．f(x)在(0，eq\f(π,8))上单调递增11．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则下列说法错误的是()A．AB＝4eq\r(2)B．△ABC的面积为1C．△ABC外接圆直径是5eq\r(2)D．△ABC内切圆半径是6－4eq\r(2)12．已知函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，先将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列选项错误的是()A．g(x)＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6))B．g(x)的图象关于x＝－eq\f(7π,2)对称C．g(x)的最小正周期为4πD．g(x)在(－3π，－eq\f(3π,2))上单调递减[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知θ为第二象限角，若tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，则sinθ＋cosθ的值为________．14．已知sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，则sinx＝________．15．已知a>0，b>0，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，若m⊥n，则2a＋b的最小值为________.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2csinB＝(2a＋c)tanC，bsinAsinC＝eq\r(3)sinB，则△ABC面积的最小值是________．平面向量、三角函数与解三角形（6）1．D∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.方法一又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝eq\r(（2a＋b）2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，|b－c|＝|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，∴cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(4,5)，故选D.方法二如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－c，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c，而|AB|＝eq\r(2)，|AC|＝|BC|＝eq\r(5)，在△ABC中，由余弦定理得cos〈a－c，b－c〉＝cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝cos∠ACB＝eq\f(5＋5－2,2\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故选D.方法三如图（图同方法二），令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），∴a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），则cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(2＋2,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故选D.2．B由a·b＝4可得2（1－x）＋（3＋x）（1＋x）＝4，即x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，所以a＝（2，2），b＝（2，0），则cos〈a，b〉＝eq\f(4,2\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq\f(π,4).故选B.3．C（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)<0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（eq\f(π,2)，π），sinθ>cosθ，（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，所以sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).故选C.4．C∵f（x）两条相邻对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，∴f（x）最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋eq\f(π,6)）－1，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ（k∈Z），解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)（k∈Z），此时f（x）＝－1，∴f（x）的对称中心为（eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，－1）（k∈Z），当k＝0时，f（x）的一个对称中心为（－eq\f(π,12)，－1）.故选C.5．B由2a·cosB＝c以及余弦定理得2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.6．Ceq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos（180°－60°）＝6×5×（－eq\f(1,2)）＝－15.故选C.7．D令f（x）＝eq\f(xsinx,e|x|)，该函数的定义域为R，f（－x）＝eq\f(－xsin（－x）,e|－x|)＝eq\f(xsinx,e|x|)＝f（x），所以，函数y＝eq\f(xsinx,e|x|)为偶函数，排除AB选项；当0<x<π时，sinx>0，则y＝eq\f(xsinx,e|x|)>0，排除C选项．故选D.8．C把函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数f（x）＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x的图象．作出函数f（x）的部分图象和直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．Df（x）＝sin（ωx＋φ）－eq\r(3)cos（ωx＋φ）＝2sin（ωx＋φ－eq\f(π,3)），因为|φ|<eq\f(π,2)，则－eq\f(5π,6)<φ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)，故f（0）＝2sin（φ－eq\f(π,3)），又函数f（x）为偶函数，故φ－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,6)，故f（x）＝2sin（ωx－eq\f(π,2)）＝－2cosωx，因为函数f（x）在（0，1）上恰有2个极大值，故当x＝1时，3π<ω×1≤5π，即3π<ω≤5π.故选D.10．A由题意，函数f（x）＝tan（2x＋eq\f(π,4)），可得f（x）的最小正周期为T＝eq\f(π,2)，所以A不正确；令2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，即函数f（x）的定义域为{x|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}，所以B正确；令2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,4)，k∈Z，当k＝0时，可得x＝－eq\f(π,8)，所以函数f（x）的图象关于点（－eq\f(π,8)，0）对称，所以C正确；由x∈（0，eq\f(π,8)），可得2x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,4)，eq\f(π,2)），根据正切函数的性质，可得函数f（x）在（0，eq\f(π,8)）上单调递增，所以D正确．故选A.11．BcosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝－eq\f(3,5)，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝25＋1＋6＝32，故AB＝4eq\r(2)，A正确；sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(4,5)，故S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝2，B错误；由正弦定理知，外接圆直径为eq\f(AB,sinC)＝eq\f(4\r(2),\f(4,5))＝5eq\r(2)，C正确；设内切圆半径为r，则eq\f(1,2)r·AB＋eq\f(1,2)r·AC＋eq\f(1,2)r·BC＝S△ABC，则r＝eq\f(2×2,1＋5＋4\r(2))＝6－4eq\r(2)，D正确．故选B.12．A对于A选项，将y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，可得到函数y＝sin（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)）的图象，再将所得图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，可得到函数g（x）＝sin[eq\f(1,2)（x－eq\f(π,6)）＋eq\f(π,3)]＝sin（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)）的图象，A错；对于B选项，g（－eq\f(7π,2)）＝sin（－eq\f(7π,4)＋eq\f(π,4)）＝sin（－eq\f(3π,2)）＝1，B对；对于C选项，函数g（x）的最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，C对；对于D选项，当－3π<x<－eq\f(3π,2)时，－eq\f(5π,4)<eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)<－eq\f(π,2)，所以，函数g（x）在区间（－3π，－eq\f(3π,2)）上单调递减，D对．故选A.13．答案：－eq\f(\r(10),5)解析：由tan（θ＋eq\f(π,4)）＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－eq\f(1,3)，即eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(1,3)，即3sinθ＋cosθ＝0，根据角θ在第二象限，由3sinθ＋cosθ＝0sin2θ＋cos2θ＝1解得sinθ＝eq\f(\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).14．答案：eq\f(\r(2)＋4,6)解析：由x∈（0，π），可得x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)），因为sin（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(1,3)<eq\f(\r(2),2)＝sineq\f(π,4)，所以x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)），所以cos（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(2\r(2),3)，又由sinx＝sin[（x＋eq\f(π,4)）－eq\f(π,4)]＝eq\f(\r(2),2)sin（x＋eq\f(π,4)）－eq\f(\r(2),2)cos（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(2)＋4,6).15．答案：8解析：根据题意，向量m＝（a＋2b，－9），n＝（8，ab），若m⊥n，则m·n＝8（a＋2b）－9ab＝0，即8（a＋2b）＝9ab，变形可得eq\f(1,b)＋eq\f(2,a)＝eq\f(9,8)，则2a＋b＝eq\f(8,9)×eq\f(9,8)（2a＋b）＝eq\f(8,9)×