机电系统的运动方程

1.4机电系统的运动方程0501116金玉玉（一）保守系统弹簧受力而压缩时，弹簧内部将储存位能；物体受外力作用而运动时，物体将具有一定的能。电容器由电源充电时，其电场内将存储一定的电场能量；线圈通过电流时，其磁场内将存储一定的磁场能量。这些能量，在一定的条件下存储在物体或元件内，当条件变化时它们有可以部分或全部释放出来。由这样一些能够存储能量、释放能量、没有任何损耗的物体或元件所组成的，与周围系统没有能量交换的自守物理系统，就称为保守系统。由于没有能量的损耗，且不与周围的能源相关，所以保守系统的总能量为守恒。在机电系统中，把所有的损耗移出，并不与外界的电源或机械能源相连接，则系统就是一个保守系统。如果考虑损耗，或者与外部能源连接，则系统将是“非保守的”。（二）状态函数描述系统即时所处状态的一组独立变量，称为状态变量。由一组状态变量所确定的、描述系统即时状态的单值函数，称为系统的状态函数。保守系统的一个特点是，系统的储能（例如磁场能量）以及由储能的偏导数所确定的广义力，仅与系统的即时状态有关，而与系统的历史及到达此状态的路径无关。所以系统的储能以及相应的广义力（例如电磁力）都是状态函数。例如，对单边激励的机电系统，若可动部分作旋转运动，机、电系统各有一个自由度，若选磁链Ψ和转角θ为状态变量，则磁能就是一个状态函数，它单值地取决于Ψ和θ的终值。同理，磁共能

亦是一个状态函数。应当注意的是，状态变量虽有多种选择方案，但它们必须是独立变量。在解决实际问题时，选用还是选用，常常取决于初始状态的表述，以及希望解答中出现哪些量比较方便而决定。把系统中的损耗和能源移出，把系统当作为保守系统并用状态函数描述，对研究机电系统的能量过程和运动方程具有重要的意义。

（三）磁场储能和电磁转矩的普遍公式对于具有n个系统，绕组的机电总的磁场能量应为（2-50）磁共能为

（2-51）磁能和磁共能的和为

（2-52）在线性情况下

（2-53）用磁链Ψ和转角θ作为独立变量时，把θ作微分虚位移，从能量首恒出发，可以导出与式（2-46）相类似的电磁转矩公式即：

（2-54）若以电流和转角θ作为独立变量，可以证明

（2-55）

式（2-54）和式（2-55）就是电磁转矩的普遍公式，它对线性和非线性情况均适用。这里应当注意，式（2-54）和式（2-55）中或对θ求偏导数时，或作为常值，这仅是独立变量的选择所带来的一种数学制约，并不涉及实际端口处电的制约（例如电源电压的变化规律等等），因此不影响这两个公式的普遍性。表2-1列出了这两组公式的相互关系。表2-1由电磁力产生的电磁转矩磁能磁共能磁能与磁共能的关系对线性系统

独立变量从磁能计算电磁转矩从磁共能计算电磁转矩线性情况

[例2-4]某一单边激励的机电装置，其曲线如图2-12所示；图中第一条曲线对应可动部分的位移的位置，第二条曲线对应于的位置。现任选取两条路径到达终点A，试证明A点的磁能与路径无关。解先选取路径1，即沿的曲线到达A点。此时可动部分静止不动，输入装置的净电能全部变为磁能，故A点的磁能为在选路径2，即先沿着的曲线到达点，再从沿着铅垂线到达A点。此时，磁能的建立分成两个阶段：第一阶段（）中，，可动部分静止不动，输入装置的净电能全部转换为磁能，由此可得点的磁能为

第二阶段（）中可动部分的位置从移到，此时装置从电源输入的电能部分转换为磁能，部分转换为机械能，即其中转换为磁能的能量应为从点到A点时，电流保持为常值（），故又（所以

这样，由路径（2）到达A点时磁能应为即与路径1算出的值完全相同。磁能和磁共能均为状态函数，其值取决于运行点的电流（磁链）和位置的终值，而与达到该点的路径和方式无关，这从本例中可以清楚地看出。本例中，A点的磁能，对路径1是从电能转换而来的