集合与函数概念

人教A必修1教材解读第一章集合与函数概念第二章基本初等函数(Ⅰ)第三章函数的应用人教A第一册第一章集合与函数概念内容与课时（13课时）1.1.1集合的含义与表示约1课时1.1.2集合间的基本关系约1课时1.1.3集合的基本运算约2课时小结与复习约1课时1.2.1函数的概念约2课时1.2.2函数的表示法约2课时1.3.1单调性与最大（小）值约2课时1.3.2奇偶性约1课时小结与复习约1课时集合集合含义与表示基本关系基本运算一、知识结构二、目标定位集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。内容《标准》目标表述《大纲》目标表述集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

理解集合的概念；了解属于的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

了解包含、相等关系的意义；了解空集和全集的意义；集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。理解子集、补集、交集、并集的概念；三、纲标比较纲标变化《大纲》:关注对概念意义的了解、理解；《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境中”“体会”、“了解”、“理解”含义；《标准》：重视使用Venn图四、有限课时VS内容丰富不搞一步到位不拓展运算公式不搞偏题、怪题正确定位把握尺度集合语言——非集合论不搞一步到位集合作为语言，今后还须不断学习：导数、线性规划、解析几何、一元二次不等式点集“三步曲”：题7——练习——区域、曲线p9题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，使用集合的运算表示l1、l2的位置关系。p12习题1.1B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x},表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集合C、D有什么关系？不宜扩展：不拓展运算公式鸡肋：大纲版有，新课标作为思考理由：定位语言，非集合论、非技巧；大纲3课时，新课标1课时。举例：P10课本有误已知集合，若A为空集，求满足条件a的集合；若A为单元素集合，求满足条件a的集合；若A中至多有一个元素，求满足条件a的集合；不搞偏题、怪题考察内容是集合还是方程？是否加深了对集合理解？对发展集合语言交流能力有多少帮助4课时教学，能否达到这样深度？要用到多少次分类讨论高一新生对高中学习方式是否适应，是否应给他们一个下马威？集合小结知识内容同原先目标定位有变迁教材处理出新意难度把握不要偏函数一、目标定位1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中数学课程的始终”

2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”

3、教师：“学好了函数就可以对付高考”高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－图形、模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等），掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。内容《标准》目标表述《大纲》目标表述函数①

通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。

了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法。

了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。二、纲标比较函数教学要求变化删减:反函数增加：最值定义.函数的奇偶性降低：映射概念、复合函数

定义域、值域过于繁难的技巧化训练.提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、用函数图象研究函数性质函数模型的背景和应用信息技术整合.三、整体综述1、熟悉内容为主,结构顺序调整2、突出产生背景,强调实际应用p153、借助数学文化理解函数(函数发展史p26)4、借助信息技术理解函数p375、加强对函数性质研究方法的引导１.定性猜想２.定量刻画３.形式证明四、分节详解1.2.1函数的概念约2课时1.2.2函数的表示法约2课时1.3.1单调性与最大（小）值约2课时1.3.2奇偶性约1课时小结与复习约1课时1.2函数及其表示

——教学要求（4课时）函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般定义。要注意构成函数的要素和相同函数的含义注意函数三种表示法的联系、区别与适用性，注意分段函数的意义在求函数定义域、值域时，要控制难度。以丰富的实例引出函数概念加强背景，体现“函数模型”思想加强概念形成过程在学生头脑中形成丰富的函数例证抽象概念的学习要从具体例证开始理解抽象概念需要具体例证的支持1.2函数及其表示——教材亮点p15从变量、对应、图形三方面理解函数概念函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型函数是联结两类对象的桥梁——对应关系函数是“图形”——关系1.2函数及其表示——教材亮点p19思考：是原教材两个例题重组，为什么要重组？分析的第一句话起什么作用？这道题目对理解函数有那些帮助？求定义域、值域控制在什么难度？1.2函数及其表示——例题思考p171.3函数的基本性质——教学要求（4课时）本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入，再归纳几何特征。在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、逻辑性，并要求规范书写。教学中要重视数形结合思想方法的培养。要注意函数单调区间与定义域的关系,奇偶函数定义域的特征。学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简单函数的性质讨论。重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1创设情景

y=x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？建立模型观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1.3函数的基本性质——教材亮点一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．定义增函数释疑应用例1根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？1.3函数的基本性质——观点碰撞观点1：概念的引出有点罗嗦。观点2：只安排两个例题太少。观点3：例题后的探究也没深度p30。教学中心前移问题引导教学函数总结熟悉内容为主结构顺序调整目标要求有变教学方式求新基本初等函数(Ⅰ)人教A第一册第二章一、目标定位函数主线——强调函数是一类重要刻画现实世界中变化规律的模型。指数函数、对数函数、幂函数是三类不同函数增长模型在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解.标准大纲指数函数①

通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。④

在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质。

对数函数①

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。②

通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。③

知道指数函数y=ax与对数函数y=loga

x互为反函数。（a>0,a≠1）

理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图像，了解它们的变化情况。二、纲标比较纲标变化标准：强调通过具体实例，了解函数模型的实际背景能借助计算器或计算机画出具体函数的图像，探索并理解函数的单调性与特殊点。知道指数函数y=ax与对数函数y=loga

x互为反函数。增加了幂函数经历用有理指数幂逼近无理指数幂的过程。三、整体综述一条主线二种运算三类函数高中数学课程内容主线——函数一条主线：二种运算指数与指数幂运算对数与对数运算三类函数指数函数对数函数幂函数四、分节详解（14课时）2.1.1引言、指数与指数幂的运算约3课时2.1.2指数函数及其性质约3课时2.2.1对数与对数运算约3课时2.2.2对数函数及其性质约3课时2.3幂函数约1课时小结约1课时2.1指数函数——教学要求①了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；②理解n次方根与n次根式的概念，理解分数指数幂的含义，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；③能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；④通过经历用有理指数幂逼近无理指数幂的过程，了解实数指数幂的意义；⑤理解指数函数的概念和含义；⑥能用描点法或借助计算机（器）画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质（单调性、特殊点、定义域、值域）；⑦在解决简单的实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型；2.1指数函数——教材亮点无理指数幂原教材保留题目，为什么值得保留？考查什么内容？新旧教材在处理上是否相同？对（3）原：先给出解法，后注解；新：先分析后这种处理体现了什么？新在空白处有个小结框，给我们什么启示我们还能有什么启示p62例7比较下列各题中两个值的大小

（1）1.72.5,1.73（2）0.8-0.1,0.8-0.2

（3）1.70.3,0.93.1.2.1指数函数——例题思考2.2.1对数与对数运算——教学要求先通过具体实例，让学生知道研究对数的必要性。有关对数恒等式(公式)的教学,可先通过具体实例验证，再作证明.通过换底公式的应用，让学生再次体会化归思想通过例5（地震振幅的计算）、例6（碳14的衰变规律与考古研究）的教学，使学生感受对数在有关方面的实际应用。教材新增例题,有何目的？要求学生掌握用数学知识去分析、解决生活中的实际问题的方法.(这方面要求显然高于大纲）如何看待边上图画？

提高可读性和亲和力如何看待数字的烦琐？

对一些较复杂的实际问题也不回避,力求真实感受数学知识的产生和发展源于生活实践以及数学对推动社会发展的作用。2.2.1对数与对数运算——例题思考p732.3幂函数——教学要求（1课时）要求：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。重点：从五个幂函数认识幂函数的基本性质。难点：五个幂函数图象并由图象概括其性质。注意：只要求掌握5种。不必在一般的幂函数上作引伸和作过多的介绍。2.3幂函数——教学思考1、不在于增加额外题目2、可以让学生多活动；3、引导学生从感性认识向理性认识转化。在一次函数、二次函数中，有幂函数?幂函数很简单，如何发挥它的教育价值？函数主线不动摇两种运算改变少三类函数尺度准教学方式最重要第二章总结人教A第一册第三章函数的应用一、整体综述20个特点21组小节22项任务23节课时一个特点：

新增内容为主

应用单独立章新方法新观念体现函数价值巩固函数概念强调数学应用以“方程”为核心展开，变为以“函数”为核心展开。两个小节：

3.1函数与方程

3.2函数模型及其应用说明与建议：

6．在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

7．应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如：利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。四项任务1．函数与方程：

①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。2．函数模型及其应用：③利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二、分节详解节号内容课时3.1.1方程的根与函数的零点约1课时3.1.2用二分法求方程的近似解约2课时3.2.1几类不同增长的函数模型约2课时3.2.2函数模型的应用实例约2课时小结约1课时加强知识之间联系：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为后面的算法学习作一些准备等．加深对函数的理解：函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，以及在整个中学数学中多次接触，反复体会，螺旋上升地学习函数的纵向联系.大量的现实问题需要求方程的近似解。3、