第一章复数讲义-高三数学一轮复习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一章复数第一部分：知识点精准记忆1､复数的概念我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的表示：复数通常用字母表示，即，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.2､复数相等在复数集中任取两个数，，（），我们规定.3､复数的分类对于复数（），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数.这样，复数（）可以分类如下：4､复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1：复数复平面内的点（2）复数的几何意义——与向量对应复数的几何意义2：复数平面向量5､复数的模向量的模叫做复数）的模，记为或公式：，其中复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于（的绝对值）.6､共轭复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.（2）表示方法表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.7､复数代数形式的加法（减法）运算（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.第二部分：课前自我评估测试1．已知复数，则实数x，y分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数相等的条件可得结果.【详解】因为，所以，所以，得.故选：D2．已知复数，在复平面内对应点分别为，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据复数模的几何意义计算．【详解】由题意，故选：B．3．若，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，再根据共轭复数的定义求解即可.【详解】，所以.故选：C.4．复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．实轴 B．虚轴 C．第一象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用复数的乘除运算可解.【详解】解：由题意得：所以复平面内对应的点位于虚轴上故选：B5．若复数是纯虚数，则实数的值为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据纯虚数的定义列出式子即可求出.【详解】因为是纯虚数，所以，则，所以.故选：A.第三部分：典型例题剖析高频考点一：复数的概念例题1.（2022·河南·高二阶段练习（理））6．若复数，则的虚部为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的乘法运算，可得，由此即可得到复数的虚部.【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为.故选：A.例题2.（2022·山西现代双语学校高一阶段练习）7．已知i是虚数单位，，则复数的共轭复数的虚部为（

）A．1 B．C．2 D．－2【答案】C【分析】先求出复数，再由共轭复数及虚部的定义即可求解.【详解】由题意知：，故的共轭复数，虚部为2.故选：C.例题3.（2022·河南南阳·高二期中（理））8．已知i为虚数单位，a，b∈R，若，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案.【详解】依题意，所以，所以.故选：A例题4.（2022·河南新乡·高一期中）9．若复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数单位的周期性，结合复数在复平面内对应点的特征进行判断即可.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，它位于第三象限.故选：C题型归类练（2022·广东·华南师范大学第二附属中学高一期中）10．已知，若复数是纯虚数，则（

）A．0 B．2 C．0或 D．【答案】D【分析】根据纯虚数的概念直接得出，解之即可.【详解】由复数为纯虚数，得，解得.故选：D.（2022·山西省长治市第二中学校高一期中）11．已知若（为虚数单位）是纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的分类和性质可得答案.【详解】若（为虚数单位）为纯虚数，则，得，故选：A.（2022·广东·广州市育才中学高一期中）12．复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，计算求解即可.【详解】因为，所以，所以，即，所以复数的虚部为：.故选：D.（2022·山西·一模（理））13．设复数满足，则（

）A．-i B．-1 C．0或-1 D．0或-i【答案】D【分析】设出，得到方程组，求出，进而求出复数.【详解】设，则，则，所以，所以，解得：或，故或0故选：D（2022·辽宁沈阳·模拟预测）14．已知为复数，，则（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由已知求出复数，根据模长公式即可求解.【详解】解：因为为复数，，即，所以，所以，故选：B.（2022·安徽合肥·高三期末（文））15．若（i为虚数单位），则实数a的值为（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】由已知可得，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解.【详解】，∴.故选：A.（2022·广西广西·一模（理））16．已知复数的实部与虚部的和为12，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.【详解】，则有，，解得，则，，故．故选：C（2022·全国·高一课时练习）17．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若，，由即可求，写出.【详解】由题意，，若，，∴，则，即.故选：D高频考点二：复数的四则运算例题1.（2022·山东·模拟预测）18．若复数，则的模为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出，得到即可求解.【详解】解，则，所以故选：C例题2.（2022·河北唐山·高一期中）19．已知i为虚数单位，复数，则（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】先由复数的除法运算计算出，再按照乘方运算计算即可.【详解】，则，，，故.故选：C.例题3.（2022·北京海淀·二模）20．已知均为实数.若，则．【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】，故，.故答案为：0.例题4.（2022·全国·高一课前预习）21．若复数（），复数．(1)求；(2)若，求实数a的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）直接计算即可；（2）先计算，再由虚部为0求出a即可.【详解】（1）因为，所以；（2），由可得，解得.题型归类练（2022·浙江·模拟预测）22．已知，其中，i为虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等的概念，列出方程，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，解得.故选A．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））23．复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（

）A．i B．-i C．-1 D．1【答案】D【分析】由已知等量关系，应用复数的除法、加法求复数z，即可确定虚部.【详解】由题设，，所以z的虚部为1.故选：D（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测）24．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（

）A．2 B．3 C． D．1【答案】D【分析】根据复数的几何意义及复数的模性质计算即可【详解】复数z对应的点的坐标是，∴，则.故选：D（2022·河北·高三期中）25．若，则（

）A．16 B．6 C．12 D．10【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘法及加法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以故选：D（2022·吉林一中高一期中）26．已知复数z满足，则的最大值为．【答案】##【分析】令且，将问题转化为到圆上点的最大距离，再转化为到圆心的距离加半径即可得结果.【详解】令且，则表示圆，所以圆心为，半径为，由得表示圆上点到的距离，所以的最大值为.故答案为：.（2022·广西·浦北中学高二期中（文））27．已知i是虚数单位，则复数的模.【答案】【分析】由复数乘法化简复数，再求其模长.【详解】由，则.故答案为：2023年12月28日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________小题狂练一、单选题1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数除法运算化简即可求解.【详解】,故对应的点为，在第三象限，故选：C2．设复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，.故选：C.3．复数，为虚数单位，则A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：D.【点睛】本题考查复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.4．若复数的模为1，则不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果【详解】选项A:；选项B:选项C:；选项D:故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．5．已知复数满足：，且的实部为2，则A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意设，得到，求出，再根据复数的模的概念得到结果.【详解】设，则由，得到，则=.故选：B.6．已知复数(为虚数单位),则对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】化简,可得,即可求得对应的点.【详解】对应的点为,故在第四象限故选:D.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.7．是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数运算确定正确选项.【详解】依题意.故选：A8．i是虚数单位，复数，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出复数z，再求.【详解】因为i是虚数单位，复数，所以，所以.故选：A9．复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（

）A．(1，0) B．(0，1) C．(，0) D．(0，)【答案】D【分析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数z，可得复数z的坐标，从而可得答案.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.10．设复数在复平面内对应的点为，则(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出复数，然后化简即可【详解】由题意可得，所以，故选：D11．已知，i为虚数单位，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】把z值代入z2+z中计算即可得解.【详解】因，则故选：B12．设是虚数，是实数，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．无法确定【答案】A【分析】利用复数和模的定义，即可求解【详解】设，且，，为实数，则，得则，则的值为故选：A13．已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，代入原式，利用复数相等求出，进而可得答案.【详解】设，则，由可得：，则，，所以，故选：A．14．复数的虚部为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法和乘法算出，即得.【详解】，其虚部为.故选：C.15．已知复数满足(为虚数单位)，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查复数代数运算和共轭复数，属于基础题.16．复数的虚部是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由复数除法法则化简复数后可得虚部．【详解】，虚部为1．故选：A．17．已知a，b∈R，i为虚数单位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，则a+b=A．22 B．-16 C．9 D．-9【答案】A【分析】直接利用复数的乘法运算及复数相等的条件列式求得a，b的值．【详解】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，∴，解得a＝3，b＝19，∴a+b＝3+19＝22，故选A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．18．若复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义即可得解.【详解】因为，所以复数z的虚部为.故选：C.19．复数，则z在复平面内对应的点位于第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根据复数的除法结合复数的几何意义求解即可【详解】，故z在复平面内对应的点位于第四象限故选：D20．复数的虚部是A．—1 B． C．1 D．【答案】B【详解】的虚部为.应选B.二、多选题21．若，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则或C． D．若，则或【答案】ACD【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的定义，结合复数的乘法运算依次判断选项即可.【详解】A：设，则，所以，又，所以，故A对；B：设，满足，此时且，故B错；C：设，，，，，，所以，故C对；D：若，则或，故D对.故选：ACD.22．已知复数，则下列结论正确的是（

）A． B．C．z的共轭复数为 D．z的虚部为【答案】AD【分析】化简复数，利用复数的模、乘方运算、共轭复数、虚部概念逐一判断即可.【详解】∵，∴，A正确；，B错误；z的共轭复数为，C错误；z的虚部为，正确.故选：AD23．设是复数，则下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】由复数的模、复数的乘法、共轭复数依次判断4个选项即可.【详解】对于A，由得，即，错误；对于B，若，则互为共轭复数，故，正确；对于C，设，若，则，又，故，正确；对于D，若，则，而，错误.故选：BC.24．已知是复数的共轭复数，下列式子中与相等的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设（），分别利用复数的运算法则和模长公式逐一计算四个选项即可得正确选项.【详解】设（），对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C正确；对于D：，，故选项D正确，故选：BCD.25．下列命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若复数，满足，则C．若复数为纯虚数，则D．若复数满足，则的最大值为【答案】AD【分析】A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据的几何含义：以为圆心2为半径