《点和圆的位置关系》教案设计：浅析判定点是否在圆内的方法

第页共页《点和圆的位置关系》教案设计：浅析判定点是否在圆内的方法。一、判定点是否在圆内的方法1、笛卡尔坐标系下的判定方法在笛卡尔平面直角坐标系中，设点$P(x_0,y_0)$，圆心坐标为$O(x,y)$，圆的半径为$r$，可以通过勾股定理求得点$P$到圆心的距离$d$：$$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$$若$d<r$，则点$P$在圆内；若$d>r$，则点$P$在圆外；若$d=r$，则点$P$在圆上。2、参数方程下的判定方法如果圆已知参数方程$x=x_0+r\cos\theta$，$y=y_0+r\sin\theta$，其中$\theta$为任意实数，则点$P$与圆心的距离为：$$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{r^2+2r(x_0-x)\cos\theta+2r(y_0-y)\sin\theta+(x_0^2+y_0^2+x^2+y^2-2xx_0-2yy_0)}$$从而可以通过求解方程$d=r$，得到点$P$是否在圆上；若$d<r$，则点$P$在圆内；若$d>r$，则点$P$在圆外。3、向量表达式下的判定方法在向量表达式中，设圆心向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{(x_0,y_0)}$，则点$P$的位置向量为$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{(x,y)}$，圆的半径为$r$，则有：$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{(x,y)}-\overrightarrow{(x_0,y_0)}$$由于$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}=|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{AP}|\cdot\cos\theta$，且$\cos\theta>0$，则有：$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}=|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{AP}|>\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}=r^2$$当$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}>r^2$时，点$P$在圆外；当$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}<r^2$时，点$P$在圆内；当$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}=r^2$时，点$P$在圆上。二、教案设计1、教学目标1）理解三种判定点是否在圆内的方法，并掌握它们的应用；2）能够根据题目要求选择不同的方法判定点是否在圆内；3）能够应用所学知识解决实际问题。2、教学重点和难点教学重点：判定点是否在圆内的方法应用。教学难点：三种方法的异同以及应用选择。3、教学方法讲授、举例、练习。4、教学过程步骤一：导入本节课重点学习判定点是否在圆内的方法，希望大家认真听讲，掌握这一重要基础知识。步骤二：讲解判定点是否在圆内的方法讲师介绍三种判定点是否在圆内的方法，包括笛卡尔坐标系下的判定方法、参数方程下的判定方法和向量表达式下的判定方法，并详细讲解三种方法的应用。步骤三：举例说明讲师通过有关的实例，向学生说明在不同的情况下应该使用哪种方法。步骤四：练习教学1）练习一判断点$A(1,-2)$是否在圆心为$(2,3)$，半径为$4$的圆内。解答：将坐标代入公式$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$中，得到$d=\sqrt{26}>4$，因此点$A$在圆外。2）练习二判断点$B(3,5)$是否在圆心为$(-1,-2)$，半径为$\sqrt{10}$的圆内。解答：将坐标代入公式$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$中，得到$d=\sqrt{26-8\sqrt{10}}>0$，因此点$B$在圆内。3）练习三判断点$C(2\cos\theta,2\sin\theta)$是否在圆心为$(0,0)$，半径为$2$的圆内。解答：将坐标代入公式$d=\sqrt{r^2+2r(x_0-x)\cos\theta+2r(y_0-y)\sin\theta+(x_0^2+y_0^2+x^2+y^2-2xx_0-2yy_0)}$中，得到$d=2|\cos\theta|<2$，因此点$C$在圆内。步骤五：总结综合讲师的讲解和练习内容，对判定点是否在圆内的方法进行总结。认真听讲、主动