2023年高考真题-数学（新高考II卷） 含解析

绝密*后用前试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时12。分钟.

注意事里zI.答题前,请务必将自己的姓名、港考证号用熏色字迹的签字箜或的至分别填写

在试电卷和答遐艮匕用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在管建卡相应位置上.

将条形码横贴在答题卡右上角“条膨码粘贴处二

2.作答选择题时,选出每小题答案后.用2B铅箜把答也卡上对陶屋目选项的答

案信息点涂黑：如需改动,用愫皮擦干净后,可选涂其他答案.答案不能存在

试卷匕

3.非选择题必家用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必不写在答题卡各题目指定

区域内相应位置匕如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案，不

准使用铅笔和涂改液・不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必柒保持答题卡的整洁.考试结束后.将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，®小题5分,共计40分.抵小题给出的四个选项中,只有一

个选里是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.在更平面内・<1+却0-。对皮的点位于

A.第一象限B.第二望限C.第三象限D.第四堂限

2.段集合4=[0,Yh8=[1,。-2%-2}.若/qB,则。=

A.2B.1C.jD.I

3.某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样网查.网

从初中筋和高中赛两层共抽取60名学生•已如谟该校初中然和高中盘分别有400和200名

学生.用不同的抽样结果在

A,cSoCiWB.ciU,种C.ciciftD.(二琮,种

4.若/«x)=(x+a)lnF二为偶函数.则。=

A.-IB.0C.-D.1

2

5.efcWM<：y+/=i的左焦点和右焦点分别为耳和月.直线,=工+”，5c交于4.B

两点.若的面积是的两倍.fflm=

2/在2

A.一t).-^―U.------U.——

3333

数学试题第I页(共5页)

6.已知函数〃x）="'-lnx在区间门2）上单调递增.则。的最小值为

A.e2B.cc.JD.e-2

।♦后ima

已知。为税用.ccsa=-------.见］sin—=

42

.3-有B.土立C.J

A.--------D.

8.记£为等比数列［。力的前/»理和.若耳=-5・S.=2lg.则$=

A.120B.85C.-85D.-120

二、选择题：本大题共4小般,每小II5分，共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项

符合题目要求・全部选对得5分.选对但不全得2分,有选错的得0分.

9.已知园推的顶点为尸・底面画心为。・.0为底面直径,ZXP5=I2O*,〃1=2・点C在底

面回周.匕且二面角P-/C-O为45°・财

A.读典惟的体枳为K

B.诬㈣椎的便（面枳为小保

C.疣=2事

D.△/?«,的而枳为

10.设O为坐标原点，gp=-Gx-l）过抛物岐C:炉=2网2>0）的焦点.旦与C交于

.“・A'两点./为C的准线.则

A.p=2

8

B.|AA|=j

C.以MV为直径的回与/相切

D.△OMV为等腰三角形

Kc

II.若函数/0）=。10'+：+，<。*0）既有极大值也有极小值.则

A.be>0B.<i6>0C.b2+8oc>0D.ac<0

数学试题第2页（共5页）

12.在信道内传柏0・I信号.信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为

收到。的概率为l-a,发送I时,收到0的概奉为"收到I的M率为1-4

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输

是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码.译码规则如下：单次传输时.收到的

信号即为庠眄，三次传输时,收到的信号中出现次数号的即为译码(例如.若依次收到1.

0.I.则译码为I).

A.果用单次传输方案.若依次发送1・0.I.则依次收到1・0.I的概率为

B.采用三次传给方案.若发送1,则依次收到I.0,I的概率为由i-m*

C.采用三次传给方案.若发送L则译码为1的概率为例1-口尸，(1-0)‘

D.当0<a<0.5时.若发送0,则果用三次传扬方案庠码为0的概率大于采用电次传输

方案译码为。的概率

三、填空题：本大JK共4小Jg,岳小题5分,共计20分.

13.已知向，满足|a-6|=JL|。+5月%-5|.则忖卜.

14.底面边长为4的正四梭惟平行于其底面的平面所根.僦去一个地面边长为2・高为3的正

四枝推.所用楼台的体枳为.

15.已知宜线x-F+l=0与X：(x-D'+N=4交于48两点,写出满足“ZUSC面积为

的则的一个值.

16.已知函数/(x)=sm(5+©).如图・d・B是直线

2、।I

“曲线)，=/(x)的两个文点.若H/(ic)=

6

2nx

数学试密第3页(共5页)

四.解答睚：本近其6小箱，共8分.解答应写出文字睨明.谑明过程或演算步骤.

17.（10分）

记△血的内角d・5.C的对边分别为a.b.c.已知ZUBC面积为JLD为BC的

中点.fl.40=1.

(1)若NJDC=g.求tanB：

(2)若炉+/=8.求b・c.

18.（12分）

已知0}为等差数到.*.=?*-6,"。?[记5.・4分别为数列01•141的前“项

[2。.，”为偶致.

和.号=32・7；=I6.

（1）求〔。」的逸璞公式，

（2）证明：当同>5时,<>S..

19.（12分）

某研究小组经过研尤发现某种疾病的患病苕与未患病者的某璞医学指标书1明显差异,经

过大置喝蛋,得到如下的患病苫和未定病苫诬指标的频率分布直方图，

利用诬指标制定一个粒泅标准.需要确定也界值c将该指标大于c的人判定为阳性.小

于或等于c的人判定为阴性.此检窝标准的漏诊率是翱患病者判定为阴性的概奉•记为EC，

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.记为《c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的

频率作为相应事件发生的概率.

（1）当漏沙率Mc）=0.5%时,求色界值c和误怜率g（c）：

（2）设函数/《c}=He）c）,当c引95,105].求/（c）的解析式.并求/（c）在区间[95,105]

的最小值.

数学试题第4页（共5页）

20.（12分）

如图.三梭惟中.DA=DB=DC.

BD1CD,ZADB=ZADC=W.上为膜、的中点.

（1）证明：BCLDAi

（2）点F满足#=由・求二面角D-JB-尸的

正弦伯.

21.（12分）

已如双曲战C的中心为坐标原点,左焦点为（-26。）.离心率为#.

（1）求C的方程*

（2）记C的左、右原点分别为4.出.过点，-4,0）的直线与C的左支交于M.N两

点,M在第二敦跟.直线M4,与宜线N%交于P.证明：点夕在定宜线上.

22.（12分）

（I）证明，当0＜工＜1时,x-x2＜sinx＜x：

（2）已知函数〃幻=。＜»"-皿1-/）,若x=0是〃x）的极大值点,求。的取色菰国.

数学试法第5页（共5页）

123456789101112

ABDBCCDCACACBCDABD

13141516

瓜2.-2<；中选-0

2

28

一个即可：

(逐题详解)

1.在复平面内(l+3i)(3-i)对应的点位于

A.第一家限B.第二飘限C.第三堂限D.第四望阳

析】2=(l+3i)(3-i)=3-i+9i-3r=G♦8i・故在第一ML横选A

2.设集合A={(),一(»}・B={l.<i-2,2a-2},若<CB.!Ma=

42B.1C.fD.-1

【】.:，“=l.

此时4={0._]}.B={1._1.0}.满足.故出接选B：

【萼与孵H2】伍遇f]a-2=0或2a-2=0：

1a-2=0时.第"o=2,此时4={0,-2).B=11,0,2).1涡&:

与2a-2=0时•解，3=1,后曲同稣仙1：

3.某学校为了解学生参加体白运动的情况.用比例分配的分层随机抽样作抽样珊查.拟从初

中部和高中部两层共抽取60名学生,已知谏校初中部和高中部分别有$00和2no名学生.则

不同的抽样结果共有（）种

A.CSCJlB.CSZJoC.CiCSD.CS,C5>

【$号第机】由分层抽样已知沏中他抽UJ人.岛中朝由20人,所以为CJCS,,故选。：

I.若“工）=任+0）加器+为例函数,则。=

A.-1B.0C.yD.1

【•叁崎•】「I，.奇丽数口如V=ln是着为奇丽故.所以v=H+a也要为音函数,故。=

0・故选8

5.已知桶园的左右焦点分别为E・£,直线*m与。交于AS两点.

若„的面枳是血1B的2倍.则m=

TB.寿C.-卓D.-f

端析J修■世今叫=2乂=^1.鲫。皿=-卓或rri=-34l禽).故送6

G.已知函数/(*)=•/-Inx在区间(1.2)上单调递增.财。的最小值为

A.dB.eC.e-*D・e-1

3考解折［外幻=叱-十济在(1.2)HI*±・・OV?VW在(L2)

>=M.则gtr)=(x+1”(1.2)I中书".！十《m1)=一所」a-；「

7.己知“为锐角・3=峙&则山号=

A,B.士，C.^2^-D.

884

-1+C

【参考*析1kb二借用公式伸9«=上骗=1-Nin'^n如希=去良.明代51

证法如D对，

(参<5MH2】由二格ft公式日g"=Lt声■=1-%|丁*nW『差=三/=与消=

(咛L;所以出吟=±7产.自山为=-T：4无选项时应.就，明"定"向

足.故选D:

脸讲的学就留到考E分析R

8.记&为等比数列｛%｝的葡n项和.若S.=-5・Si=210,则S.=

C.-85

【参考第析】】依密仃

=21x

1t-g

所•X0=~；)=X(1-44)=-85,ci逸C：

【参考解析2l*IS・国-%国-W,S.-S■也为等比数列.

所以(S「SJ=S(SLSJ.第片Sz=-1或

iS=一1时•(％-$)2=(S<-SI)(SM-S.)=»S=-S3：

3S=Y时•'JS,=-5嵌立会推出/=-5.成畲去：

参选，

9.己知删俊的顶点为尸•底面圈心为O.4B为底面直径.NjFB=12W.R4=2,点C在底

面圜冏匕且二面的P-AC-O为45•.则

A.谍圈推的体枳为aB.谟园推的蜴面枳为

C.4c=2/D.APAC的面积为/

传考修折】

*ii上图所―由几例大系场知PO=1=/».AO=BO=，5=r.

取4c中心为H.娟二面由P-AC-。因为ZPHO=45*.所以OH=PO=b

所；1AH=CH=4AgQH2=，.所.1AC=2—.

<4FAzV=yitr^h=it.Ax.4s

B：Sw=irr/=2V3n.ttB^：

对于C：由前面分析知对：

时于Q：«^=/乂4。*尸//=2.故£）错：

播上.选AC.

10.设O为受标景点.直线y=-JTG-l）过抛物践Cy'=2R<p>（））的焦点且与C交于

两点,［为C的准线,则

4.p=2B.

C.以AW为直径的圜与/相切D.AOKW为等腰三角形

【学考鳞忻】易如什点为（L0）.所以缶=1—=2.故A对:

由抛拘:，.启归结论知mm=—^=半•成B错：（卜面增加联上的常w过程）：

讨中3

联｛:二尸"7）夕标-3.3=。.所以M/.竽）.阳3.-2内.

所U|AW|=学.成。错：

同样由拗物线前见结论如。对：

用前面知|aw|=率.|oM=，L|AW|=学.放。曾：

练匕上AC.

考后分析c‘

IW心为Af信二^勺,=岑h=号=»1,故CW：

11.若两数/(工)=01»=+今+于"“。)既有极大但也有极小值.明

A.bc>0B.aZ>>0C./♦"><)D.ae<0

mW卜】因为ffr)=alnx+所以定义心>0.

助如/(x)=痣哼;N.>a^-hr-2e=0J'ia目等价r有两十八KI等的2

,八tf+sac>0b'+6ac>0

a>(Jj,

>0

n<Jx»+z2>0=>7Tn"：：：

cacvii

|音>0Rvo

故送BCD

12.在信道内传输。・1信号•信号的传输相互独立.发送。时•收到1的概率为

a(OVa<l)•收到0的班本为1-。:发送1时.收到0的羯率为题0V#Vl).收到」的假率

为1-3.号虚两件传输方案：第次传输和三次传输.隼次传输是指格个信号只发送】次：三

次传输是指柘个信号玳复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下，单次传输时•收到

的信号即为洋内：三次传输时•收到的信号中出现次数七的即为译码(例如•若依次收到1・。・

1•则译码为1).

A.采用单次传输方案,若依次发送1.0.1•则依次收到1・0.1的微率为(】一“)”一向7

B.采用三次传输方案•若发送1,则依次收到1.0.1的假事为题1一㈤z

C.录用三次传输方案.若发送】•则洋码为1的概率为#(1-田(1・夕户

D.当UV“VU.5时,若发送。.则采用三次传输方案洋码为。的概率大于采用单次传输方案

译码为。的概率

析1

关健信息：

发0n1州率为。，发U也0-*为1-a：

发1ao・.t为止发J91.金为1-华

对于4■为发1收1■率为1-6•发。收。■率为1・“,发l«U■率为1-氏

故巴=(】一“)(】一夕尸"勾

对于AM为发1收1・率为i-m发1收()♦聿为仇发1收1・率为】一«.

大修=6(1-幻LB%

对于a分为发1收2个1W1个仆和发I牧3个1・

所门已=<?/(】■犷♦€?•(1•,v=3,(1・4+(】•从尸・*c错

对于n

三次烽码为。•分为发。收2个。和1个1和发。枚3个。.

此时H=C?c/(l-tff*C?(l-a/=加(1-<z)2+(1-tf)3.

^-A=Ml-^+(1-</)3-(1-«)=</(1-tf)O-2«r)>U"*D时：

珠上.送4SD：

13.己知向清足卜一，|=/・匕4|=a一41!同=

【，居・析】

囚为|2.目=g.所以1.22jV=4^-4a*64--25,5-0.

-IM*j|a-b|=73♦，'=3=»不=3=同=/

14.底面边长为I的正四枝椎被平厅于其底面的平面所截.截去一个底面边长为2.高为3的

正四校停.所用校台的体枳为.

【§号"析】由相憾易知川下的幡合的高为3・

।•'1•%内=t♦S尸♦JS下A=-y(I+1G+，1x16)x3—2A：

【5考”折2】由相似易知鼎F的校f?的离为3・

所」k吟XWx6Tx2Fx3=2Si

15.己知宜找了一皿1/+1=()与圜6(父-1尸+『=1交于4.8两点・写出满足“上回的

面枳为合”的m的一个值.

【参与解桁】S=^dnZACB=y=>tdnZACB=g••所以<x»Z>4CB=±y.

由余弦定PI16AB=Vr^^^-^ctMZACB.

所以48=里"48=竽.

。款K公式用d=¥表4=¥■.

55

。<,■nm=±2«'<nm=±±•

Vl+mJ5S+m，52

故耀2・一2・十・一十中的•个叩可.

16.己知丽数/(0=刈1(3*4).如图4・8是直线0=/与曲线“=/(上)的两个交

1犯1=1■■/(*)=__________•

【V料】由按I—仙皿r=^♦汨・口：皿r”=华•♦汨心：

两式HIM『T3(1以一工人)=-^r-na,Xan3=I.

所以/(r)=tdn(lr+4).

构(空,。代\?ilx争号.

所.，/(上)=』n(lr+2kn-=Hin^Xr-^,)-

所丁！/(tt)=sin(1*-学)=sdn(—千)

2

17.记&IRC的内角4.B.C的对边分别为ab.c•已知面枳为D为BC中点.

且4Z>=1.

⑴若乙W=«1•.求taiiB：

(2)若"♦ea=8.求b.c.

【参考解析】

(1)

如图•过A点作⑷/JLBC交HC千点H，

财AH=AZ泡吟=亨・加=ADcrw号=3・

由密马知Ss3=/xSCx4H=/=>比=端=4・

所以tanB==AH4

BD♦DH3

(思路2：后面也可以用号号定呼AB,再用余弦定理算.只是没解析】而活.)

(2)由中点与向量同知屈=后♦而.

所以京/=酒♦劭1)派•衣.即1=/♦/♦2&x»sA.

由余弦定理用工=/+<?♦〃♦/-/=a=2，.

由面枳公式汨Sxu»c=3及山川=V3tdruA=4声・

b'cf2-2

而go4=

因为由!？小+00^4=1n(^^^了.(W/=l=>6c=1.

与〃♦/=，屐正解得b=c=2.

18.已知｛.｝为等是数列.&=卷一：喘俨,记4.M为&).M的前n项利.S产

32.4=16.

(1)求｛4｝的通项公式：

⑵证明：当n>5时・7；>S.

【B考解折J

(】)"｛.｝的酋项为a.公基为d・

因为S.=&.所以也♦器匕=版02,♦;W=1G：

乂因为羽=16

所-J.%♦与*与=1G=>佃-G)♦%♦(%-G)=16n〃2=2Sn%=7=%♦d/

收，，/第门收=：所

l<*—2

⑵由⑴知&=I"。'，"=Y.1n(或用S.=run+=Y+In)

当n为奇数时.

心=(M♦%+…bj♦(%)4+…bi)

=(%+<hiaj-6x4尹•+2Q+，♦…j)

=2S.—("i♦4♦…4)-5(n♦1)«

=2S.-------------p」-3(n+i)

所以北.*=『『一：)."！=9■士21口■,因为,>5.所以1.S.>U

(或类比二次融数性版加3-S.=理一.专：叫>5：7,学.叫=0)

故fl为奇数时成立3

当n为码数时.

(n_1—1)—10n(n1)

7i-0=ZULS—I♦&.".=、，,J1+2flL、a=、./>0.

综上,当n>5时.？；>§».

19.(12分)

某研究小骐羟过研究发现柒件疾病的患病者与耒患病者的柒项医学指标有明*芨异.整过

大■调C•得到如下的患痢曲和未患病甘谈指标的项率分布官方图：

利用读指标制定一个检清标准.荷妾冷定临界(fic・将该指标大于。的人判定为阳性,小于或

等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏沟率是将患病者判定为阴件的概率•记为加亿)：误诊

率是将未患病者判定为阳件的概率.记为q(。).假设数据在物内均匀分布.以事件发生的频

率作为相应事件发生的微率.

(1)当茶含率以。)=以5%时，求临界值。和误诊率q(c):

⑵设函tt/(c)=p(e)+g(e)•当cW(05.1051时.求〃c)的解析式,并求f(c)在

区间(强,由5］的最小值.

【，考解折】

(1)因为0.002X5=。”>0.5%•故c€［95・・

由比MNc=O.OO2x5x岳国-=0.5%nc=97.5:

HM)-C

<Xc)=0.010x5x里;二%^♦0JMJ2X5=0.035：

所以临界值。=97占•误诊率g(c)=O.O35.

(2)

①当cW【风,时.p(c)=0.(M>2X5x=。8m化-笺)•

堀。)=0.010x5X窗二念♦0.002X5=0.01(101-c)：

所以/(c)=p(c)+^(c)=0.S2-(HH)ScX).-(HM>Sx1()0=0.021

①当cW105］时.p(c)=0.002X5♦0.012x5X苗*♦0.012(。-1()0)«

</(c)=0.IMI2X5X蓝L=O.(MQ(105-c)・

所UA/(c)=p(c)+(c)=0.01c-0.9>0.01X100-0.m=0.02：

嫁匕所以如的“析式为，”{:雷u葭：:工〉则在

M涧［强叫5］的最小但0.02.

3().如图.三校舞BCD中・£U=DB=DC，BDXCD,ZADB=ZADC=仪九E为

BC1的中点.

(1)证明：8J.ZM：

(2)点尸演足丘户=方.求二面角D-AB-F的正弦值.

【参考*析】

⑴加图.连接4KDE.

W^DB=DC.DA-DA.ZADB=ZADC.

所UA4DC2AADB.所以AC-AB.

ZM为E为BC的中点.所以BC±AEBCJLDE.

DB

111AEnDE=E.AE.DEC,平面ADE.BC<Z平面ADE.

所以8J.平面APE.

又因为ADU平面心£.所以BC±DA：

(2)不妨设DA=QB=QC=。,因为N4X?=NADC=60".

所以MDBW&WC为等过三角形.所以4C=AB=/.

又因为即J.B,所以SC=疝亏丽=2.

所以DE=AE=1,所以DEa+AEa=APa.

故由勾股定理逆定理知庞J.

故可建也如图所示的空间直角坐标系

所以D(1,O.。).4(0,04).B(0,1,0).E(0.0.0),AB=(0.1.-1).

因为屈=52=(-1・。/)・所以尸=(-l.(M),所以#=(■1.()#).

设平面DAB的■个法向ILGnCri.Vi.X!).

I而R=o1幼-马=。1，

设f面ABF的•个法向IH={%必马卜

JAA?=O:二二二"=1"=("卬・

"ln-AS=0°

所以3(工方)=6荷=7盒方=尊.

设二面角D-A8-尸的大小为仇所以sin。=Jl-co«F⑹=卓.

所以二面角D-AB-尸的正弦值为4.

21.双曲线C的中心为坐标原点.左焦点为(一2，.0).周心奉为，.

(1)求C的方程.

(2)记C的左、右顶点分别为4・Az•过点(一1・。)的直税与C的左支交于Rf・"两点.A1在

第二,限•直线MA1与NA,交于P・证明?在定宜线卜..

【学考*析】

(1)W为左4卢,为(-240).寓心牵勾

用以。=2^T.e=f=/na=2n<i'=1H：.J.6a=e2-aa=16-

a

所以C的方程为车一