2022年新高考数学：计数原理

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2022新高考数学热点计数原理及答案

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2022新高考数学热点11计数原理及答案

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主耍考查分类、

分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项

式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形

式出现，难度中等.主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等

核心素养.

J那分技巧］

1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：

(1)形如(or+b)",(a*+6x+c)"，(a,b,cGR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋

值法，只需令x=l即可.

(2)对形如(or+〃y)"(a,R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

(3)若危尸的+叩+的?+...+即巴则段)展开式中各项系数之和为川),

奇数项系数之和为的+检+3+…=,⑴+"7)，

2

偶数项系数之和为"+0+。5+…=/⑴一"一).

2

2、解决排列问题的常见方法：

⑴“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原

则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都耍贯彻到底，不能既考虑元素

又考虑位置.

(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作•个整体和其他元素•起排列，

同时要注意捆绑元素的内部排列.

(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的

元素插在前面元素排列的空当中.

(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

(5)若某些问题从止面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法

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3、解决组合问题的常见方法：

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时“J'用直

接法，也可用间接法Jijr［接法求解时，要注意合理地分类或分步：用间接法求解时，要注

意题目中“至少至多'’等关键词的含义，做到不重不漏。

热点解读）

热点i.以实际情景为背景的排列组合问题

主要以接近生活的实际情况为主，多以选择或填空为主。主要考查分类、分步计数原理

的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活，能否

将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。

热点2.二项式定理及相关运用

二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的

应用在高考中•般以选择题和填空题的形式出现，难度不大。

限时检测

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1.（2021•河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加

演习的有5艘军舰，4架£机；俄方有3艘军舰，6架匕机.若从中、俄两方中各选出2个

单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），

且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A.51种B.224种C.240种D.336种

2.（2021•湖北•模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社

团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社

团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（）

A.1140B.3600C.5040D.6840

3.（2021•江苏•南京市中华中学高三期中）已知（l-2x）”的二项展开式中第3项与第10项的

二项式系数相等，则展开式中含x*12的3系数为（）

A.-312B.31C.-220D.220

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4.（2021•江苏常州•高三期中）己知（1-2人）的=4+平+…+a202rp%则

"+与+，+・・•+第k（）

22?220"

A.-2B.-1C.0D.2

5.（2021•江苏•南京师大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医

疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有5名医生志愿者需要分配到两家医

院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有（）

A.12种B.30种C.18种D.15种

6.（2021•江苏海安•高三期中）"冰墩墩'’是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，

己知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为!，出厂时每箱装有6个盲盒.小

O

明买了一箱该款盲盒，他抽中A（0=K6,&CN）个隐藏款的概率最大，则A的值为（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2021•山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知正整数〃28,若（x-3（l-x）"的展开

X

式中不含f的项，则〃的值为（）

A.8B.9C.10D.II

8.（2021•福建•莆田二中高三期中）现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱

柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色,

现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（）

A.18种B.36种C.48种D.72种

9.（2021•浙江•慈溪中学高三期中）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都

出现一次，这样的五位数共有（）个

A.120B.150C.210D.240

10.（2021•河北•唐山市第十中学高三期中）若

152222U12

（l+x）+（l+x）'+（l+x）+L+（l+x）"'=an+alx+a2x+L+a20l2x,则由等于（）

A.C；oi2B.C.D.

11.（2021•湖南•模拟预测）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注,

每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从II至20中选2个连续的号，从21至

30中选I个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，

则他要花的钱数为（）

A.3360B.6720元C.4320元D.8640元

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12.（2022•上海•高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为

我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数

字，如图：

123456789

纵式1IIIII1111IIIIITTUT>

横式—三=三111

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，「位用横式，以此类推，遇零则置

空，如图；

1TT=¥6728

IT¥6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为

（）

A.46B.44C.42D.40

13.（2021•重庆市杨家坪中学模拟预测）在二项式（x-2y）6的展开式中，设二项式系数和

为A,各项系数和为5,4的奇次嘉项的系数和为C,则色=（）

16n16-91r91

A.--B.—C.------D.—

91911616

二、多选题

14.（2021•辽宁丹东•高三期末）对于二项式以下判断正确的有（）

X

A.存在〃eN'，展开式中有常数项B.对任意〃eN，展开式中没有常数项

C.对任意〃eN*，展开式中没有x的一次项D.存在〃eN*,展开式中有x的一次项

15.（2021•湖北襄阳•高三期末）若（1-2刈酸°=/+平+生+…+o2raoxW°（xwR）,

则（）

2020_]

A・%=lB.t7]+4-----F/oi9=---------

32020+1%aa3%2o1

c-%+%+%+…+"2020=-2-D-T+2r2+?+"+255F=-

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16.（2021•山西大附中模拟预测）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）

A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为2”

C.存在常数项D.f的系数为40

17.（2021•海南•三模）从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在

所有组成的数中（）

A.奇数有60个B.包含数字6的数有30个

C.个位和百位数字之和为6的数有24个D.能被3整除的数有48个

三、填空题

18.（2021・浙江・台州一中高三期中）已知（丁_力（2》-*）的展开式中各项系数的和为-1,

则。=,该展开式中常数项为.

19.（2022•浙江•模拟预测）已知多项式

562346

（2.r-l）-（x+1）=a0+atx+^x+a3x+a4x+a6x,则q=,

4+4+36+5a4+1la5+2la6=.

20.（2021•全国•高三专题练习）有3个少数民族地区，每个地区需要•各支医医生和两名

支教教师，现将3名支医医生（1男2女）和6名支教教师（3男3女）分配到这3地区去

工作，

（1）要求每个地区至少有一名男性，则共有种不同分配方案；

（2）要求每个地区至少有一名女性，则共有种不同分配方案.

21.（2021•河北邯郸•高三期末）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各

界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A,B,C三个城市

运送物资，则每个城市.都至少安排一辆救援车的概率为.

22.（2021•浙江•模拟预测）我们想把9张写着1~9的卜片放入三个不同盒子中，满足每个

盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有

种.

23.（2021•全国•模拟预测）中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国

体育事业发展做出了贡献，其中“大乐透''是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从

前区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中选2个组成一注彩票.其中复式玩法允

许从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号码中选7个号码，从

后区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为.

24.（2021•重庆市杨家坪中学模拟预测）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面时“突发灾

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难”，举国上下一心，克服困难积极复工，复产，复学.复学后，通过心理问卷调查，发现

某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预.已知该校高三年级有三位心理

老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有种心理辅导

安排方法.

25.（2021•广东实验中学模拟预测）（l+x+：，展开式的项数为.

四、解答题

26.（2021•江苏如东•高三期中）已知（丁+言）的展开式中，第4项的系数与倒数第4项

的系数之比为《•

（1）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和：

（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•福建•厦门外国语学校模拟预测）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护

士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）

A.900种B.1200种C.1460种D.1820种

2.（2021•山东荷泽•二模）已知正整数应7,若（x-U（l-x）"的展开式中不含*5的项，则〃

X

的值为（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2021•广东•模拟预测）某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3

人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要

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安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有（）

A.249种B.498种C.1052种D.8640种

4.（2021•全国•高三专题练习）四色定理（Fam，/”加。。，皿）又称四色猜想，是世界近代三大

数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里“加〃,e）提出来的，其内容

是“任何•张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证

明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组

在研究给四棱锥尸-ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公

共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（）

A.36种B.72种C.48种D.24种

5.（2021•全国•高三专题练习）英因数学家泰勒（B.Th.1685-1731）以发现泰勒公式和泰

勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到e=l+[+!+]+L+4+工「（其中e为自然对

1!2!3!n\（/?+1）!

数的底数，〃!=〃（〃—1）x（〃—2）xLx2xl）,其拉格朗日余项是/?”=户二.可以

2

看出，右边的项用得越多，计算得到的-的近似值也就越精确.若丽不近似地表示e的泰勒

2

公式的拉格朗日余项（，R“不超过言;时，正整数〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

6.（2021•吉林松原•高三阶段练习）“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，

现安排A,B,C,D,E,F,G,，共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守

老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看

望老人甲，学生8不安排看望老人乙，则安排方法共有（）

A.1260种B.2520种C.1440种D.1890种

二、多选题

7.（2021•江苏如皋•高三期末）已知的二项式展开式中二项式系数之和为64,则

下列结论正确的是（）

A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中倒数第5项为90.一

C.二项展开式中各项系数之和为3，D.二项展开式中二项式系数最大的项为

3

160/

8.（2021•辽宁实验中学二模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个

提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字。和1,对于整数可理解为逢二进，例如：

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自然数1在二进制中就表示为1,2表示为10,3表示为II,7表示为111,即“eN.,

n=«0-2*+a,-2**,+L+,-2'+ak,其中%=1,a；=0或1（，=1,2,L,k）,记/（〃）为上述表

示中0的个数，如«2）=1,/（7）=0.则下列说法中正确的是（）.

A./（12）</（18）B./（2*_2）_/（2-1）=1（h2，&22）

C./（24）=/（2«+2*GN.）D.1到127这些自然数的二进制表示中/（〃）=2的自然数有

35个

9.（2021•湖南•模拟预测）在12+*+1）；/+一）的展开式中，下列说法正确的是（）

A.X，的系数为16B.各项系数和为108C.无金项D.」的系数为8

2021

10.（2022•全国•高三专题练习）已知+a2（（2lx,下列命题中,

正确的是（）

咨+[

A.展开式中所有项的二项式系数的和为2历:B.展开式中所有奇次项系数的和为」

32021-1

c.展开式中所有"偶次项系数的和为D.义+2+4+…等=-1

22222^

11.（2021•江苏如皋•高三期中）已知（1一2428'=4+中+出*2+1+%02口3，则（）

A.展开式中所有项的系数和为-1B.展开式中二项系数最大项为第1010项

C.,+方+争+L+霜=一1D.q+为2+36+L+2021/⑼=2021

12.（2021•江苏南京•一模）设"eN'，下列恒等式正确的为（）

A.C[+C；+L+C；=2"'B.1C>2C；+L+nC：=n-2,-1

C.I2C\+22C｝+L+n2C；=n（n+1）2"-2D.13C>23C^+L+n3C；=（4n-3）2"-,

13.（2021•江苏泰州•模拟预测）已知

23,,2

（2X+1）（2X+1）（2X+1）L（2x+l）=a0+«lx+o2x+L+a“x"下列说法正确的是（）

,2/»+2o

A.设a=4,则数列｛〃｝的前〃项的和为S“=2-2-2〃-4B.%=j——2"+2-|

C.。“.|=2亨一〃（〃eD.,4rL-1wM）为等比

数列

14.（2021•全国•高三专题练习）甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2〃（〃eN*）局，且每局甲

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获胜的概率和乙获胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲

赢得比赛的概率为P（〃），则（）

A.P⑵=1B.P（3）=—

832

15.（2021•河北承德•二模）同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙

子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a,b,6为正整数，若。和。被根除得的余数

相同，则称“和。对模，"同余，记为。三"mod,”）.则下列选项中正确的是（）

A.若|“-勿=切1,kwN”,则。三仅mod,"）

B.2,s=563（mod3）

C.若a三。"+1）（mod，”），力三Q〃+2）（mod，〃），则“〃三（，〃+3）（mod，〃）

D.若am伙mod/n）,则a"三。"（modm）,nwN*

16.（2021•江苏•金陵中学高三开学考试）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆

柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个

“圆柱容球''是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上.要刻上一个“圆柱容球”

的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，”，圆柱的表面积与球的表面积之比为〃，若

/（*）=（竺工：1_!）,则（）

A./（x）的展开式中的常数项是56B./（x）的展开式中的各项系数之和为

0

C./（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D./（/）=-16,其中i为虚数单位

17.（2021•辽宁•模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区

义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动-共20个名额，

劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（）

A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法

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B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有Cl种分配方法

C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法

D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法

18.（2021•江苏盐城•二模）已知“eN”,〃22,p+『L设〃其中

kwN,k&2n,则（）

A.£f（k）=lB.£呼⑻=2npq

A=0k=0

C.若叩=4,则〃左）448）

£=0ZJt=l

三、填空题

19.（2021•湖南•长郡中学模拟预测）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，

内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠

梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上

四颗下珠，则表示数字74,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选

择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为

千百十个

仓位在仓

OTRWH

7

20.（2021•湖北•汉阳一中模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5个人分到A,B,C三个班，

要求每班至少一人，则甲不在A班的分法种数有.

21.（2021•浙江•模拟预测〉设（a+bx+f,=a+2/?x+c%2+加+*4（/?#0）,则（=.3

的最小值是一.

22.（2021•重庆•模拟预测）设、=上，则（1+x户的展开式中第项最大.

23.（2022•上海•高三专题练习）考查等式：—M'+L+C&h*）,其中

〃，九reN",〈〃且rV〃-，〃.某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设•批产品共有“

件，其中，”件是次品，其余为正品.现从中随机取出厂件产品，记事件A*=（取到的，•件产品

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1〃T”

中恰有％件次品｝,则（）k=O,I,2,...»r.显然4，A，…，A.为互斥

P4=~cT

事件，且（必然事件），因此

I=P（C）=P（4）+P（A）+L+p⑷=C%+cq_,；+L+仁图,所以

c”

CCL+Cc:+L+c：C.m=c：,即等式（*）成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，

体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现

有以下四个判断：①等式（*）成立，②等式（*）不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出

所有正确判断的序号.

24.（2021•安徽•亳州二中高二期末）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F,

G,”八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂

色方法有种.

25.（2021•福建•模拟预测）班级里共有〃（〃23）名学生，其中有A,B,C.已知A,B,

C中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友.若对于某三个

人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成•个“朋友圈（1）求班级里朋友圈个数的

最大值尸（〃）.（2）求班级里朋友圈个数的最小值G（〃）.

26.（2021•湖北•襄阳四中一模）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国

南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在

1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰

出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体

现出来，是一种离散型的数与形的结合.

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2022新高考数学热点计数原理及答案

精研考纲！）1纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

（1）记杨辉三角的前“行所有数之和为1,，求｛。｝的通项公式；

（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3:4:5?若存在，试求

出是第几行；若不存在，请说明理由；（3）已知"、『为正整数，且〃2r+3.求证：任何四

个相邻的组合数C：、C：”不能构成等差数列

27.（2020•江苏•滨海县八滩中学二模）已知力（x）=C>x"-C：（x-1）"+L+（—1）'C：（x-«）"+

L+（T）“C；（x-〃）"，其中xeR，nGN\keN,k<n.

（1）试求工（x）,人（x）,力（x）的值；（2）试猜测£（x）关于〃的表达式，并证明你的结论.

28.（2021•江苏•扬州市江都区大桥高级中学高三阶段练习）设尸（〃，，"）=£（T）'C-4，

〃1+k

Q（〃，〃?）=*其中〃?，（1）当帆=1时，求P（〃，1）Q（〃，D的值；（2）对\/〃作叶，证

明：P（n,m）Q（m6）恒为定值.

29.（2021•江苏•泰州中学模拟预测）（1）已知：C；L+M=C,；及-C'：=C；I（〃22,〃wN*,

n

求工；y（结果用加，〃表示）（2）已知/（〃）=；《一;C：+；C；—L+（-1）〃七黑，

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猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.

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热点11计数原理

命题趋势）

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、

分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项

式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，•般以选择题和填空题的形

式出现，难度中等.主耍考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等

核心素养.

，满分技才）

1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：

（1）形如（奴+3”，（av2+fev+c）m（a,方，cER）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋

值法，只需令x=l即可.

（2）对形如（以+分）"3,6GR）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

（3）若式、）=。0+。武+3*+…+。,X"，则y（x）展开式中各项系数之和为犬1）,

奇数项系数之和为即+。2+痣+…=-I,

2

偶数项系数之和为0+的+的+…=/⑴一"T）.

2

2,解决排列问题的常见方法：

⑴“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手，也可以从位置入手，原

则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素

乂考虑位置.

（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，

同时要注意捆绑元素的内部排列.

（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的

元素插在前面元素排列的空当中.

（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.

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3、解决组合问题的常见方法:

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含''或”不含”某些元素，在解答时可用直

接法，也可用间接法.用宜接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注

意题目中“至少至多''等关键词的含义，做到不重不漏。

1要点解读）

热点1.以实际情景为背景的排列组合问题

主要以接近生活的实际情况为主，多以选择或填空为主。主要考查分类、分步计数原理

的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活，能否

将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。

热点2.二项式定理及相关运用

二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的

应用在高考中•般以选择题和填空题的形式出现，难度不大。

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1.（2021•河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加

演习的有5艘军舰，4架七机；俄方有3艘军舰，6架匕机.若从中、俄两方中各选出2个

单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），

且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A.51种B.224种C.240种D.336种

【答案】C

【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得.

（详解］不同的选法有：C；C：C；C：+CCJCC,=5X4X3X1+10X1X3X6=60+180=24。

（种）.故选：C.

2.（2021•湖北•模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社

团,,“棋艺社,“，美术社,，“合唱团,,5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社

团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（）

A.1140B,3600C.5040D.6840

【答案】C

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【分析】分两类：一类是有1人参加“微电影社团”，则从6人中选I人参加该社团，其余5

人参加剩下4个社团，人数安排有1,1,1,2和0,1,2,2两种情况;一类是无人参加“微电影社团”,

则6人参加剩下4个社团，人数安排有1,1,2,2和0,2,2,2两种情况，进向结合两个计数原理

即可求出结果.

【详解】可分两类：第一类，若有I人参加“微电影社团“，则从6人中选1人参加该社团，

其余5人参加剩下4个社团，人数安排有覃,1,2和0,1,2,2两种情况，所以不同的参加方法

种数为C：=3600；第:类，若无人参加“微电影社团”，则6人参加

剩下4个社团,人数安排有1,1,2,2和0,2,2,2两种情况,所以不同的参加方法种数为

C2c2

―二A：+C：C：C；=1440.故不同的参加方法种数为3600+1440=5040.

A；

故选：C.

3.（2021•江苏•南京市中华中学高三期中）已知（l-2x）"的二项展开式中笫3项与第1（）项的

二项式系数相等，则展开式中含/的系数为（）

A.-312B.31C.-220D.220

【答案】D

【分析】根据题意可得”=11，求出展开式即可得出.

【详解】（1一2。’的展开式的通项为=C；T，（一2x）r=（—2丫,

由题可得第3项与第10项的二项式系数相等，则C；=C，所以〃=11，

则展开式中含/的系数为（-2）七；=220.故选：D.

4.（2021•江苏常州•高三期中）己知（l-2x产=/+平+…+则

5+级+m+…+萍-（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】根据题意，分别令x=0和x=g,代入计算即可求解.

【详解】根据题意，令x=O,得％=（1-0产|=1,令得

因此彳+/+墨+…+黑==T.故选：B.

5.（2021•江苏•南京师大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医

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疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有5名医生志愿者需要分配到两家医

院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有（）

A.12种B.30种C.18种D.15种

【答案】B

【分析】根据题意，先将5名医生志愿者分为两组，再将分成的两组，安排的两家不用的医

院，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，现有5名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至

少去1人），

可按两步分析：（1）可先将5名医生志愿者分为2组，由两种可能的分法：

①一组4人，一组I人，共有C；C：种不同的分组方法；

②一组3人，一组2人，共有种不同的分组方法，

（2）再将分成的两组，安排两家医院，结合分步计数原理，共有（0，+玛/）雷=30种不

同的安排方式.故选：B.

6.（2021•江苏海安•高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，

已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐臧款抽中的概率为出厂时每箱装有6个盲盒.小

明买了一箱该款盲盒，他抽中k（08W6,AGM个隐藏款的概率最大，则女的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由题意可行小明抽中&个隐藏款的概率为=牛£,进而可得

ck.56-A>.一

,金打>小寸，解不等式组即可求出结果•

【详解】由题意可得小明抽中k个隐藏款的概率为军二，其中

0<k<6,keN,

15

rkF-A（r*.s6-*>rk~'-57~*T27TT

要使得三J最大，只需要最大，贝”即51，则

又因为则k=l,故选：B.

7.（2021•山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知正整数〃28,若（x-3（l-x）"的展开

X

式中不含V的项，则〃的值为（）