对称性在积分中的应用

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西局部化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规〞的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,到达事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录引言相关对称的定义区域对称的定义函数对称性定义轮换对称的定义重积分的对称性定积分中的对称性定理及应用二重积分中的对称性定理及应用三重积分中的对称性定理及应用曲线积分的对称性第一曲线积分的对称性定理及应用第二曲线积分的对称性定理及应用曲线积分的对称性第一曲面积分的对称性定理及应用第二曲面积分的对称性定理及应用小结参考文献谢词引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以到达事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.二、相关的定义定义1：设平面区域为,假设点,那么关于直线对称,对称点与是关于的对称点.假设点∈,那么关于直线对称，称点与是关于的对称〔显然当,对关于,轴对称〕.定义2:设平面区域为,假设点,那么对称,称点与是关于的对称点.假设点，那么关于直线对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3：(1)假设对,点,那么称空间区域关于面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.(2)假设对,点,那么称空间区域关于轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)假设对,点,那么称空间区域关于坐标原点对称.(4)假设对,点,那么称空间区域关于具有轮换对称性.定义4:假设函数在区间上连续且有,那么关于对称当且仅当时,那么为偶函数.假设,那么为关于中心对称.当且仅当时有那么为奇函数.假设且那么既关于对称,又关于中心对称.定义5假设n元函数,(),那么称n元函数关于具有轮换对称性.定义6：假设有成立，那么称关于具有轮换对称性.三、重积分的对称性〔一〕对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用.引理设函数在上连续,那么有(1)证令,有(2)令,那么〔3〕将〔3〕式带入〔2〕式,并将积分变量统一成,那么特别地，令，就得公式由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数在上连续，那么假设为偶函数，那么假设为奇函数，那么次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，求解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两局部和，前一局部是奇函数，后一局部是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.==2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间上求解。下面我们把定理1推广到更一般的情况.定理2设函数连续1〕假设的图像关于直线对称，即，那么对一切，有2〕假设的图像关于原点中心对称，即，那么对一切，有证1)由〔1〕式及条件，有2)有〔1〕式及条件，有例2求解：由于及都关于对称，关于点中心对称，因此关于点点中心对称，有区间关于对称，故由定理2的2〕有于是本例中的被积函数原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式，但利用对称性却能容易地求出其值.以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应用，下面来看看两个函数图像之间的对称关系是如何在定积分中的应用的.定理3设，都是连续1〕假设与关于直线对称，即，那么对一切，有2〕假设与的图像关于原点中心对称，即，那么对一切，有例3求解：设，，那么而由定理3可证，故故.注：定理3可以推广到更一般的情况.定理4设与都连续，那么1〕；2〕例4计算解：令，那么所以,由定理3得.我们可以看出这些都是教材中常见的等式，我们使用对称性给出了它们的简洁证明，并有一定的规律可循.另外,取各种连续函数，又可以从的公式中到处许多公式.〔二〕重积分中的对称性定理及应用在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域具有对称性，而且被积函数对于区域也要有有对称性.但在特殊情况下区域不对称，或者关于对称区域的被积函数不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算.定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，那么1)当〔即是关于的奇函数〕时，有2)当〔即是关于的偶函数〕时，有,其中是由轴分割所得到的一半区域.例5计算，其中为由与围城的区域.解：如下图几，积分区域关于轴对称，且图形待定即是关于的奇函数，由定理5有类似地推出下面的定理：定理6设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，那么假设，那么假设，那么其中是由轴分割所得到的一半区域.例6计算，，其中为，所围成的区域，是连续函数.图形待定解：如图几，作辅助线，它把区域分成，两局部，其中,,在上，满足，而关于轴对称，因而.在上，，且关于轴对称，因而因此例7计算二重积分，其中：解：如下图几,关于轴和轴均对称，且被积函数关于和是偶函数，即有由定理5,6，得其中是的第一象限局部，2有对称性知，,故图形待定定理7设平面区域,且,关于原点对称，那么当上连续函数满足1〕时，有2〕时，有.例8计算二重积分，区域:解：如下图几，区域关于原点对称，对于被积函数，有由定理7，得定理8设二元函数在平面区域上连续，且，且,关于直线对称，那么1〕;.2〕当时，有.3〕当时，有例9求，区域：解：积分区域关于直线对称，由定理8，得，故相似地，我们可得以下定理：定理9设二元函数在平面区域上连续，且，且,关于直线对称，那么1〕时，有;2)时，有.例题略.注：在进行二重积分计算式，我们要善于观察被积函数的积分区域的特点，既要注意被积函数的奇偶性也要注意积分区域的对称性.恰当地利用积分中的对称性，可以防止计算的繁琐，时二重积分的解答大大简化.〔三〕三重积分的对称性定理及应用在三重积分中我们也有类似的结论.定理10设空间有界闭区域,与关于坐标平面对称，函数在上连续,那么：1)假设是关于的奇函数，那么2)假设是关于的偶函数，那么同样地，假设积分区域分别关于,坐标平面对称，也有类似的结论：推论11〕假设是关于的奇函数，那么2)假设是关于的偶函数，那么推论21)假设是关于的奇函数，那么2)假设是关于的偶函数，那么例10计算三重积分，其中是由球面所围成的空间闭区域.解：积分区域关于面对称,被积函数是的奇函所以定理10假设空间区域具有轮换对称性,假设,那么.在有些问题中，尤其对于三重积分，在被积函数及积分区域都没有对称性的时，而被积函数具有轮换对称性，我们利用轮换对称性可以使问问题得到简便的计算.下面我们给出例子.例11求,其中是椭球体解：由于,其中,这里表示椭球面为它的面积为.于是.同理利用轮换对称性可得,所以.四、对称性在曲线积分中的定理及应用〔一〕第一型曲线积分1、平面曲线积分的计算假设曲线关于轴对称，记位于周上半局部的，那么：当时，当时，同理能得到关于轴对称的式子.例12求，其中为圆周.解：因为曲线关于轴对称，记位于轴上方局部为，而被积函数满足：所以注：对于一般情况我们可以得出引理引理：设关于直线对称的一条曲线弧，那么1〕假设，那么.2〕假设，那么，其中.例13计算,其中是曲线所围成的回路.解：因为关于轴和直线对称，故设，那么;设，那么.所以有.2、空间曲线积分的计算假设积分曲线关于面对称，记位于面上半局部为，那么当时，当时，同理可得关于，面对称的式子.例题略.〔二〕第二型曲线积分对于第二型曲线积分还需要我们考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标方向之间的夹角小于时，投影元素的符号为正，否那么为负，就而言，只需考察在对称点的符号.但第二类曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分结论恰好相反：定理11设积分曲线是平面分段光滑曲线,假设曲线关于轴对称，且在轴上半局部与下半局部走向相反，曲线,分别是位于轴上、下方的局部，那么1〕，当时；2〕当时.其中,表示是的偶函数，表示是的奇函数。注：当定理中两局部的方向相同时那么结论与定理相反.推论：设是平面上关于直线对的一光滑曲线弧，，任意，有,且,在轴投影方向相反，那么1〕假设,那么2〕假设,那么定理12假设积分曲线关于,,具有轮换对称性，即,那么.例14计算,其中为圆周,以逆时针方向.解：令，,将分为,与,两局部.对于对称点,，有,而,两局部关于轴对称，且方向相同，所以.例15设为球面和平面的交线，假设从轴正向看去，时沿逆时针方向的,试计算以下第二型曲线积分：解：把代入,得.令,,可得所以可取,，由此可知的参数方程为,,,因为,由轮换对称性可知，所以.五、曲面积分的对称性〔一〕第一型曲面积分的对称性定理及应用定理13假设积分曲面可以分成对称的两局部，在对称点上被积函数的绝对值相等，即光滑曲面关于或,或坐标面对称，那么有1〕假设在对称点上取相反的符号，即关于(或,或)的奇函数,那么，.2)在对称点上取相同的符号，即关于(或,或)的偶函数，那么，.推论1：假设光滑曲面可以分成对称的两局部,且关于原点对称,那么1〕,为关于(或,或)的奇函数.2)，关于(或,或)的偶函数.例16计算积分,其中为曲面被曲面所截取局部.图在P273解：因为关于坐标平面