八年级数学下学期期末全真模拟卷三-2021-2022学年八年级数学下学期考试满分全攻略（北师大版）（解析版）

八年级数学下学期期末全真模拟卷（3）（北师大版）

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共28题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作

答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题

的主要步骤.

—.选择题（共10小题）

1.下列e四个图形中，是中心对称图形的是（

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重

合，所以是中心对称图形；

选项8、C、。不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18（）。后与原来的图形重合，所

以不是中心对称图形；

故选：4.

【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心.

2.使分式工有意义的x的取值范围是（）

x-2

A.x>2B.xW2C.x=2D.x<2

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式解答即可.

【解答】解：•分式上有意义，

x-2

...x-2W0,

・・"2.

故选：B.

【点评】本题了考查了分式有意义的条件，正确列出不等式是解题的关键.

3.用提公因式法分解因式gT+Sfy-dfyz3时，提取的公因式是（）

A.xyB.2xzC.12xyD.3yz

【分析】直接根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字

母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次

数取最低的，进而得出答案.

【解答】解：用提公因式法分解因式6通#3乃-4/）£时，提取的公因式是我

故选：A.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

4.如图，在△ABC中，AB=AC,点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC,ZAPB^ZAPC,

求证：PBWPC,用反证法证明时，第一步应假设（）

A.AB^ACB.PB=PCC.NAPB=/APCD.ZPBC^ZPCB

【分析】假设结论P8Kpe不成立，PB=PC成立.

【解答】解：假设结论尸8WPC不成立，即：PB=PC成立.

故选：B.

【点评】本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤.

5.己知点。、E、尸分别为△A8C各边的中点，若△A8C的周长为24C"，则△OE尸的周长为

（）

A.6cmB.\2cmC.24cmD.48cm

【分析】根据中位线定理可得。尸=Lc,DE=1BC,EF=^AC,继而结合△48C的周长

222

为24cm,可得出△£>£：尸的周长.

【解答】解：：4E、尸分别为△ABC三边的中点，

:.DE、DF、E尸都是△A8C的中位线，

：.DF=^AC,DE=LBC,EF=^-AC,

222

故尸的周长=。£：+。尸+后尸=▲（BC+AB+AC）=工乂24=12（cm）.

22

【点评】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于

第三边，并且等于第三边的一半，难度一般.

6.若6x>-6y,则下列不等式中一定成立的是（）

A.x+y>0B.x-y>0C.x+yVOD.x-y<0

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.

【解答】解：:6x>-6y,

Ax>-y,

Ax+y>0,故本选项符合题意；

根据6x>-6y能推出x+y>0,不能推出x-y>0,故本选项不符合题意；

即只有选项A符合题意；选项8、C、D都不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等

式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质

3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

7.若关于x的分式方程」一+卜=?有增根x=-2,则%的值为（）

x-2x+2X2.4

A.一&B.-2C.2D.3

2332

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=-2代入整式方程计算即可求出A的值.

【解答】解：分式方程去分母得：x+2+k（x-2）=6,

由分式方程的增根为x=-2,

物=-2代Ax+2+M（x-2）=6得：-4k=6,

解得：

2

故选：A.

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整

式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

8.如图，在nABCD中，NA8C=60°,为对角线，将△BCD沿CD方向平移，使得8c与A。

重合，点。的对应点为点E,过点E作EFLBC交BC的延长线于点F,则下列说法正确的是

()

A.AE=BFB.3。平分NA3CC.ZDAE=30°D.CF=DE

【分析】连接OF,由平行四边形的性质得出,由平移的性质得出CQ

=DE,证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出CF=CQ,则可得出结论.

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//DE,

VZABC=60°,

/.ZDCF=ZABC=60°,

・・•将△8C£＞沿CD方向平移，使得8C与AD重合,

:.CD=DE,

VEFlfiC,

:.CD=DF,

•••△C0F为等边三角形，

:.CF=CD,

：.CF=DE.

没有条件证明4,B,C的结论正确.

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，直角三

角形的性质，由平移的性质得出CO=QE是解题的关键.

9.如图，已知△ABC是等边三角形，。是BC边上的一个动点（异于点B、C）,过点。作DEL

AB,垂足为E,OE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,连接F。，FE.当点。在8c边上

移动时，有下列三个结论：①△£>£/一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③

△FDC可能为等腰三角形.其中正确的有（）

【分析】OE的垂直平分线分别交AC、8c于点F、G,得FE=FD,即可求解，故①正确；由

题意，ZC=60°,易得/C=NCFG=60°,得△CFG一定为等边三角形，故②正确；Z

FDC>ZFGC=60°,NC=60°,ZCFD<ZCFG=60°,得△FDC不可能为等腰三角

形，故③错误；

【解答】解：的垂直平分线分别交4C、8c于点RG,

：.FE=FD,

一定为等腰三角形，故①正确；

'：DELAB,DE1FG,

：.AB//FG,

：.ZFGC=ZB=60<,,

又•••△48C是等边三角形，

，NC=60°,

.♦.△CFG中，NC=NCFG=NCGF,

.♦.△CFG一定为等边三角形；

故②正确；

：NFDC>/FGC=60°,ZC=60°,

ZCFD<ZCFG=60°,

.•.△FQC不可能为等腰三角形.

故③错误；

故选：C.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，同样具

备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

10.如图，在Rt/XABC中，NAC8=90°,NBAC=30°,AO平分/BAC交BC于点£）,在A8上

找一点E,连接OE,使NAOE=15°,若CD=3,则OE的长为（）

A.3aB.3&C.6D.5

【分析】根据角平分线的定义得到/BAO=!/BAC=2X30°=15°,根据三角形的外角

22

的性质得到/。£：”=/。4£：+/4。£=30°,过。作£W_LAB于"，根据角平分线的性质得到

CD=DH,由直角三角形的性质得到答案.

【解答】解：；/区4c=30°,4。平分ZBAC,

AZBAD=^ZBAC=-^X30°=15°,

22

VZADE=\5°,

:.NDEH=NDAE+NADE=30°,

过。作于”，

Z.Z£>WE=90°,

：/ACB=90°,4£>平分N84C,

：.CD=DH,

VCD=3,

：.DH=3,

：.DE=2DH=6,

故选：C.

D

【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确的作

出辅助线是解题的关健.

填空题(共8小题)

11.分解因式：m3-1="7("7+1)("L1).

【分析】先提取公因式加，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：m3-m,

=m(m2-1),

—m(m+1)(m-1).

故答案为：(m+1)(ZM-1).

【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二

次分解因式.

12.若9■二12(LL\D..=8X10X12,则Z=10..

k

【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解.

【解答】解：二1)(115)_=8X1OX12,

k

.(9-1)(9+1)(11-1)(11+1)

"k~8X10X12

-8X1QX1QX12

8X10X12

=10.

故答案为10.

【点评】本题主要考查因式分解的应用，将分子分解因式是解题的关键.

13.若f+3x=-l,贝卜-—^―=-2.

x+1

【分析】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据/+3x=-1,可以得到)=-1-

3x,代入化简后的式子即可解答本题.

【解答】解：尸，

X+1

=X(x+1)-1

x+1

=x2+x-l

x+1

・・，/+3x=-1,

.•./=-1-3x,

.原式=T-3x+x-1=-2x~~2=2(x+1)=_

x+1x+1x+1

故答案为：-2.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

14.如图，在△A3C中，已知A8=2,AD1BC,垂足为Q,BD=2CD.若E是AD的中点，则

EC=1.

【分析】设AE=EQ=x,CD=yf根据勾股定理即可求出答案.

【解答】解：设4七=£。=达CD=yf

:・BD=2y,

AZADB=ZADC=90°,

在RtZ\AB。中，

222

.\AB=4x+4yf

・・./+『=1,

在RtZ\C£>E中，

.\EC2=X2+y2=1

VEOO

：.EC=\.

另解：依据AD_L8C,BD=2CD,E是AO的中点,

即可得判定△CDEs△BDA,

且相似比为1：2,

.CE1

AB2

即CE=1.

故答案为：1

【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型.

15.如图，平行四边形A8CQ中，对角线AC,相交于点0,连接BE,

若平行四边形ABC。的周长为28,则AABE的周长为14.

【分析】先判断出E0是8。的中垂线，得出跖=EQ,从而可得出△4BE的周长=AB+4O,

再由。488的周长为28,即可得出答案.

【解答】解：•.•四边形4BCD是平行四边形，

：.0B=0D,AB=CD,AD=BC,

A8c。的周长为28,

：.AB+AD=14

'：OE±BD,

OE是线段80的中垂线，

：.BE=ED,

：.ZVIBE的周长=AB+BE+4E=A8+A£>=14,

故答案为：14.

【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出

0E是线段8。的中垂线.

16.如图，将正方形。EFG放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点上的坐标为（2,3）,则

点尸的坐标为（-1,5）.

【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点

尸的坐标.

【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线垂足为H.过点6作工轴的垂线GM,垂足为M,

连接GE、尸。交于点0'.

•..四边形0EFG是正方形，

：.0G=E0,NGOM=NOEH,N0GM=NE0H,

在△OGM与△E0H中，

，ZOGM=ZEOH

<OG=EO

ZGOM=ZOEH

(ASA)

：.GM=OH=2,0M=EH=3,

：.G(-3,2).

：.O'(-£回).

22

；点尸与点O关于点O'对称，

.•.点F的坐标为(-1,5).

【点评】考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求

得点G的坐标是解题的难点.

17.如图，在△ABC中，8c=3,将aABC平移5个单位长度得到△AiBiCi,点P、。分别是

AB、ACi的中点，PQ的最小值等于_1_.

【分析】取AC的中点M,AiBi的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,根据平移的性质和三角

形的三边关系即可得到结论.

【解答】解：取的中点M连接NQ,PN,

:将△A8C平移5个单位长度得到由1。，

；.8iCi=BC=3,PN=5,

:点P、。分别是AB、4cl的中点，

：.NQ=^-B\Ci=^-,

22

；.5-旦•WPOWS+W,

22

即弃PQW孚

•••PQ的最小值等于日,

故答案为：1.

【点评】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关

键.

18.如图，点尸是正方形A8C。内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2我、近、4,则正

方形A8CD的面积为14+4E.

【分析】如图，将△A8P绕点B顺时针旋转90°得到△C8M,连接过点8作BHLPM于

H.首先证明NPMC=90°,推出/CMB=NAPB=135°,推出A,P,M共线，利用勾股

定理求出即可.

【解答】解：如图，将△A8P绕点8顺时针旋转90°得到△C8M,连接PM,过点B作8”，

PM于H.

DC

4B

:BP=BM=近,ZPBM=90°,

,.PM=dPB=2,

：PC=4,PA=CM=2M，

\PC2=CM2+PM2,

\NPMC=90°,

:NBPM=NBMP=45°,

'.ZCMB=ZAPH=U5a,

ZAPB+ZBPM=\S0°,

•.A,P,M共线，

：BHLPM,

,.BH=PH=HM=l,

\AH=2y/3+l,

\AB2=AH2+BH2=(2V3+1)2+I2=14+4V3-

，正方形A8C£＞的面积为14+4禽.

解法二：连接AC,利用勾股定理求出AC即可.

故答案为14+4愿.

【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

三.解答题(共10小题)

19.(1)分解因式：/(/,-2)+(2-/力.

【分析】(1)根据提取公因式以及平方差公式即可求出答案.

(2)根据分式的减法运算法则即可求出答案.

【解答】解：(1)原式=/(6-2)-。-2)

—(a2-1)(/?-2)

=(a+1)(a-1)Cb-2).

(2)原式=,x；152(t3)

(x+3)(x-3)(x-3)(x+3)

=x-15+2x+6

(x+3)(x-3)

二3x-9

(x+3)(x-3)

3(x-3)

(x+3)(x-3)

=3

7^3'

【点评】本题考查因式分解以及分式的减法运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算

法则以及因式分解法，本题属于基础题型.

20.(1)解分式方程:2x_

2x-3-2x+3

'l-2x<3①

(2)解不等式组｛x+4、3x-7并在数轴上表示其解集.

-1②

~3~2

【分析】(1)方程两边同乘以(2x-3)(2x+3)将方程转化为整式方程，解方程可求解x

值，最后检验可求解方程的解；

(2)先求解两不等式的解集，再取其公共部分即可求解不等式组的解集，最后将解集表示

在数轴上即可求解.

【解答】解：(1)方程两边同乘以(2x-3)(2x+3),得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x

-3)⑵+3),

解这个整式方程得x=-3,

检验：当x=-3时，(2r+3)(2X-3)=27W0,

；.x=-3原分式方程的解；

(2)解不等式①得xN-1,

解不等式②得x<5,

二不等式组的解集为-lWx<5.

将解集表示在数轴上表示为：

1I1II]II1II.>

-5-4-3-2-1012345

【点评】本题主要考查解分式方程，一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式组的解

集，掌握解分式方程的一般步骤及解不等式组的方法是解题的关键.

22

21.先化简(月-----?+2务,再从0、1、-1、2、-2中取一个数代入求值.

12-4a+4a-2,a-2

【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将。的值代入原式即可

求出答案.

2

【解答】解：原式二1_a_4_g_j.

(a-2)2a-2a(a+2)

।

=1(a-2)(a+2).2.a-2

(a-2)2a-2a(a+2)

=(^12•a-2

a-2a-2a(a+2)

=a.a-2

a-2a(a+2)

_―1.，

a+2

由分式有意义的条件可知〃不能取±2,0,

当a=1时.

原式=工.

3

当〃=-1时,

原式=1.

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除

运算法则，本题属于基础题型.

22.若关于x、y的方程组04y=30力的解都是非负数.

[3x+y=50+k

(1)求k的取值范围：

(2)若M=3x+4y,求M的取值范围.

【分析】(1)解方程用含k的式子表示x、y,根据方程组的解都是非负数得出关于々的不等

式组，解之可得；

(2)根据M=3x+4y得出M=-5k+110,结合%的范围可得答案.

【解答】解：⑴解方程组卜4y,得：尸+10,

13x+y=50+k\y=-2k+20

・・,方程组的解都是非负数，

.fk+10>0,

,,i-2k+20>0’

解得：-1OWZW1O；

(2)M=3x+4y=3(H1O)+4(-2M+20)=-5H11O,

：-1OWAW1O,

-5OW-5kW5O,

则60W-5*+110^160,

即60WMW160.

【点评】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据题意列出关于k的不

等式组是解答此题的关键.

23.如图所示，ZVIBC中，AB=BC,OE_LA8于点E,。尸_L8C于点。，如C于F.

(1)若N4FO=155°,求NEDF的度数；

(2)若点尸是>4。的中点，求证：NCFD=工NB.

2

BDC

【分析】（1）求得NA的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；

（2）连接在8,根据4B=8C,且点尸是AC的中点，得到8FJ_AC,NABF=NCBF=L/

2

ABC,证得/CFD=ZCBF后即可证得/CFD=工/ABC.

2

【解答】解：（1）••,/"£）=155°,

；.NDFC=25°,

'：DFLBC,DELAB,

:.NFDC=NAED=90”,

在RtZXFDC中，

AZC=90°-25°=65°,

,:AB=BC,

：.ZC=ZA=65°,

"：AB=BC,且点尸是AC的中点，

BF1.AC,ZABF=ZCBF=^ZABC,

2

.".ZCFD+ZBFD=90°,

NCBF+NBFD=9G°,

:.NCFD=NCBF,

NCFD=ZNABC.

2

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，

这是利用等腰三角形性质的基础.

24.如图所示，△ABC的/8AC=120°,以8c为边向形外作等边△BCD,把△4BZ）绕着。点

按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3,AC=2,求/B4）的度数和线段4□的

长.

C

A

BD

【分析】根据NBAC+/BOC=180°得出A、B、。、C四点共圆，根据四点共圆的性质得出

ZBAD=ZBCD=6Qa.推出A,C,E共线；由于NAOE=60°,根据旋转得出AB=CE=

3,求出AE即可.

【解答】解：法1：•.,△ABC的N8AC=120°,以8c为边向形外作等边△BCD,

；.NBAC+N8DC=12()°+60°=180°,

...A,B,D,C四点共圆,

：.ZBAD=ZBCD=60°,NACO+NA8£>=180°,

又：NABD=4ECD,

：.ZACD+ZECD=180°,

Z.Z/1CE=180°,

即4、C、E共线，

•.•把△ABD绕着。点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB=3,

.\AB=CE=3,

：.AD=AE=AC+AB=3+2=5；

【点评】本题利用了：①等边三角形的性质，三角为60度，三边相等；②四边形内角和为

360度；③一个角的度数为180度，则三点共线：④角的和差关系求解.

25.如图a,△ABC和是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和

BE

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；

(2)将图。中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图6(1)中的结论还成立吗？作出判

断并说明理由.

A

A

【分析】(1)根据题中所给的等边三角形的条件，两对边对应相等，有一个角都等于

60°,变换这个60°的对应角，利用SASilA尸和BE所在的三角形全等；

(2)利用了等边三角形的性质，根据特殊角和旋转不变性确定两线段相等.

【解答】解：(1)AF=BE.

证明：在△AFC和△8EC中，

△A8C和△CEF是等边三角形，

：.AC=BC,CF=CE,ZACF=ZBCE=60°,

AC=BC

在ZV1FC与△BEC中，，ZACF=ZBCE-

CF=CE

.,•△AFCdBEC(S4S),

：.AF=BE.

(2)成立.

理由：在△AFC和△BEC中，

△48C和△CEF是等边三角形，

：.AC=BC,CF=CE,NACB=NFCE=6()度，

ZACB-ZFCB=NFCE-NFCB,

即ZACF=/BCE,

AC=BC

在ZV1FC与△BEC中，，ZACF=ZBCE>

CF=CE

:.△AFC9XBEC(SAS),

：.AF=BE.

【点评】本题主要考查旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状不变，只是位置发生了变

化.证两条线段相等，通常是证这两条线段所在的两个三角形全等，类似的题，证明方法

基本不变.

26.已知：平行四边形48co中，对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是

OC,0D,A8的中点.求证：(1)BE1AC；(2)EG=EF.

C.

【分析】(1)由已知条件易证AOBC是等腰三角形，E是0C的中点，根据等腰三角形中底

边上的高与中线合一的性质知BE_LAC.

(2)利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EG=EF.

【解答】证明：(1)•四边形A8CD是平行四边形，

：.AD=BC,80=280.

由已知8C=2AQ,

：.BO=BC.

又E是0C中点，

：.BE±AC.

(2)由(1)BELAC,又G是AB中点，

...EG是RtZXABE斜边上的中线.

：.EG=—AB.

2

又EF是△0C。的中位线，

：.EF=^CD.

2

XAB=CD,

:.EG=EF.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，范围

比较广.

27.现有A、B两种商品，已知买一件4商品要比买一件8商品少30元，用160元全部购买A商品

的数量与用400元全部购买8商品的数量相同.

(1)求4、B两种商品每件各是多少元？

(2)如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有

几种购买方案，哪种方案费用最低？

【分析】(1)设4商品每件x元，则B商品每件(30+x)元，根据“160元全部购买A商品的

数量与用400元全部购买8商品的数量相同”列方程求解可得；

(2)设购买A商品a件，则购买B商品共(10-a)件，列不等式组：300^20«tz+50«(10-

a)<380,解之求出。的整数解，从而得出答案.

【解答】解：(1)设A商品每件x元，则B商品每件(30+x)元，

根据题意，得：160=400,

x30+x

经检验：x=20是原方程的解，

所以A商品每件20元，贝帖商品每件50元.

(2)设购买A商品4件，则购买B商品共(10-«)件，

列不等式组:300通小寺式()•(10-a)