奥数复习（打印版）

目录

0.基本数量关系...............................3

1.行程问题...............................4

1.1相遇追及问题...........................4、5

（相遇、追及、错车与超车、钟表问题）

1.2流水问题/行船问题........................6

1.3过桥问题................................6

L4行程综合...............................7

2.计算问题...................................8

2.1加减法...................................8

（加法、减法、等差数列求和）

2.2乘法的速算...............................11

2.3除法的速算...............................13

2.4定义新运算...............................14

2.5巧算速算：小数...........................14

2.6分数大小的比较...........................15

2.7分数拆分...............................16

2.8找规律...................................18

2.9填数、符号...............................19

3.数论问题.................................20

3.1奇数与偶数...............................20

3.2数的整除、整数拆分......................20

3.3余数问题、同余与周期....................22

3.4约数与倍数..............................23

2.5质数与合数...............................24

2.6分解因式.................................24

2.7数进制...................................25

3.8完全平方数...............................25

3.9循环小数.................................26

3.10比和比例...............................26

4.计数问题.....................................27

4.1几何图形计数............................27

4.2加法乘法原理............................28

4.3容斥原理................................32

5.应用题（解题方法）.......................34

5.1和差倍问题...............................34

5.2归一归总.................................35

5.3平均数...................................35

5.4植树问题.................................36

5.5年龄问题.................................38

5.6工程问题.................................38

5.7盈亏问题.................................38

5.8假设问题（鸡兔同笼、牛吃草、）..........39

5.9还原问题..............................40

5.10列方程解应用题.........................41

5.11消元问题...............................42

5.12其他解题方法..........................43

（有序思考、图形法、列表法、错中求解、一题多解、开放题）

6.几何问题..................................45

6.1小学数学图形计算公式...................45

6.2圆的计算...............................46

6.3几何面积...............................46

6.4立体图形...............................47

7.杂题.....................................49

7.1抽屉原理...............................49

7.2逻辑推理...............................49

7.3最优化（统筹）.........................50

7.4幻方与数阵.............................50

7.5时间问题...............................50

7.6周期问题...............................50

7.7智力趣题...............................50

7.8其他...................................50

基本数量关系

1每份数X份数=总数

总数♦每份数=份数

总数♦份数=每份数

21倍数X倍数=几倍数

几倍数・1倍数=倍数

几倍数・倍数=1倍数

3速度X时间=路程

路程+速度=时间

路程小时间=速度

4单价X数量=总价

总价+单价=数量

总价♦数量=单价

5工作效率X工作时间=工作总量

工作总量+工作效率=工作时间

工作总量+工作时间=工作效率

6加数+加数=和

和个加数=另一个加数

7被减数一减数=差

被减数一差=减数

差+减数=被减数

8因数X因数=积

积♦一个因数=另一个因数

9被除数+除数=商

被除数+商=除数

商X除数=被除数

1.行程问题

简单的相遇、追及问题基本行程问题火车过桥流水行船平均速度

多人行程二次相遇、追及问题多次相遇、追及问题发车问题

环形跑道钟面行程走走停停接送问题电梯行程猎狗追兔

行程问题：走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题。

行程问题根据题目的内容、性质所需要解答的问题，又分为相遇问题、追及问题、火车过桥

问题等。解答各类行程问题的基础，要掌握速度、时间和路程三种量之间的关系：

路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路程+时间

1.1相遇追及问题/16.X146154四A148、178四52、59、67五84华4.1-6

相遇问题的公式

相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背

而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：

*速度和=甲速度+乙速度

相遇路程=速度和X相遇时间

相遇时间=相遇路程4-速度和

速度和=相遇路程+相遇时间

狗走路程=距离+（甲速度+乙速度）X狗速度

追及问题的公式四A178华4.2-7

运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这

样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题

的基本数量关系是：

*一个速度快的物体追一个速度慢的物体。*追及距离=路程差

追及距离=速度差X追及时间

追及时间=追及距离+速度差

速度差=追及距离+追及时间

错车与超车（相遇追击问题）五94

钟表问题

1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相遇或追及问题

来解答。

2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多

少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。

时钟问题一一，快慢表问题

基本思路：

1、按照行程问题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、时间是标准表所经过的时间；

5、合理利用行程问题中的比例关系；

时钟问题一一钟面追及

基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，

即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1/12分格。

②度数方法:

从角度观点看，钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度，即6°,时针每分钟

转360/12*60度，即1/2度。

1.2流水问题/行船问题三196四140五102华5.1-8

船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行船问题

（也叫流水问题）。

水速对船速有推送（顺行）或顶逆（逆行）的不同左右。

*船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：

顺流速度=静水速度（船速）+水流速度（水速）

逆流速度=静水速度（船速）一水流速度（水速）

静水速度=（顺流速度+逆流速度）4-2

水流速度=（顺流速度一逆流速度）4-2

*由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题,

所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。

船速=（顺水速度+逆水速度）+2

水速=（顺水速度一逆水速度）+2

因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关

系。

顺水路程=顺水速度X时间=（船速+水速）X时间

逆水路程=逆水速度X时间=（船速-水速）X时间

1.3过桥问题/15.X三100、105四47

过桥问题的一船的数量关系是：

路程=桥长+车长

车速=（桥长+车长）+通过时间

通过时间=（桥长+车长）+车速

车长=车速义通过时间一桥长

桥长=车速x通过时间一车长

总行驶路程=车速X通过时间

1.4综合行程华5.1-7

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度X时间；路程+时间=速度；路程♦速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间=路程差+速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）X顺水时间

逆水行程=（船速-水速）X逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）4-2

水速=（顺水速度-逆水速度）+2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、

速度差）中任意两个量，求第三个量。

2.计算问题

数学计算公式凑整拆分找规律比较与估算循环小数化分数

繁分数的计算分数裂项与整数裂项换元法通项归纳定义新运算

特殊数列求和分数比大小

巧算速算/31.XI、47、13、41、61、92、86、267

2.1加减法二61、118三A14、64配对求和、五39巧妙求和、79华3.1-1华4.1-1

*凑整法二61

**补数:两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另

一个数的“补数”。两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”：从最高位凑起，使各位数字相加得

9,到最后个位数字相加得10。

如：87655fl2345,46802—53198,87362fl2638,…

**带运算符号搬家，先把和是整十、整百、整千的数算出来。二118

(改变运算顺序：在只有“+”、"-”号的混合算式中，运算顺序可改变)

(每个数前面的运算符号是这个数的符号.如325+46T25+54中的+46,-125,+54.而325前

面虽然没有符号，应看作是+325。)

***两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉。

**先拆分，再凑整。96+15=96+(4+11)

63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)

***在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学

数学中常用的一种技巧.

9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

***除最高位是1外，其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如199+1=200)

199999+19999+1999+199+19

=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5

加法的速算

(1)加法交换律(2)加法结合律

(3)互补数如果两个数的和是整十、整百、整千…那么这样的两个数叫做互为补数。

(4)基准数法：三1

*为了凑整，多加几个就减几个，多减几个就加几个。(加整减零，减整加零，变更被减数。)

23+20+19+22+18+21=20X6+3+0T+2-2+1

?1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.

减法的速算

(1)一个数减去几个数的和，可以用这个数依次减去和里面的各个加数。

(2)一个数减去两个数的差，可以用这个数先减去差里的被减数，再加上减数；或用这个

数加上差里的减数，再减去被减数。

(3)一个数里连续减去几个数，可以交换减数的位置，差不变。

先减去那些与被减数有相同尾数的减数。2356-159-256=2356-256-159

(4)集中相减三1

*把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

1000-90-80-20-10=1000-(90+80+20+10)

加减法混合运算的性质：

(1)交换的性质：在加减法混合运算式题中，带着数字前面的运算符号，交换加减数的位置顺序进行计

算，其结果不变。

(2)结合的性质：在加减混合运算式题中，可以把加数、减数用括号结合起来，当加号后面添括号时，

原来的运算符号不变：当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。如：

去括号和添括号的法贝g

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则不论去掉括号或添上括号，括

号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面

的运算符号都要改变，“+”变变"+”，即:

a+(b+c+d)=a+b+c+d

a-(b+a+d)=a-b-c-d

a-(b-c)=a-b+c

在加减混合运算中，根据运算定律和运算性质可以归纳为：

括号前面是加号，去掉括号不变号；

加号后面添括号，括号里面不变号；

括号前面是减号，去掉括号要变号；

减号后面添括号，括号里面要变号。

注：号是指数字前面的运算符号。

如果我们能够灵活运用运算定律和运算性质计算，会使计算做得又对又快。

等式加减法二174

等差数列求和四A39、79四40、46五2华4.1-4

数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，每一个数减

去前一个数所得的差都是相等的话，我们就把这样的一列数叫做等差数列。

等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫

第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。

等差数列中相邻两项的差叫做“公差”。等差数列中项的个数叫做“项数”。

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用al表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：al,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其

中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=al+(n—1)d；

通项=首项+(项数一1)X公差；

数列和公式：sn,=(al+an)Xn4-2；

数列和=(首项+末项)X项数+2；

项数公式：n=(an+al)-rd+1；

项数=(末项-首项)♦公差+1；

公差公式：d=(an—al))4-(n—1)；

公差=(末项一首项)+(项数一1)；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

和=中间数义个数1+2+3+4+5+6+7+8+9=5*9中间数是5

2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成:

和=(首数+末数)X(个数+2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)X5=1IX5=55

2.2乘法的速算三5三A70五165华4.1-2

1.凑整、凑易算

*两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5X2=10

25X4=100125X8=1000

2.配对125X2X8X25X5X4=(125X8)X(25X4)X(5X2)

3.分组、分类简化。分解因数，凑整先乘。

24X25=6X(4X25)56X125=7X8X125=7X(8X125)

125X5X32X5=125X5X4X8X5=(125X8)X(5X5X4)

4.运算定律：乘法中的速算，要运用以下定律：

(1)乘法交换律(2)乘法结合律(3)乘法分配律

(4)乘法性质①两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所

得的积相减。

②一个数与两个数的商相乘，可用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用

这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。

32X125X27537X48X625

=(4X8)X125X(25X11)=37X(3X16)X625注意37X3=111

=(4X25)X(8X125)XH=(37X3)X(16X625)

=111X10000

=100X1000X11=1110000

=1100000注意37X3=111

(5)积的变化规律

(6)特殊数字的乘积

5X2=1025X4=100125X8=100025X16=1000037X3=11175X4=300375X8=3000

**几种特殊因数的巧算。

***X10、X100,X1000

例一个数X10,数后添0；15X10=150

一个数X100,数后添00；15X100=1500

一个数X1000,数后添000；15X1000=15000

***一个数X9,数后添0,再减此数；12X9=120-12=108

一个数X99,数后添00,再减此数；12X99=1200-12=1188

一个数X999,数后添000,再减此数；12X999=12000-12=11988

以此类推。

***一个偶数乘以5,可以除以2添上0。

如：6X5=3016X5=80116X5=580

***一个数乘以11,“两头一拉，中间相加”

***一个偶数乘以15,“加半添0”.24X15=(24+12)X10=360

***个位为5的两位数的自乘：十位数字X(十位数字加1)X100+25

如15X15=1X(1+1)X100+25=22525X25=2X(2+1)X100+25=625

35X35=3X(3+1)X100+25=1225

***一个数乘以11,“两头一拉，中间相加”。如2222X11=24442

注意：某数乘以11的积等

于该数错位相加之和，如：

25

XI1

~25

25

275

***恒等变形：

比较下面两个积的大小：

A=987654321X123456789,

B=987654322X123456788.

解：A=987654321X123456789=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322X123456788=(987654321+1)X123456788

=987654321X123456788+123456788.

因为987654321>123456788,所以A>B.

***一般说来，将一个整数拆成两部分(或两个整数)，两部分的差值越小时，这两部分的乘

积越大.

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5则5X5=25积最大.

下面哪道题得数最大：241X249242X248243X247244X246245X245

取整计算：华6.2-2

在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分.比如，用5米长的花

布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件？

所以数学上引进了符号（），使我们的表述简明.[a]表示不超过a的最大整数，称为a

的整数部分.

[a]显然有以下性质：

①[a]是整数；

②[x]Wx；

③x<[x]+l；

④若b2L则[a+b]>(a)；

若bWL则(a+b)W[a]+L

2.3除法的速算三25、30三A49、76

除法中的速算，要根据以下各种性质：

*在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。864X27+54=864+54X27

(1)两个数或几个数的积除以一个数，可以先用积里的任何一个因数除以这个数，所得的商

再与其他因数相乘。

(2)一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。

(3)一个数除以两个数的商，可以用这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或者用

这个数乘以商里的除数，再除以商里的被除数。

(4)两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相

加。

(5)两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商进行相减。

(当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。)

(6)商不变的性质：如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

***一个数除以10、100、1000比较容易：

①110+5=(110X2)+(5X2)=2204-10=22

②3300+25=(3300X4)4-(25X4)=132004-100=132

③440004-125=(44000X8)+(125X8)=3520004-1000=352

(7)乘除法混合运算的交换性质：在乘除混合运算中，带着数字前面的运算符号交换乘数、

除数的位置，结果不变。

在乘法、除法和乘除法混合运算中，根据运算的定律和运算性质，可以归纳为：

括号前面是乘号，去掉括号不变号；

乘号后面添括号，括号里面不变号；

括号前面是除号，去掉括号要变号；

除号后面添括号，括号里面要变号；

注：号是指数字前面的运算符号。

***在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括

号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”

内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

即aX(b+c)=aXb+c从左往右看是去括号，

a4-(bXc)=a-rb-rc从右往左看是添括号。

a-7-(b4-c)=a-rbXc

2.4定义新运算115华4.1-3

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按

照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

2.5巧算速算：小数51五9

比较大小

估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，

确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分

段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求

的精确度多保留一位，进行计算。

2.6分数大小的比较

通分（通分子、通分母）、与“1”相减、比倒数、重要结论、放缩法、做商比较、交叉相乘、

跟着感觉走、

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

（分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。）

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

（分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。）

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以

用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。（用“第三个数”1比较大小）

分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以

把它们转化成分子相同的分数比较大小。

一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。

一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分

数比原分数小。

一个假分数的分子、分母都减去同个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比

原分数大。

一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。

2.7分数拆分

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。

1111111111_1

-4---—=--1-----；等等。

185427184530,189922,62-312-34

一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:

11x33121111x441311

例:—=----=—=—1—=—1—-=--1--——1--

22x3666633-3^4121212124

1_1x55141

20,20

44x52020

111_1_1

方法一：-=+----

n〃+1〃x(〃+l)n〃+1

方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是

⑴找分母的约数；

⑵扩分把分数单位’的分子、分母分别乘A的任意两个约数之和；

A

⑶拆分把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子;

（4）约分把所得两个分数约成最简分数。

怎样把一个分数拆成两个分数的差。

当一个分数为——的形式时，可以拆分为‘一」一的形式（n为自然数，且n不为0）

nx（/?7-1）nn

1_1_1

即:

nx(n-/-1)nn+\

11111_11

例如:；--

204^54-5426^767

分数拆分的具体应用

例•计算：1+1+—+—+—+—

2612203042

111111_11111111111

2612203042223344556674=7

当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。

221155113311

例如:

63-7^9-7-924-3^8-3-828-4^7-4-7

d11

用公式表示就是：当n、n+d(n不为0)都是自然数时,

〃x(〃+d)nn+d

具体应用:

22J，

计算：++

12x1414x1616x1818x20

-------------1--------------1------------H--------------

12x1414x1616x1818x20

JJJJ1

-12-1414-1616-1818-2020

1

-12

nX(n+d)=TX(n-n+ct)

d_11

nx(n+d)nn+d

对这个公式可以进行变形：例如:

1UxAUx(l-l)

24524538

因为8-3=5所以提取一个,，当然，24也可以看成4X6,而6-4=2,所以也可以提取一个‘，

52

—=-x—=这得看计算时的需要了。

24224246

1111

练习:计算+十-----F------F-----

U55^99x1313x1717x21

---------F----------1-------------1---------------1-------------

1x55x99x1313x1717x21

=L(-+上+上)

41x55x99x1313x1717x21

11111111

=-x(l--+-----1---------1---------------1------

4559913131717

1八1、

=-x(1-—)

421

120

=—X-----

421

5

21

2.8找规律/27.X20二48、55、203三134三A7四A1、6、44、48

华2.2-7

找规律：等差数列二55三A7四A1、6华-2-42-5、2-6、2-7华3.1-6

华3.2-1

自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

(1)1,2,3,4,5,口，口，8,9,10.

(2)1,3,5,7,9,口，口，15,17,19.

(3)2,4,6,8,10,口，口，16,18,20.

(4)1,4,7,10,口，口，19,22,25.

(5)5,10,15,20,口，口，35,40,45.

斐波那契数列：从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.

1,1,2,3,5,8,13,口，口，55,89.

等比数列：它的后一个数是前一个数的2倍。1,2,4,8,16,口，□,128,256.

例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒,

接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放

4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，

你说这100块糖够不够？”

差是个自然数列：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

*后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差

的2倍.（后一个数等于前一个数乘以2再加1,即后一个数=前一个数X2+1.）

自然数平方数列：它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1X1,4=2X2,9=3X3

1,4,9,16,25,口，口，64,81,100.

***一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依

此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车）

解：车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出

现78时，就可知道是到多少站了，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

图形变化规律二48、203三134华2-7华2.2-11

和差变化规律四A44

积商变化规律四A48

2.9填数、符号/29.X6、20、33二86、146、153、174、三9、34、38、42、48、54、

59、127、三A20、26、33、40、四A22、28

华2.2-8华3.1-7、8

*数字迷3.1-9、10、H算符3.1-11、12

横式华4.1-13、14

3.数论问题

奇偶分析数的整除整数拆分余数问题约数倍数质数合数、分解质因数

进位制完全平方数中国剩余定理位值原理

48.数：单双、奇偶、公约公倍X67、73、79、86、92二72、五139、152约数倍数

3.1奇数与偶数华5.1-5

加法：偶数十偶数=偶数

奇数+奇数=偶数

偶数十奇数=奇数

减法：偶数一偶数=偶数

奇数一奇数=偶数

偶数一奇数=奇数

乘法：偶数X偶数=偶数

奇数X奇数=奇数

偶数X奇数=偶数

3.2数的整除五132华5.1-1

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数，那么叫做a

能被b整除或b能整除a,记作b|a。否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）,记作b+a。

2、常用符号:整除符号“I”,不能整除符号“+”;因为符号“•；”，所以的符号

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

能被30以下质数整除的数的特征：华5.1-6

整除数特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各数位上数字的和是3的倍数

5末尾是0或5

9各数位上数字的和是9的倍数

11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25末两位数是4（或25）的倍数

8和125末三位数是8（或125）的倍数

7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

整数拆分华2.2-9华6.2-7

3.3余数问题

一个带余数除法算式包含4个数：被除数♦除数=商……余数。

它们的关系也可表示为：被除数=除数义商十余数，或(被除数一余数)♦除数=商。

余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r,如果使得a+b=q……r,且O〈r〈b,那么r叫做a除以

b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

@a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

余数、同余与周期五159带余、同余华5.2-5

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余，记作amb(modm),读作a

同余于b模mo

二、同余的性质：

①自身性：a三a(modm)；

②对称性：若a三b(modm),则b三a(modm)；

③传递性：若a三b(modm),b=c(modm),则a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),则a+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),则aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),则an三bn(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整数c,则aXc三bXc(modmXc)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=aXb,则MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d则MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和，则M三n(mod9)或(mod3)；

②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和，丫表示M的各个偶数数位上数字的和，

则M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、费尔马小定理：如果P是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1三l(mod

p)o

带余除法：华5.1-4

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如：16+3=5-1,即16=5X3+1.

此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数(bWO),那么一定有另外两个整数q和r,0Wr<b,使得a=b

Xq+r0

当r=0时，我们称a能被b整除。

当rWO时，我们称a不能被b整除，r为a

运用同余解题：华6.1-8

3.4约数与倍数华5.1-3华5.2-4

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最

大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2,3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6,9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6,记作(12,18)=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最

小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有:18、36、54、72...；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

3.5质数与合数华5.1-2

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质

因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合数N的质因数，且

al<a2<a3<...<ano

求约数个数的公式:P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X...X(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。

3.6分解因式

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

一个自然数的约数的个数，恰为质因数的指数加1后的乘积。

一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。

一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。

3.7数进制四A191华3.2-14华6.1-9

1将任意一个P进制的数改写成十进制的数，只要写成，计算其相应的结果。

2将任意一个十进制数化为P进制数都可以用P去除这个数，记下余数，直至商为0,然后

将余数自下而上依次排列。

3二进制的妙用，在日常生活中经常会碰到，应灵活运用。

十进制：用0〜9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2

表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X10n-7+........+A3X

102+A2X101+A1X100

注意：N0=l；N1=N(其中N是任意自然数)

二进制：用0〜1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

(2)=AnX2n-l+An-lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+.......+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是0就是l0

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0,然后把每次所得的余数

按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此

方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。

3.8完全平方数

完全平方数特征：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

3.9循环小数五31

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是

9,9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不

循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9,9的个数与一个循环节的位数相同,

末几位是0,0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5,又含有2和5以外的质因数，那么这个

分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小