2023人教版新教材B版高中数学必修第三册同步练习-第七章 三角函数

第七章三角函数

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知角a的终边经过点P（-3,4tan等），则sina=（）

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

2.我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测

器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月

轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米,

已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转殳瓜度飞过的路程约为（兀句.14）（）

A.1069千米B.1119千米

C.2138千米D.2238千米

3.设tan(5无+a)=〃7(aHkn+?%eZ),则‘吗3：)+CO：(TT：)的值为(

\2/sin(-a)-cos(n+a))

A.—B.-C.-lD.l

m-1m+1

4.函数./（x）=鬻在［-兀河上的图象大致为（）

5.已知cos偿+a)=],且-兀则cos(a—§=()

C.-1D.i

3333

6.已知6且sin夕+cos叙|,贝ijsin。-cos0=()

A..包B,包C.4D.叵

3333

7.已知函数y（x）=2sin（a>x+0）+l（a>>0,\（p\<1）&）=-：!J（£）=3,若|a/|的最小值为拳且於）的图象

关于点弓,1）对称,则函数/U）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（）

A.x=--B.x=--C.x=-D.x=-

42124

8.设函数危）=Asin（ft）x+9乂A>0,3>0,⑼<1）在区间长弓]上单调，且尼）=

./得）=无）,当户却寸於）取到最大值2,若将函数於）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍

得到函数g（©的图象，则不等式g（x）>l的解集为（）

A.（—-+2/CTT,—+2/CTC）次6ZB.（-]+2/CTI,—+2/CTT）,ZWZ

C.（——+2.ku,—+2/CTT）火eZD,（-]+2/cn,—+2kn）,左GZ

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目

要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法错误的是（）

A.15。角与735。角的终边相同

B.若一扇形的圆心角为15。,半径为3cm,则该扇形的面积为到cn?

4

C.若a是锐角，则角2a为钝角

D.-?是第二象限角

10.给出下列四个结论，其中正确的结论是（）

A.sin（7i+a）=-sina成立的条件是角a是锐角

B.若cos（〃无-a）=[（aez）,贝!!cosa=1

C.若a丹（%GZ）,则tan得+a）=^

D.若sina+cosa=l,则sin〃a+cos"（z=l（〃£N*）

11.已知函数/（x）Wsin（x+；）+cos（x下列说法中正确的是（）

A./U）=/in（x+%）

B.函数人x）的最大值为:

C.函数/（X）的最小正周期是71

Da）在（-记）上单调递增

12.已知函数/U）=sin（0x+s）（①〉0,0<3<无入将产/沁的图象上所有的点向右平移半个单位,然后将

横坐标缩短到原来的3纵坐标不变），得到函数产g（x）的图象若g（x）为偶函数，且最小正周期为今

则下列说法正确的是（）

A.府）的图象关于6,0）对称

B次x）在（0,工）上单调递减

C.g（x）m的解集为长+TW+外QZ

D.方程火x）=g仔）在（0,书上有且只有两个相异实根

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）

13.已知"r）=sinx+tan尢+x-1,若式々）=3,则/（-«）=.

14.设0>0,函数产sin（wc+以+2的图象向右平移雪个单位后得到的图象与原图象重合，则①的

最小值是.

15.函数/（x）=Asin（2尤+夕乂4>0,\（p\<的部分图象如图所示，对于任意的尤g可。力］，若

.*X1）=*X2）1Axi+X2）=或，则（p等于.

16.对任意两个实数a力，定义运算"max{a,/?}"如下:max{a,/?}=，j°?则关于函数y（x）=max{sin

fCLDf

X,cosx}的说法正确的是.（填序号）

①函数於）的值域为卜率斗

②函数7U）图象的对称轴为x=kn+^,kGZ;

4

③函数;（x）是周期函数；

④当且仅当x=2E（MZ）时,函数於）取得最大值1;

⑤当2E<x<2E咛时,*x）<0.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

sin(3n-a)cos(2n-a)sin(芋-a)

17.(10分)已知/a)=

cos(TC-a)sin(-Tt-a)

⑴化简加);

(2)若a是第二象限角，且cos(]+a)=[,求/(a)的值.

18.(12分)已知函数/(x)=Asin(a>x+s”A>OM>O，T<S<]在一个周期内的图象如图所示.

⑴求函数式x)的最小正周期T及«r)的解析式；

(2)求函数人犬)的图象的对称轴方程及单调递增区间；

(3)将火幻的图象向右平移g个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标

不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)=a-l在xG卷,：]上有两个不同的解,求实数a的取值范围.

19.(12分)在下面3个条件中任选一个,补充在下面的横线上，然后解答.

①函数式只的图象向右平移工个单位后所得图象关于y轴对称;②函数>=/(%+习是奇函数;③

当户工时，函数y-j(x-习取得最大值.

已知函数於)=2sin(3x+/),①>0,|夕|与其图象相邻两个对称中心之间的距离为.

(1)求函数)，=/>)的解析式；

⑵求函数y=/(x)在卜(1上的最小值,并写出取得最小值时x的值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

20.(12分)用“五点法”画函数段)=Asin((wx+9)(A>0⑷>0)在同一个周期内的图象时,某同学列表并

填入的数据如下：

7127r

Xx\X2X3

6T

7T37r

cox+（p0兀2兀

2T

Asin（ftzx+。）020-20

(1)求尤1用,X3的值及函数/U)的解析式；

(2)已知函数g(x)=/偿+以。>0),若函数g(x)在区间［-号用上是增函数，求实数a的最大值.

21.(12分)已知某摩天轮的直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮按逆时针方向匀

速转动，每转动一圈需要，分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮

的时刻开始计时.

(1)求小夏与地面的距离y(米)与时间式分钟)的函数关系式；

(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏距地面不低于98米的时间不少g分钟，求t的最小值.

22.(12分)函数大只=4;皿("+夕乂?1>0,3>0,［初<J)的部分图象如图所示，把函数7W的图象

向右平移;个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象.

⑴当XGE,罢］时，求g(x)的值域；

⑵令P(x)yx)-3,若对任意x都有/(x)F-(2+m)F(x)+2+〃W0恒成立，求m的最大值.

■y

—IT77r

Z^<3TTZ.

答案与解析

第七章三角函数

1.D*/4tan等=4tan(3n+^=4tan：=4,；.P(-3,4).

根据三角函数的定义得0(-3)2+42=5,sina'.故选D.

2.D嫦娥五号绕月飞行的半径为400+1738=2138（千米），所以嫦娥五号绕月每旋转］弧度飞过

的路程为较2138~^X2138=2238（千米）.故选D.

3.A由诱导公式可得m=tan（57i+a）=tana.

所以sin(a-3Tt)+cos(7T-a)_-sina-cosa_tana+l_zn+l故选、

sin(-a)-cos(ir+a)-sina+cosatana-1m-1

4.D㈤*鬲=罢善=")/0-兀川,.../)是偶函数,排除A、

•lr、,3n|.3n

cG)=s；1t)2：=；：¥<0,♦.•排除B.故选D.

"+1W+i

5.Avg+a)-(a-£)吟咤=管+。然

,.IT,7n5nTT

.-7C<a<—,.•--<—+ot<-——.

2121212

•/cos偿+a)=；,・，・sin偿+

.•.cos(a-£)=cos［管+a)—柒sin管+a)=一手.故选A.

6.A因为(sin8+cos^)2=sin20+cos2^+2sinOcos生高，所以2sin夕cos9=

.因为夕£(―；彳)，所以^<0,cos<9>0,所以sin仇cosOvO.易得(sin9-cos^)2=sin26/+cos2^-

2sin0cosG1+二之所以sin仇cos族■士.故选A.

993

7.B由题意得最小正周期丁=3兀,J°二与二泉

・\Ax）=2sin（|x+w）+L

•.D的图象关于点1）对称,.••尼）=2sinGX；+卬）+1=1,即sinQ+9）=0,

••.U+9=E,&£Z,即（p=：+kn,keZ.

66

,♦•M<5，，S=?..\Ax）=2sin（，-匀+L

令次ez,解得尸兀+1%兀次©2.当k=-l时产-，当^=0时产兀,.,.离原点最近的对称轴方程

为.故选B.

8.A.•&）在区间［讨］上单调，可吟黑，即7>y,

BP0<w<3.

a）3

直线X空是函数段）图象的一条对称轴.

；/（习=二/0）,二6,0）是函数/（幻图象的一个对称中心.

•••樗,专和&0）是函数於）图象相邻的对称轴和对称中心,•••§<甘若，解得所）

,/函数凡r）的最大值为2,.；*x）=2sin（2x+s）.

当户全时段）取到最大值2,

/•2x；^+9=；+2Z兀火wZ,・\9=^+2女兀火WZ.

\（p\<^,s=g..\Ax）=2sin（2%+詈

根据题意可知g（x）=2sin（x4-以，

，g（x）>l,即2sin（x+1）>1,即sin（%+

^+2kn<x+^<^-+2kn,keZ,解得?+2E<x<:2E#GZ.

.'..?（%）>1的解集是（一,+2Mt（+2Mr）,ZWZ.故选A.

9.BC735。-360味2=15。,故15。角与735。角的终边相同，故A中说法正确.

扇形的面积为:x^x32=*（cm2）,故B中说法错误.

21808

若a三，则2a《，不是钝角，故C中说法错误.

42

-?=-2兀+?,?是第二象限角,故--是第二象限角.故D中说法正确.

6666

10.CD由诱导公式知，当a£RB寸,sin（兀+a）=-sina,所以A错误.

当（攵£Z）口寸,cos（〃兀-a）=cos（-a）=cos氏此时cosa=1;

当〃=2Z+1（%£Z）时,cos（〃兀-a）=cos［（2Z+l）兀-a］=cos（兀-a）=-cosa,此时

cosa=-1,所以B错误.

若［丹（攵£Z）,贝ijtan（1+仇”二"?=笆瞋广工所以C正确.

2\2/cosg+a）-smatana

将等式sin«+cosa=l两边平方并化简，得sinacosa=0,故sina=0或

cosc=0.若sinc=0,则cosa=l,止匕时sin"a+cos"a=l.若cosa=0,则sinc=l,止匕时sin"a+cos〃a=l.故

sin"a+cos〃a=l,所以D正确.

故选CD.

1l.BDVcos^x-^=cosQ-x）=cos［；—^+x）卜in（x+；）,

,\/U）qsin（%+；）,故A不正确;函数/U）的最大值是，，故B正确;函数的最小正周期是2兀，故C

不正确;当xe（-烷）时/+2（沃）40j）,.♦.函数本）在（一屋）上单调递增，故D正确.故选

BD.

12.AC由题意得g(x)=sin03%-y4-9).飞㈤的最小正周期为

•••W=今解得＜w=2,.，.g(x)=sin(4x-y+0).：g(x)为偶函数,

-空+夕=左兀+^,%WZ,解得(p=kit+^-,kGZ,0＜夕＜兀,8=比,

3266

，g(x)=sin(4x-y+Y)=sin(4x-=-cos4x)/(x)=sin(2%+第.

当a,时,2x+詈2x?亲*.於)的图象关于信,0)对称，故A正确.

当xG(。，居)时“+詈金管号)，此时段)不是单调函数，故B错误.

g(x)>1,E|J-cos4x>1,...2%兀+詈*忘2也+詈,女£2,解得^71：+2三烂夫无+；,左£2,故C正确.

由/(x)=g仔)得sin(2x+D=-cos2r=sin(2x-1),；.2%+詈=2r-]+2Z兀①或2x+詈

=TT-(2X-])+2E②，显然①不成立,由②得x=>如代Z,(0,空),二犬三或广日或户十,I.在

(0,詈)上有且只有3个相异实根，故D错误.故选AC.

13.答案-5

解析出)=3,即sina+tano+a-l=3,故sina+tan〃+Q=4,故尸sin(-a)+

tan(-«)+(-tz)-1=-(sino+tan〃+。)-1=-4-1=-5・

14.答案|

解析将函数产sin(3%+{)+2的图象向右平移■个单位后得到的图象对应的函数解析式为

产sin,卜—•+外+2=sin(o)x+^—^o>^+2.

•••平移后的函数图象与原函数图象重合，

,与勿=2〃无(〃£Z),(w=-|〃(〃GZ),*/(y>0,ft)min=|.

15.答案?

4

解析由题图可知4=2.

设支‘；”=九则尤l+X2=2m.

由三角函数的性质可知2〃z+s=2E+/(%eZ),

2x2ku+小

(p^=2sin(4fot+7t-^)=2sin夕=鱼，左GZ,所以sins=?,.又所以

16.答案①②③

解析sinxNcosx=>xGE+2/CTT,*+2如（代2）,此时段）=5吊*6[—11];

sinx<cosx=%e（—空+2",；4-2/CTT）（攵CZ）,止匕时.*x）=cosx6（-1],所以函数人x）的值域为

[一当,1],故①正确.

由上述分析知函数/U）图象的对称轴为直线x=E+^,ZWZ,故②正确.

因为/U+2兀）=/□）,所以函数於）是周期函数，故③正确.

当％=>2h:或A2%兀伙WZ）时，函数段）取得最大值1,故④错误.

当xd（2E+71,2/CTT+引（ZGZ）时段）<0,故⑤错误.

sin(3Tr-a)cos(2ir-a)sin偿-a)_sinacosa(-cosa)

17.解析(1)/(«)=cosa.分)

cos(ir-a)sin(-n-a)-cosasina(5

C0S

(2)VQ+a)=-sina=-£,sina=|.(7分)

,•.a是第二象限角,.,•cosa=-竽.（9分）

/.y（a）=cosa=-誓.（10分）

18.解析（1）由题图可得A=1,?=白吟=：,所以7=兀,则①哼=2,所以火x）=sin（2x+s）.（2分）

因为於）的图象过点七,1）,所以2x色夕=；+2E伙GZ）,即8音+2E（ZdZ）,

又-卜夕<京所以夕三，（4分）

故Kx）=sin（2x+（5分）

（2）结合题中图象及函数的最小正周期可知,函数人x）的图象的对称轴方程为x=^+y（A:eZ）.（7

分）

令1+2也%+是+2亿Z£Z,得-*eZ,故函数於）的单调递

增区间为卜工+而三+司（26）.（9分）

（3）段）的图象向右平移g个单位得到y=sin[2-+小sin9x-§的图象，故g（x）=sin（x-三

（10分）

作产g（x）在替羽上的图象，如图所示：

因为g（x）=a-l在xw椁,羽上有两个不同的解，所以即*＜2.故实数a的取值范围是

修,2）.（12分）

19.解析⑴由题意胃吟即丁=兀,所以。手=2.（2分）

若选择①，因为函数/U）的图象向右平移行个单位后所得图象关于y轴对称，所以y=2sin[2（x-

限）+同=2sinb*-^+R）的图象关于y轴对称，所以（p-^=kn

项,七£Z,即中号+kn,kEZ.（5分）

因为I研与所以片?.所以於）=2542%-*（7分）

若选择②，因为y=j[x+]）=2sin[2（x+习+同=2sin（2x+1是奇函数，所以＞9=E,AGZ,即

s=q+E,%ez.（5分）

因为1例＜5,所以s=?.所以/（x）=2sin（2%-（7分）

若选择③,—%）=2sin[2x（x—千）+同=2sin卜%—4-g）.

由题意得2x工?+9=2①手々eZ）,即^=2^（A：eZ）.（5分）

因为1研＜今所以S=T.所以/（x）=2sin（2%-。（7分）

⑵当“q*用时，吗H-色，乳（9分）

所以当2吗=々,即广吟时，函数段）取得最小值，为-2.（12分）

20.解析（1）由题表得%）+8=0，¥/+8=兀,，勿=2,9=].（2分）

633

2%1-5=三,2尤2—=4,2用[=2兀，解得用=普/2=詈/3=?.（4分）

3232312126

由题表知A=2,."（x）=2sin（2x—（6分）

（2）由（1）知g（x）]/（羡+：）=2sinax（a＞0）.

当[-芸，时,axG卜等，罚.（8分）

•••g（x）在卜上是增函数,

...[一等，?卜卜]+2/nT（+2