2023年河北单招模拟试题及答案卷四(数学)

2023年河北单招模拟试题及答案卷四（数学）

一、选择题:本大题共12小题小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

.1—i1+z.、

1.---y+-----=（）

（1+D2（1）2

A.iB.—iC.-1D.1

、1

2,若函数/。）二面2%一5（元£1＜）,则/*）是（）

A.最小正周期为|的奇函数B.最小正周期为兀的奇函数

C.最小正周期为2兀的偶函数D.最小正周期为兀的偶函数

3.下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是（）

ABCD

4.设,E&=3.。八Q;则与p的值为()

1313

A.n=12,p=-B.几=12,p=-C.几=24,p=-D.几=24,p=一

4444

5.已知｛4｝是等差数列，q+%=4,%+/=28,则该数列前10项和51()等于

()

A.64B.100C.110D.120

6.下列函数图象中，正确的是()

7.过点A(0,3),被圆(x-l)2+y2=4截得的弦长为2小的直线方程是()

A.y=-1x+3B.x=0或y=-?+3

C.x=0aJ6y=1x-3D.x=0

8.如图，已知A3=a,AC=b,8D=3。。，用。力表示A。，则AO二()

3131131

A.ci4—bB.-aH—bC.-an—bD.-aH—b

4444444

22

9.椭圆G：?+4=1的左准线为/,左、右焦点分别为Fi,F2,抛物线C2的准线

为/,焦点是F2,G与C2的一个交点为P,则|PF2|的值等于

84

A.-B.-C.4D.8

33

10.三棱柱ABC-ABC：的侧面3CBB」底面ABC,且A,C与底面成45°角,AB=BC=2,

ZC,=90，则该棱柱体积的最小值为()

A.4夜B.3V2

C.2V2D.V2

11.定义在R上的函数f(x)满意f(4)=l,f，(x)为f(x)的导函数，已知函数y=f'(x)d

h+2

的图象如右图所示。若两正数a、b满意f(2a+b)<l,则一^的取值范

围是()

A.(|,1)B.(—oo,；)u(3,0C.(1,3)D.(-a),3)

12.已知全集会=出效田・•”},集合46都是〃的子集，当AcB={l曲8}时,

我们把这样的(力，8)称为“志向集合对"，那么这样的"志向集合对“一共有

()

A.36对B.6!对C.6’对D.36

对

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在答题卡的相应位置.

13.当x>2时，使不等式x+力2a恒成立的实数a的取值范围是—.

14.定义在［-2,2］上的偶函数/(x)，它在［0,2］上的图象是一条如图所示的线段,

则不等式/(x)+/(-x)>x的解集为.

22

15.如图,A、B、C分别是椭圆亍+/=1(a>b>0)的顶点与焦点，若NABC=90°,则

该椭圆的离心率为.

16.已知正四面体46⑶的棱长为1,球。与正四面体的各棱都相切，

且球心。在正四面体的内部，则球。的表面积等于.

三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、已知△ABC的面积为3，且满意0WAB.ACW6，设A8和AC的夹角为夕.

(I)求。的取值范围；

(II)求函数/(。)=2$山2但+。］-由8$26的最大值与最小值.

18、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都为2,D为CCi中点。

(I)求证：AB一面AiBD；

(H)求二面角A-AiD-B的大小；

(DI)求点C到平面AiBD的距离.

19、.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人巡游这三个景点的概率分别是

0.4,0.5,0.6,且客人是否巡游哪个景点互不影响，设£表示客人离开该城市时

巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的肯定值.(巡游的景点数可以为0.)

(I)求1的分布及数学期望；

(口)记"函数F(x)=x-3匕+1在区间［2,+8)上单调递增"为事务A,求

事务A的概率.

20、已知函数f(x)=§x、］x］-a?x(a>0),且f6)在x=x,,x=x：：时有极值，且

IXiI+1x2=2.

(I)求a、b的关系；

(n)证明:|b.

21、已知两定点一夜,0储(血,0)，满意条件席卜忖川=2的点P的轨迹是曲

线E，直线y=丘-1与曲线E交于AI两点，假如|AB|=6V§，且曲线E上存在

点Cl^OA+OB=mOC，求m的值和A4BC的面积S.

22、由函数片仆)确定数列｛m，力=4"),函数片/(»的反函数片尸(»能确定数列

｛〃｝,bn=f-\ri),若对于随意〃eN*,都有bn=an,则称数列｛d｝是数列｛为｝的''自

反数列”。

(I)若函数GA*1确定数列｛何的自反数列为｛与｝，求办；

x+1

1〃

(口)已知正数数列｛Q｝的前〃项之和Sn=~(Cn+—)。写出S表达式，并证明你的

2

结论；

-1

(m)在(I)和(H)的条件下，&=2,当〃22时，设dn=­v,2是数列｛帅的前

a凡

〃项之和，且Dn>\og式1-2团恒成立，求a的取值范围.

参考答案:

一、选择题：

CDBABCBBACCD

二、填空题：

13、(-8,4];14,[-2,1)；15、与。c71

16、y

三、解答题：

17、解：（I）设△ABC中角AB,C的对边分别为a,b,c,

则由;〃csin8=3,OW〃ccosOW6，可得OWcoteWl,

nit

：.0e一,一4

42

(H)/(6)=2sin2色+6—GCOS26=1-cos-+2(9-73cos20

(4JL(2)\

=(1+sin20)-\/3cos20

=sin2^-5/3cos2^+1=2sin(2^--j+1..............6

口牌126手［常

，2W2sin(2e—?+lW3...................8

SjrJr

即当心不时，/⑹2=3；当8=1时，

/⑹min=2...............................10

18、解：解法一：（I）取8。中点。，连结AO.

△ABC为正三角形，二AOLBC.

正三棱柱ABC-AgG中，平面ABC±平面BCC,g,

AO_L平面BCG耳2

连结4。，在正方形B4GC中，O,。分别为

BC,CG的中点,

BtOA.BD,

AB{_LBD.

在正方形ABBA中，A4，43,

AB]_L平面

A.BD..................................................................

.............4

(H)设A4与AB交于点G,在平面ABO中，作Gf_LA。于尸,连结AR,

由(I)得Ag，平面ABO.

AF,

・•・NAFG为二面角A-A,D-B的平面角.

在△A4Q中，由等面积法可求得4尸=半，

又AG=1AB,=72,

..AG_V2_V10

..sin/AFG==—产=

AF4754

所以二面角A-AtD-B的大小为

Vio

arcsin..................................................8

4

=1

(m)△AB。中，BD=%D=6AB=25：.S2=&＞，^CD-

在正三棱柱中，4到平面BCGg的距离为6-

设点c到平面48。的距离为d.

由V^-BCD=^C-A,BD得力S&BCD~氯1

0

.d—6s△BCD_

S&ABD2

.•.点。到平面48。的距离为

V2

12

2................................................

解法二：（I）取3。中点。，连结4。.

△ABC为正三角形，二AO1.BC.

在正三棱柱A8C-G中，平面ABC±平面BCC.B,,

.•.AD_L平面BCC|B1.

取dG中点。一以。为原点，0B,00,,Q4的方向为x,y,z轴的正方向建

立空间直角坐标系，则8(1,0,0),D(-LLO),A(0,2,g),A(0,0,百),

g(1,2,0)...............3

"4=(1,2,-扬，BD=(-2,1,0),期=(-1,2,扬.

做・3。=-2+2+0=0,做・％=-1+4-3=0,

AB,LBD.AB,，朗.

二.J_平面...................................5

(n)设平面4A。的法向量为"=(X,y,z).

AO=(-1,1,-石),胡=(0,2,0).

n±AD,n_LA4,,

n»AD=0,—x+y—百z=0,y=°，

iuAAt=0,=0,[x=-\/3z.

令z=1得〃=(-73,0,1)为平面A.AD的一个法向量.

由(I)知人耳，平面A8D,

A4为平面A}BD的法向量.

n*AB,—A/3—\[3y/6

cos<n,AB,>=-i-4=—~~7=-=--.

|4|AB,|2.2V24

二面角A-AiD-B的大小为

卡a

arccos——..............................................9

4

(m)由(n),4月为平面48。法向量，

3C=(-2,0,0),M=(1,2，-我.

二点c到平面AtBD的距离

远一三....................

19、解：(I)分别记"客人巡游甲景点"，"客人巡游乙景点"，"客人巡游丙景点"

为事务Ai,A2,A3.由已知Ai,A2,A3相互独立,P(A>)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)

=0.6.

客人巡游的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有巡游的景点数的可

能取值为3,2,1,0,所以J的可能取值为1,3.

P(J=3)=P(ArA2-A3)+P()

=P(A.)P(A2)P(A3)+P(QP(4)嗝))

=2x0.4x0.5x0.6=0.24,.....4413

P(^=1)=1-0.24=0.76.p0.760.24

所以J的分布列为E^=lx0.76+3x0.24=1.48...............8

39

(U)解法-因为小)=。-产+1-9

所以函数/(x)=%2-3夕+1在区间|4+8)上单调递增，

34

要使/(x)在[2,m)上单调递增，当且仅当'J42,即

4

从而P(A)=PC<-)=PC=1)=0.76.12

解法二：J的可能取值为1,3.

当&=1时，函数/0)=Y-3九+1在区间⑵物)上单调递增,

当4=3时，函数/(x)=X2-9X+1在区间［2,+W)上不单调递增,

所以P(A)=/>(4=1)=0.76.

20、解:(I)由题意知f'(x)=ax,+bx-才，且f(x)=0的两根为xKX2.

b

...Xi+X2=-TXiX=-a

d2

47>0.,.Xi,Xa两根异号

IXi|+IX2|=|X2-XlI

.1.(Xi1+1X21)'=(X2+X1)2-4X1X2=4.

~b

2

a)+4a=4.

.-.b2=(4-4aH......................................................................5分

(n)由⑴知b?=(4-4a)a2>0,H0<a<l

令函数g(a)=(4-4a)a-=-4a3+4a2(0<a<l)

3

,-

gxa2

2

令g'(a)=0.'.ai=0,a2=j.

22

函数g(a)在(0，w)上为增函数,1)上为减函数.

216

aX-1\=--

g(3727

16

<--

-27

迤

<分

-912

21、解：由双曲线的定义可知，曲线E是以月（-夜,0）,月（四,（））为焦点的双曲线的左

支，

且」=&,。=1,易知）=1

故曲线E的方程为f一V=i（x＜0）............................3

V=—]

设，由题意建立方程组,，-2

x-y=1

消去y，得（1—二）/+2乙一2=0

又已知直线与双曲线左支交于两点A3,有

1-&2Ho

A=（2JI）2+8（1-）12）>0

-2k八解彳导_及＜左＜_15

X+X=------7<0

'9-i-k2

-2

X.X.=------7>0

1-l—K

2

又；\AB\=yjl+k.-jx1-x2\=Jl+公.Ja+4）~-452

2J巧（2--

\M）2

依题意得2（l+BGE=6打整理后得28/-55公+25=0

\（一]

.•"2=1或Z2=：但—0<%<—1...%=一苧

故直线AB的方程为

^-x+y+l=0..........................................................7

设C（Xc，/），由已知O4+OB=〃?OC,得（玉,）|）+（赴,%）=（小.，山）

A|+A?

：\mxc,myc）=f,,（加工0）

\mmj

2kr—2k22

又玉+%2=^77[=一4>/5,^,+y2=/：（xl+x2）-2=-^—j--2=p—j-=8

5£

，点c

mtn

k)9

2f）64

将点。的坐标代入曲线E的方程，得g-二=1

nTm

得加=±4,但当加=T时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

・,・加=4,。点的坐标为（-6,2）

。到45的距离为¥*(-灼+2+1

」.AABC的面积

S=-x65/3x—=^3