浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题（含解析）

丽水发展协作体2022-2023学年上学期期末考试高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】由得：，即，又，.故选：C.2.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的概念以及复数的乘法运算，即可得答案.【详解】因为，所以，则，故选：B3.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的模的运算求解.【详解】解：因为向量，所以，解得，所以，故选：C4.已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解.【详解】解：设圆锥的母线为l，由题意得，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将本书排序，然后将本语文书插入中间个空，所以，同一科目的书都不相邻的概率是.故选：A.6.将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】由题有，据此可得答案.【详解】由题有，则，得，结合，得.故选：B7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先比较的值，然后构造新函数利用函数导数与单调性比较即可.【详解】因为，所以，所以，设，则，令，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，因为，所以，即，由函数在上单调递增，所以，即，所以，故选：D.8.将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.【详解】不妨设菱形的边长为，，，外接球半径为，内切球半径为，取中点为，连接，因为，所以，当平面平面时，平面平面，平面，所以平面，此时四面体的高最大为，因为，所以所以，，令解得，令解得，所以在单调递增，单调递减，所以当时最大，最大体积为，此时，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，则有解得，所以，所以外接球的表面积为，又因为，所以，，所以，所以，所以，所以内切球的表面积为，所以内切球和外接球表面积之比为，故选:C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知正方体是中点，则（）A.面 B.C. D.平面【答案】BC【解析】【分析】与平面相交于点，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项D.【详解】与平面相交于点，故选项A错误；,面面面,故选项B正确；连接,为等边三角形，为中点，,,则故选项C正确；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.故选：BC.10.已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数对称中心为 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据奇函数的定义与性质逐项分析判断.【详解】令对A：可以认为是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误；对B：若为定义在上的奇函数，则，B正确；对C、D：若为奇函数，则，即，得，令，得，但无法确定与是否相等，C错误；令，得，D正确；故选：BD.11.抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点A在第一象限），，则下列说法正确的是（）A.最小值为4B.有可能是钝角C.当直线的倾斜角为时，与面积之比为3D.当直线与抛物线只有一个公共点时，【答案】ACD【解析】【分析】设直线方程为，联立抛物线方程得根与系数的关系，利用抛物线弦长公式可判断A;利用向量的夹角公式计算，可判断B;求得，根据与面积之比为，可判断C;利用直线和抛物线相切，求出切线斜率，求出切点，继而求得l的方程，可得B点坐标，即可求得，判断D.【详解】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点,对于A，由题意知l的斜率必存在，设直线方程为，设，联立，则，，则，则，故，时取等号，即最小值为4，A正确；对于B，，故，则，即不可能是钝角，B错误；对于C,当直线的倾斜角为时,直线方程为,由A的分析知即，解得，又与面积之比为，C正确；对于D，因为点A在第一象限，当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线一定相切，直线的斜率存在，设直线的方程为，所以由，得到，故，又因为点A在第一象限，所以，则，则即，解得，故，此时直线的斜率为，即直线的方程为，此时,所以，故D正确．故选：．【点睛】方法点睛：解答此类关于直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法是设直线方程，要注意直线的斜率是否存在情况，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系结合题设等条件进行化简，关键是要注意计算量较大，很容易出错.12.已知为自然对数的底数，设，则下列结论正确的是（）A.当时，既有极小值又有极大值B.当时，只有极小值无极大值C.当时，既有极小值又有极大值D.当时，只有极小值无极大值【答案】BC【解析】【分析】分别求时，导数，即可得极值情况.【详解】对于AB选项，当时，，则，令，则，得在上单调递增，又，，则，故，结合在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，故此时在时有极小值无极大值；对于CD，当时，，则，注意到，令，则，得在上单调递增，又，则.结合和函数均在上单调递增，则当在上单调递增，当在上单调递减，当在上单调递增.故在时取得最大值，在时取得最小值，故C正确.故选：BC非选择题部分三、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为__________.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案.【详解】由题意的展开式的通项为，令，故展开式中常数项为，故答案为：6014.已知圆与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程相减求得公共弦的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法即可求得.【详解】将圆与圆的方程相减，即得的方程为，则的圆心为，半径为，则到直线的距离为，故，故答案为：15.若函数的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，.若函数上存在两条切线垂直，则存在、，使得.故答案为016.已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设，求出坐标，根据可得，把代入椭圆方程得，根据的范围可得答案.详解】设，，则，因为，所以，可得，由可得，两式相减可得，因为上存在不同的两点，且，所以，解得，又，所以.故答案为：.四、解答题：本题6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且.（1）求；（2）求数列前项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法可求得.【小问1详解】，①当时，，②①②得又，故.【小问2详解】因为，所以，所以，③，④③④得：即即.18.已知锐角内角的对边分别为.若.（1）求；（2）若，求的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将化为有关边长的条件，再利用余弦定理可得答案；（2）利用正弦定理得到，则.后利用结合A的范围可得答案.【小问1详解】由正弦定理，又，得；小问2详解】因为，所以，，因为三角形为锐角三角形，所以，解得，令，所以，所以.19.已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折得到四面体，且.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题干数据，先可以证明面，然后利用等体积法求距离即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.【小问1详解】由题意可得，又，面，故面.设点到平面的距离为，利用等体积法：，所以解得；【小问2详解】以点为原点，为轴，为轴，过平行与的射线为轴建立空间直角坐标系，，，，.设平面法向量为，平面法向量为，，取则，故为平面的一个法向量；，取则，故为平面的一个法向量；，结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角的余弦值为，该角大小为.20.为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.（1）判断是否有的把握认为性别与玩手机游戏有关联；（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为，求的分布列、数学期望和方差.附：，其中.【答案】（1）有的把握认为性别与玩手机游戏有关联（2）分布列见解析，数学期望为，方差为【解析】【分析】（1）由题意得到列联表，再根据里面的数据求得，与临界值表对照下结论；（2）由题意得到经常玩手机游戏的频率为，再根据随机变量服从求解.【小问1详解】解：列联表如下：不玩手机游戏玩手机游戏合计男6040100女9010100合计15050200有的把握认为性别与玩手机游戏有关联.【小问2详解】由题意可得，经常玩手机游戏的频率为，则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为，随机变量的所有可能取值为由题意可得，，故的分布列为：0123故.21.已知为双曲线左右顶点，焦点到渐近线距离为，直线上一点与点连线与双曲线右支交于另一点，点与点连线与双曲线右支交于另一点D.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线是否经过定点？若是，求出该定点.【答案】（1）；（2）经过定点，定点坐标为.【解析】【分析】（1）由题意即可得到答案（2）设出，直线，联立直线与双曲线方程得到关于的韦达定理，由三点共线得，三点共线，得，化简得到，即可得到答案.【小问1详解】依题可知，双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即双曲线方程为.【小问2详解】设，直线，由得，所以又三点共线，则①，三点共线，则②，联立①②得，化简得，即（*）将，，代入（*）式化简得.所以，即直线是否经过定点.22.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若为方程的两个不相等的实根，证明：（i）；（ii）.【答案】（1）（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合值可得切线方程；（2）（i）所证不等式可化为，令，利用导数可求得单调性，进而得到，从而证得结论；（ii）根据（i）中结论，知与的交点为，得到，从而可知只需证得即可，又与的交点为，则需证得，构造函数，利用导数可求得