内蒙古呼和浩特市2022-2023学年高三上学期质量普查调研考试文科数学试题（含解析）

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其他答案标号，写在本试卷上无效.3、答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，用交集运算法则即可求得.【详解】由集合解得，，又集合，所以.故选：D2.若，则下列说法正确的是（）A.复数z的模为 B.C.复数z的虚部为－i D.复数z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘除运算可化简得，即可结合选项逐一求解.【详解】由得，所以，故A错误，，故B正确，复数z的虚部为1，故C错误，复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D错误，故选：B3.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－5，m），且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义先求出的值，从而求出的值，再由二倍角公式化简然后代入即可得出答案.【详解】角终边经过点，且，所以角的终边在第三象限，则.，解得,所以，.故选：C4.已知，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得，再求出，代入公式即可求解.【详解】因为，所以，又，，所以，设与的夹角为，所以，所以.故选：B.5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质和对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：C6.数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可.【详解】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列，所以，关于的二次函数，开口向下，对称轴，所以当时，最大，即数列的前项和最大，故选：.7.已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可.【详解】由题可知，双曲线渐近线为，则右焦点到渐近线距离为，所以，故选：A．8.小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（）A.20米 B.米 C.米 D.25米【答案】A【解析】【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.【详解】设教学楼的高度为，在直角三角形中，因为，所以，在直角三角形中，因为，所以，所以，在中，由余弦定理可得，代入数值可得解得或（舍），故选:A.9.已知函数称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，如图，则输出的S值为（）A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】【分析】根据程序框图的运行过程，得出输出结果是累加计算得S的值.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选：D10.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，所以切线方程为，即.故选：D11.已知函数，则“”是“对恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的图象和性质，求出“对恒成立”的的取值，再根据集合的包含关系判断选项.【详解】若对恒成立，则解得，是的真子集，所以“”是“对恒成立”的必要不充分条件.故选:C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．12.定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且，，则的值为（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得函数是周期为3的周期函数，进而可得，，结合函数的对称性可得，进而可得的值，根据周期性即一个周期内的和，即可得答案．【详解】解：根据题意，满足，则，故，即函数是周期为3的周期函数，则，,又由函数的图象关于点成中心对称，则，进而有，则有，则.故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足，则的最大值是______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中点，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点A时，纵截距最小，z最大，则，所以的最大值是4.故答案为：414.已知圆C与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】设已知圆的圆心为，可得、、共线，故圆心在直线上，设所求的圆的圆心为，又所求的圆过点，可得圆心还在直线上，故可得圆心坐标为，求得半径的值，可得圆的方程．【详解】解：圆，即：，故圆心．根据两圆相切于原点，可得、、共线，故圆心在直线上，设所求的圆的圆心为，又圆过点，又过原点，故圆心还在直线上，故，半径为，故圆的标准方程为：，故答案为：．15.函数的部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的序号为______.①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③若且，则；④的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到的图象，若图象的一个对称中心是，则θ的最小值为.【答案】①③④【解析】【分析】根据函数的零点，结合正弦型函数的对称性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】因为，所以由正弦型函数的周期公式可知：，即，由，因为，所以令，所以，即.因为的最小正周期为，所以①正确；因为，所以的图象不关于直线对称，因此②不对；因为，所以关于该函数的一条对称轴对称，令，因为，所以令，即对称轴为：，，所以③正确；因为的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到的图象，所以，因为图象的一个对称中心是，所以，因为，所以当时，θ的最小值为，因此④正确，故答案为：①③④【点睛】关键点睛：根据函数经过的零点求出函数的解析式是关键.16.已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，过点作，垂足为，因为，且，所以，又，所以，在中，因为，所以，，则，所以，设，则，又，所以，则，即的取值范围是，故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．17.在梯形中，，，，．（1）求的值；（2）若的面积为4，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理即可直接求解；（2）由已知结合和差角公式及三角形面积公式可先求，然后结合余弦定理可求．【小问1详解】解：在中，，，由正弦定理得，则；【小问2详解】解：因为，为锐角，所以，所以，又为锐角，所以，因为，所以，由余弦定理得，所以．18.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项之和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，得到，两式相减求得，得到即，验证适合上式，即可求解；（2）由（1）得到，结合裂项法求和，求得则，即可证得．【详解】（1）因为，当时，可得；当时，可得，两式相减得，即，显然适合上式，，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，则，因为，所以，即．19.用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留农药量与本次清洗前残留农药量之比为．（1）试确定的值，并解释其实际意义；（2）试根据假设写出函数应满足的条件和具有的性质；（至少3条）（3）设，现有个单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；【解析】【分析】（1）由表示未清洗的意思，从而得解；（2）结合题干信息可得和及的范围，单调性等；（3）分别计算两种方式的农药残留量，进而作差比较大小即可.【小问1详解】解：，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．【小问2详解】解：由题知，函数应该满足的条件和具有的性质是：；在上单调递减；．【小问3详解】解：设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为，所以，；所以，当时，，故清洗两次后残留在农药量较少；当时，，故两种清洗方法具有相同的效果；当时，，故一次清洗残留的农药量较少．20.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，令，利用导数说明的取值情况，即可得到的单调性；（2）令，问题转化为与的图象有两个交点，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的取值范围即可．【小问1详解】解：当时，，则，令，则，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，又，，且当时，，则，所以当时，当时，即当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】解：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于方程有两个不同的解，当时，方程不成立，所以，令，，则与的图象有两个交点，又，令，解得或，令，得或，所以在，上单调递增，在，上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为，且当时，，所以取值范围是．21.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆C的方程；（2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，是否为定值？并说明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程；（2）设，，，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可．【小问1详解】设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以．因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为．【小问2详解】设，，，，直线的方程为，与椭圆联立，得，因为直线交椭圆于，两点，所以，所以，，所以．直线与直线的交点的坐标为，则．设，则，所以，即为定值.选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的参数方程；（2）设圆与直线交于点，求弦长【答案】（1）（为参数）；（2）.【解析】【分析】（1）先将圆的极坐标方程化为普通方程，并化为标准方程，确定圆心和半径，即可写出圆的参数方程；（2）将直线的参数方程与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出.【详解】（1），．所以，圆的直角坐标方程为，即，所以，圆的参数方程为（为参数）；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，设两交点所对应的参数分别为，则，.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意