贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高三上学期期末监测考试数学（文）试题（含解析）

贵阳市普通中学2022-2023学年度第一学期期末监测考试试卷高三文科数学2023.1注意事项：1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3．考试过程中不得使用计算器．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求集合B中函数的定义域，得到集合B，再求.【详解】函数有意义，则有，即，，又，则.故选：D2.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定形式，全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，命题，则是.故选：A.3.若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出立体图形即可得到答案.【详解】根据其三视图还原出其立体图形如下图所示，易得其为五棱柱，故选：C.4.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器．它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴．某公司为了研究某机器人的销售情况，统计了2022年2月至7月M，N两店每月该机器人的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图，则下列说法中不正确的是（）A.N店营业额的平均值是29 B.M店营业额的中位数在内C.M店营业额的极差比N店营业额的极差小 D.M店营业额的方差大于N店营业额的方差【答案】D【解析】【分析】对A，计算N店营业额的平均值即可判断，对B首先店的营业额从小到大排序，即可计算出其中位数，对C，计算相关数据极差即可判断，对D首先计算出M店营业额的平均值，再计算M店和N店营业额的方差即可判断.【详解】对于A，N店营业额的平均值是，所以A正确；对于B，将店的营业额/万元，从小到大排列得14,20,26,36,45,64，故其中位数为，故B正确；对于C，店营业额极差为，店的极差为，故C正确；所以B正确；对于D，M店营业额的平均值是，所以M店营业额方差为店营业额的方差为,故D错误，故选：D．5.若等轴双曲线的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先双曲线方程化简得，即可求解渐近线方程，根据焦距即可求出焦点坐标，则可计算焦点到渐近线距离.【详解】由题可知，双曲线方程化为，∴渐近线方程为.又，则，故焦点坐标为，取其中一个焦点坐标和一条渐近线方程，即∴一个焦点到一条渐近线的距离为.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C、D项，，所以排除B项．故选：A7.已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中线面、面面、线线位置关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，，，则或、相交，A错；对于B选项，若，，，则或、异面，B错；对于C选项，由于，，可得或，若，因为，则，若，过直线作平面，使得，则，因为，则，，因此，，C对；对于D选项，若，，，则或、相交（不一定垂直），D错.故选：C8.已知正项等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据条件得到关于的方程，解出，则可得到等比数列通项和其前项和，一一代入判断即可.【详解】设等比数列的公比为，由题得，即，代入得，化简得，解得或（舍去），故，则，所以，对A，，故A正确，对B，，故B错误，对C，，故C错误，对D，，故D错误，故选：A.9.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（）A.对应的点位于第二象限 B.为纯虚数C.的模长等于 D.的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：，为纯虚数，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.故选：D.10.定义在R上的奇函数，满足，当时，则（）A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】依据题意可知函数的周期为4，所以，代入到相关解析式即可.【详解】因为是奇函数，所以，则，所以，故是以4为周期的周期函数，则.故选：B.11.若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，求出直线的斜率，可得出直线的斜率.【详解】圆的标准方程为，圆心为，将直线的方程变形为，由得，故直线过定点，如下图所示：当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，因为，则直线的斜率为.故选：B.12.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，由，可得，则直线与函数的图象有三个公共点，利用导数分析函数的单调性和极值，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】当时，无零点，所以.由，可得，令，其中，因为函数有三个零点，所以直线与函数的图象有三个公共点，，由，可得或，列表如下：减极小值增极大值减如下图所示：由图可知，当，即时，直线与函数的图象有三个公共点，即有三个零点，所以实数的取值范围为.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量，，则_________．【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】因为，，则，因此，.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，角以O为顶点，轴为始边，的终边与单位圆O相交于第四象限的点；角的终边是将角的终边绕点O逆时针旋转所得，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】首先计算出，再利用两角和与差的正切公式即可得到答案.【详解】由题意得，而，故.故答案为：.15.已知数列满足，若，则__________．【答案】【解析】【分析】法一：由递推式，结合依次求出即可；法二：构造数列，证明其为等差数列，即可求出.【详解】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由题得，则等式两边同取倒数得，则，，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则，故答案为：.16.设点是棱长为的正方体表面上的动点,点是棱的中点,为底面的中心,则下列结论中所有正确结论的编号有______________．①当点在底面内运动时,三棱锥的体积为定值;②当点在线段上运动时,异面直线与所成角的取值范围是;③当点在线段上运动时,平面平面;④当点在侧面内运动时,若到棱距离等于它到棱的距离,则点的轨迹为抛物线的一部分.【答案】①③④【解析】【分析】对于①,根据点到平面的距离即为点到平面的距离为即可判断;对于②,异面直线与所成角即为直线与所成角,转化为在中,与所成角即可判断;对于③,根据为底面的中心和正方体的性质,证明得平面即可得到结论;对于④,点在侧面内运动时,根据平面,则到棱的距离等于的距离,结合抛物线定义即可判断;【详解】对于①,当点在底面内运动时,点到平面的距离即为点到平面的距离为,则,故①正确;对于②,如图:点在线段上运动时,因为,所以异面直线与所成角即为直线与所成角.因为,所以为等边三角形,当点在线段的中点时,,即直线与所成角为,当点向两个端点运动时,直线与所成角越来越小,当点与点或点重合时,直线与所成角为,所以直线与所成角的取值范围是,即异面直线与所成角的取值范围是,故②错误;对于③,如图:为底面的中心,,平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,平面平面,故③正确;对于④,点在侧面内运动时,平面,到棱的距离等于的距离,到棱的距离等于它到棱的距离即为点到的距离等于点到棱的距离,根据抛物线的定义,又点在侧面内运动,点的轨迹为抛物线的一部分.故答案为:①③④.三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在2022年9月贵阳市疫情防控期间，某学校高一学生居家学习，为了解学生的自主学习状况，随机抽取了该年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）平均每天白主学习时间的数据（单位：分钟），并分组整理得到如下频率分布表：组别分组频数频率40.110sn0.380.2mt（1）学校要进一步研究学生自主学习时间与学业成绩的相关性，在这5组内的40名学生中，用分层抽样的方法再选取20人进行对照研究，求从组中抽取的人数；（2）在（1）的条件下，从组和组所抽取的学生中再随机抽取两人做一个心理测试，求所抽两人中至少有一人来自于组的概率，【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）首先利用分层抽样的特点及表中数据求出的值，则可求出从组所抽人数；（2）分别求出在从和组所抽人数，再列出所有基本事件和满足条件的结果，即可得到概率.【小问1详解】由已知得,所以,因此,利用分层抽样,设从组所抽人数为,则有,所以从组所抽人数为3.【小问2详解】由(1)知,在组中抽取的人数为,在组中抽取的人数为,记从组中抽取的学生为,从组所抽取的学生为.从这6人中抽取2人的所有基本事件有:,，共有15个基本事件,满足条件的结果为,共有9个基本事件,所以所求概率为:,即所抽两人中至少有一人来自于组的概率为.18.已知平面四边形中，，若，的面积为．（1）求的长；（2）求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）周长的最大值为【解析】【分析】（1）由的面积求得，再由余弦定理求的长；（2）与已知，由余弦定理求的最大值，即可得四边形周长的最大值．【小问1详解】在中，由题意有，解得，又由余弦定理得，所以．【小问2详解】，，设，四边形周长设为，则，由题可知，，在中，由余弦定理得(，则所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即四边形周长的最大值为19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥与四棱锥的体积比.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证该直线垂直于平面内的两条相交直线即可；（2）不妨设，由体积公式得，再根据等积转换得求比值即可得解.【详解】（1）因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点所以，所以平面.（2）设，，，所以20.已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点．（1）求的值，并求点轨迹的方程；（2）若过点的直线交轨迹于、两点，求面积的最大值．【答案】（1），轨迹的方程为（2）【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可求得的值，结合椭圆的定义可得出轨迹的方程；（2）分析可知直线不与轴重合，设的方程为，设点、，将直线的方程与轨迹的方程联立，列出韦达定理，根据三角形的面积公式、韦达定理结合基本不等式可求得面积的最大值.【小问1详解】解：圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得，所以，，故点轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆，设轨迹的方程为，则，可得，因为，则，因此，轨迹的方程为.【小问2详解】解：若直线与轴重合，直线、、三点共线，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故面积的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知函数．（1）求函数的零点和极值；（2）若对任意，都有成立，求实数a的最小值．【答案】（1）零点为1；极小值为，无极大值（2）1【解析】【分析】（1）令，可得零点，由导数大于0，可得单调递增区间；导数小于0，可得单调递减区间，进而得到极小值无极大值；（2）对分进行讨论，讨论的最值或范围，即可得到的最小值为1.【小问1详解】依题意，因为，所以，令，解得，即零点为1；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处，取得极小值，无极大值；【小问2详解】由（1）知为极小值也为最小值，当时，，当时，，若，令，，则，由于，所以，显然不符合题设要求；当时，，由，所以，当时，对任意，都有成立；综上可知，的最小值为1.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求单调区间，极值和最值；考查了零点的求法，不等式成立问题的解法.注意运用转化思维与函数的单调性，对运算能力与分析转