单像空间后方交会

单像空间后方交会测绘学院成晓倩1概述1.1定义利用一定数量的地面控制点和对应像点坐标求解单张像片外方位元素的方法称为空间后方交会。1.2所需控制点个数与分布共线条件方程的一般形式为：[ a(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)X-X=-f S 1 s 1 0a(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)3 SV^3,7r7STOC\o"1-5"\h\za(X—X)+b(Y—Y)+c(Z—Z) (1)y-y=-f s 2 s 2 s_0Ja(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)七 3 S3 S3 S式中包含有六个外方位元素，即Xs、Ys、Z$、平、①、K，只有确定了这六个外方位元素的值，才能利用共线条件方程真正确定一张像片的任一像点与对应地面点的坐标关系。个数：对任一控制点，我们已知其地面坐标(X、Y、Z)和对应像点坐标(x、y)，iii ii代入共线条件方程可以列出两个方程式，因此，只少需要3个控制点才能解算出六个外方位元素。在实际应用中，为了避免粗差，应有多余检查点，因此，一般需要4〜6个控制点。分布：为了最有效地控制整张像片，控制点应均匀分布于像片边缘，如下图所示。分布合理分布合理分布不合理分布合理分布合理分布不合理由于共线条件方程是非线性的，直接答解十分困难，所以首先将共线方程改化为线性形式，然后再答解最为简单的线性方程组。2空间后方交会的基本思路

2.1共线条件方程线性化的基本思路在共线条件方程中，令(2)TOC\o"1-5"\h\zX=a(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)_ 1 S1 S1 S(2)Y=a(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)_ 2 S 2 S 2 SZ=a(X-X)+b(Y-Y)+c(Z-Z)3 S 3 S 3 S则共线方程变为一X一X一一z-y__z

==

xoyo

--

xy<(3)对上式两侧同乘Z，并移至方程同侧，则有fX+(对上式两侧同乘Z，并移至方程同侧，则有fX+(x-x)Z=0fY+(y-y°)Z=0(4)Fx=fX+(x-x)ZFy=fY+(y-（5）由于上式是共线方程的变形，因此，Fx、Fy是Xs、Ys、对Fx、Fy分别按泰劳级数展开，并且只保留一次项，Fx=(Fx)o+-8FxAXFx=(Fx)o+-8FxAX+8FxAY8X s8Y s坦ax+亟AY8Xs s8Ys sFy=(Fy)o+dFx 6Fx人 6Fx人 dFx. az+ A中+ Am+ AkS 评 揶 8kdFv 8Fv 8Fy A—-A^+—-Am+—-Ak解 施 8k+ 8Z竺AZs+（6）式中，（Fx）o、（Fy）o分别是Fx和Fy的初值;8Fx

8•8Fy皆分别是Fx和Fy对各个夕卜方位元素的偏导数;AXs、A-、AZs、a甲、a①、△K分别是XS、YS、ZS、平、m、K初值的增量。的增量。为了明确（6为了明确（6）式中常数项的意义，对（6）1式两侧同乘以-=，则Z1 1.dFx 1.dFx 1.dFx.-=(Fx)o+(-顼^^AX+(-1 1.dFx 1.dFx 1.dFx.-=(Fx)o+(-顼^^AX+(-=)^^A^+(-=)^-AZ

Z ZdX sZdYsZdZ ss s s,1、dFx、 ,1、dFx、 ,1、dFx.+(-=)—A中+(-=)—A①+(-=)—AkZd中 Zd① ZdK1 1 1dFy 1dFy 1dFy-Fy=-=(Fy)o+(-)_LAX+(-)—yAY+(-)yZZ ZdX sZdYs-ss1 dFy 1 dFy 1 dFy+(-)—A^+(-)二A①+(-)—AkZ d中 Z d① Z dK考查(7)式中的常数项，有- AZZdZ ss1 1。― 一 。X一ZFx)o=-*fx+(xEZ]=-[(xE-(-勺)]=—[(x—x)—(x—x)]=—(x—x)(7)(8)式中x是像点坐标的观测值…计是由相应地面坐标和外方位元素初值计算出的像点坐标。这样（7）式中的常数项就有明确的意义，即为像点观测值和计算值之差。同样也可以得到，1 1。一 一 。Y-=(Fy)o=-=[fY+(y-y)Z]=-[(y-y)-(-f=)]

Z Z 0 0Z=-[(y-yo)-(y计-yo)]=—(y-y计)现将(7)式改写为fv=a AX +a AY +a AZ +a A甲+a A①+a Ak-1Jx11s12s13s14 15 16 xv=a AX +a AY +a AZ +a A甲+a A①+a Ak-1y21s22s23s24 25 26 y(9)(1o)式中，v、v为残差；a为系数；AX、AY、

xy ij ssAZ$、A甲、A①、Ak是待求值，1dFx1dFya—a—— 11ZdX21ZdX1dFx1dFya—— a——■=■ 12ZdY22ZdY1dFx1dF§a——— a—————13ZdZ23ZdZ1dFx1dFya——= a——=—-14Zd中24Zd中1dFx1dFya——= a——=—-15Zd①25Zd①1dFx1dFya——= a——=—-16ZdK26ZdKl—x-xl—y-yx计y计是像点观测值和计算值之差。与（7）式相比较，显然有式（1o）就是以外方位元素增量为待求值的共线条件方程线性化公式，(1oa)也称误差方程式。要得到完整的线性化形式，关键是求各个系数j而求。司的关键是求出Fx、Fy对各个外方位元素的偏导数。如何求偏导数，将在共线方程线性化部分介绍。2.2答解外方位元素的基本过程每个控制点都可以按（10）式列出两个误差方程式，n个控制点可列出2n个方程，用矩阵形式可表示为：V矩阵形式可表示为：V=AX-L式中「1V=V1 V2V2 --VnVn-T；xy xyxya111a112…a116A=a121a211a221:a122a212a2:22a126a216a2•.26；an11an12an16an21an22•-an26X=Ax「AYs sAZs△甲AsAkJ；L=11111212…]]}lnln-。xyxyxy（11）如果能答解这2n个方程构成的方程组，则可得到外方位元素的增量。具体的求解过程应是一个迭代过程：（1） 给出外方位元素的初值，Xs。、J。、Z$。、甲0、S0、K0；（2） 对每个控制点计算误差方程式系数«和/、l，从而按（10）式组成误差方程式；ijxy（3） 答解线性方程组，得到每个外方位元素的增量AX^、△*、AZ$、△平、加、Ak；（4） 将增量和初值相加，得到新的外方位元素值；（5） 各个增量是否小于规定的限差？若是，则停止迭代运算；若不是，则将新外方位元素值作为初值重复（2）〜（5）。2.3误差方程组的答解方法（最小二乘原理）式（11）是一个由2n个方程组成的误差方程组，且方程个数多于待求值的个数，对这样的方程组应如何答解呢？在摄影测量中一般按最小二乘原理进行答解。按最小二乘原理，求出的待求参数的最佳估计值应使各误差方程式的残差平方和为最小，即满足VtV=min （12）这样就转化为VtV对待求值的求极值问题。下面以式（11）为例，说明求极值后误差方程式的变化。将VTV分别对成、、△*、礼、△平、AO>Ak求极值，即令avtv八=0saxavtV八=0sayavtV八=0sazavtV八=0sa中avtv八(13(13)sa①avtv八=0SAk这样将得到六个新的线性方程式，方程式的个数与待求值的个数相同。解这个方程组，则可得到AX’、AYs、AZs、A甲、AmAk的最佳估计值。在测量平差中把由式（11）变为式（13）的过程称为误差方程式的法化，法化后的方程式称为法方程式。显然，法方程式的系数和常数项将与误差方程式不同。究竟法方程式的系数、常数项和原误差方程式有什么变化，又有什么关系呢？这可以通过较复杂的推导过程来找到。在这里，我们略去推导过程，只按矩阵方式给出结论。由于VtV=（AX-L）t（AX-L）=XtAtAX-2XtAtL+LtL则avtv ,, .——=2ATAX-2ATL=0sx整理后有AtAX=AtL令N=ATA即为法方程式的系数阵。两边同乘以N-1，则可求出X，即该式即为AX’、AY$、AZ’、A甲、AmAk的解。3共线条件方程的线性化在“共线条件方程线性化的基本思路”中，我们知道：共线条件方程线性化的关健是求各个偏导数（军和琴），下面我们分别求取线元素和角元素的偏导数。d•d•3.1线元素的偏导数已知Fx=fX+(x-x)ZFy=fY+(y-y；)ZX-a(X—X)+b(Y—Y)+c(Z—Z)_ 1 S1 S1 SY-a(X—X)+b(Y—Y)+c(Z—Z)_ 2 S2 S2 SZ-a(X—X)+b(Y—Y)+c3(Z—Z、)S3、dZ-+(x—x)—af—a(x—x)0dX 1 3 0_SdZ+(x—x)福厂=—bf—b(x—x)0dY 1 3 0S_、dZ_+(x—x)——=—cf一c(x一x)0dZ 1 3 0S_― 、dZ-+(y—y)^—=—af—a(y—y)0dX 2 3 0SdZ—一+(y-力芫厂=—bJ-b(y-*)0dY 2 3 0S_/、说

+(y—y0)专SS S如果把内方位元素也作为未知数进行答解，———-f—dXdXSSdFx 「dX一-fdYdYSSdFxdX——-fdZdZSSdFyr fdYdXdXSSdFyr fdYdYdYSSdFy r"—JdY=或2f-C3(y一*)（15）3.2SFx_— —Zdxo竺y-odxo竺-0dy0g- ——Zdy0角元素的偏导数Fx和Fy是角元素甲、S、K的复合函数，为了推导的方便，我们将对角元素求导数的过程分为三个步骤。第一步：求各个方向余弦气、第一步：求各个方向余弦气、b、七对甲、S、K的偏导数，共有27个；第二步：求X、Y、Z对甲、s、k的偏导数，共有9个;第三步：求歹X、所对角元素甲、CO、K的偏导数，共6个。【第一步】已知a=coscpcosK-sincpsincosinKia=-coscpsinK-sincpsincocosK2a=-sincpcosco3b=coscosinKi<b=COSCOCOSK2b=-sinco3c=sincpcosK+coscpsincosinKic=-sincpsinK+coscpsincocosK2C=COSCPCOSCDl3则有—+=-C,5(h ida—i-=asmK,8co3da —■Cl6k2—f-=-c,8。 2da—=acosk,dco3da—2-———a,6k i—=,3―a-=sin©sincd,da八—3-=0,3k务=0,—=bsinK,8co3db7—i-=b,8k2有=0,—=bCOSK,8co3db 7—a-=-b,8ki%=0,—3-=-COSCO,db八—3-=0,6k―=a,合。ide—i-=csmK,6co3de丈％—=a,2de—3-=cCOSK,8co3de—3-=—c,8ki-=a,8巾36c—3-=-cosd)sinco,a®de_—3-=0,8k【第二步】在求X>Rz对甲、co、K的偏导数时，只需将各方向余弦的偏导数代入即可。但，为了公式的简单与工整，应利用各个方向余弦间的关系，将各个导数尽量化为由X.Y.Z和a、b、c表示的形式。这样在乘以-1后,''' Z考虑一xz-y=z

/-=oX-X/-=oy-各个系数很容易化成以X、j表示的形式。卜面仅以求为例，说明X、Y、Z对甲、s、k偏导数的推导过程。卜面仅以求由X=a(X—X)+b(Y—Y)+c(Z—Z)可得:~ S1 S1 SH=为X-XJ+自(」YS)+$(Z-ZS)da

da

由于肃=Tdb 八 dc肃=0、寄=a1，代入上式有ax如=-C](X-XS)+a1(Z-ZS)这个式子显然不是用X、Y、Z表示的形式，如何将其化为以X、Y、Z表示的形式呢？前面我们讲旋转矩阵的性质时，已知道旋转矩阵的每个元素等于其代数余子式，因此有aabb23aabb23，a=(-1)i+j23bb1cc23C=(—1)i+j123，这里，•、/是元素的行、列数。代入上式，有b)(b)(X-X)+(bc-bc)(Z-Z)32 S23 32 S——=-(ab-a=-ab(X-X)+ab(X-X)+bc(Z-Z)-bc(Z-Z)TOC\o"1-5"\h\z23 S32 S23 S32 S=-b [a (X-X )+c (Z -Z )]+b [a (X-X )+c(Z-Z)]32 S 2 S 23 S 3 S=-b [a (X-X )+c (Z -Z )]+b [a (X-X )+c(Z-Z)]+b b(Y -Y)-bb(Y-Y)3 2 S 2 S 2 3 S 3 S 32 S32 S3_2 _S2=-b3Y+b2Z=-b [a (X-X)+b (Y -Y)+c (Z -Z)]+b [a (X-X)+b(Y3_2 _S2=-b3Y+b2Z3 S3 S告=-b3Y+b2Zax方. =Zsinkas生=YaKdY — -a^=-b3X-b1ZaY-——=ZcoskasaY_v=—XaKaz— -^―=-b2X+b1Yaz =-Xsink-Ycoskas竺=-XaK可等到全部9个偏导数如下:，对其余的求导也作类似处理

【第三步】直接对Fx.Fy求甲、S、K的偏导数，并将上式分别代入即可得到6个角元素偏导数，TOC\o"1-5"\h\z6Fx dX dZ =f +(x-x)——=f(-bY+bZ)+(x-x)(-bX+bY)8中 8中 08中 3 2 0 2 16Fx 8X 8Z——=f——+(x-x)^—=ZfsinK-(x-x)(Xsink+Ycosk)8Fx®X . 、8Z .(16)LaK+(x-x(16)8Fy8Y 8Z-- —-f=f丁+(y-y)丁=f(-bY+bZ)+(y-y)(-bX+bY)8中 8中 08中 3 1 02 18Fy 8Y 8Z"8—=f8—+(y-y0)8—=ZfcosK-(y-y。)(XsinK+YcosK)8Fy_rdY.aZ_ ▽M=f8K+(y-y。)8K=-fX3.3误差方程的各个系数将(15)和(16)式代入(10a)中a =Z\a f+a (x-x )]a =Z[b f+b (x-x )]a =Z[c f+c (x-x )]a=(x-x0)(y-y0)bf1-\f+(x ]b-(y-y)bf2 03a=(xWsinkf即可得到误差方程式的各个系数，即a==[af+a(y-y)]Z2 3 0a==\bf+b(y-y)]Z 2 3 0a==\cf+c(y-y)]Z 2 3 0a=\f+(y—：0)2]bf1(x-x0)(y-y0)b+(x-x)bf2 03-(x-x0)(y-y0)sinKfa25(x-x0)(y-y0)cosK-ffsink(y-y0)2

f0cosK-fcosKa16=y-y0x-xa=—-j-0,a=1,a=0a=-(x-x)y-y 八.a=—-j-0,a=0,a=1(17)3.4误差方程的近似形式

在近似垂直摄影情况下，各个角元素都很小，此时，中=®=kq0，且Z总一H，代入(17)式，则误差方程的各个系数变为:a11a2122a14a =-(y-y2在近似垂直摄影情况下，各个角元素都很小，此时，中=®=kq0，且Z总一H，代入(17)式，则误差方程的各个系数变为:a11a2122a14a =-(y-y23H=_(x-x0)(y-y0)"24一一 七一-(18)a15a25a16=y一y0a=-(x-x)这样，可得到误差方程的近似形式为fx-x (x-x)2 (x-x)(y-y)A/、入,=——AX— AZ—[f+ 0—]A^— 0 0—△①+(y—y)Ak—lHsHs，f f ofy—y (x—x)(y—y) (y—y)2=-fAY—^—^AZ- 0八’y。'A^+[f+vyyo]Aw—(x—x)Ak—lHsHs f f 0