高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第16练 定积分问题 理试题

第16练定积分问题[题型分析·高考展望]定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.常考题型精析题型一定积分的计算例1(1)(2014·陕西)定积分ʃeq\o\al(1,0)(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2 B.e＋1C.e D.e－1(2)(2014·江西)若f(x)＝x2＋2ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx，则ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx等于()A.－1 B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.1点评(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1(1)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))则ʃeq\o\al(2,0)f(x)dx等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.不存在(2)若定积分ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，则m等于()A.－1 B.0C.1 D.2题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2(1)(2014·山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2eq\r(2) B.4eq\r(2)C.2 D.4(2)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3) B.2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)(3)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝eq\f(π,2)所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A.1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(2\r(2),3) D.2eq\r(2)－2点评求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式训练2(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为()A.eq\f(gt\o\al(2,0),3) B.gteq\o\al(2,0)C.eq\f(gt\o\al(2,0),2) D.eq\f(gt\o\al(2,0),6)2.(2015·广州模拟)若(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()A.－1 B.1C.－eq\r(3) D.eq\r(3)3.由直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝ʃeq\o\al(3,0)(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为()A.15 B.20C.25 D.305.(2015·德州模拟)图中阴影部分的面积是()A.16 B.18C.20 D.226.(2015·北京朝阳区模拟)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈[1，e]))(其中e为自然对数的底数)，则ʃeq\o\al(e,0)f(x)dx的值为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(6,5) D.eq\f(7,6)7.(2014·湖南)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x＝eq\f(5π,6) B.x＝eq\f(7π,12)C.x＝eq\f(π,3) D.x＝eq\f(π,6)8.设n＝4sinxdx，则二项式(x－eq\f(1,x))n的展开式的常数项是()A.12 B.6C.4 D.19.曲线y＝eq\f(1,x)与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________.10.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq\f(1,12)，则a的值为________.11.(2015·福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______.12.求曲线y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所围成图形的面积.答案精析第16练定积分问题常考题型精析例1(1)C(2)B解析(1)ʃeq\o\al(1,0)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故选C.(2)∵f(x)＝x2＋2ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx，∴ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝(eq\f(1,3)x3＋2xʃeq\o\al(1,0)f(x)dx)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)＋2ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx，∴ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝－eq\f(1,3).变式训练1(1)C(2)A解析(1)ʃeq\o\al(2,0)f(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0)x2dx＋ʃeq\o\al(2,1)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).(2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx的值就是函数y＝eq\r(－x2－2x)的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝eq\r(－x2－2x)是一个半径为1的半圆，其面积等于eq\f(π,2)，而ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，即在区间[－2，m]上该函数图象应为eq\f(1,4)个圆，于是得m＝－1，故选A.例2(1)D(2)C(3)D解析(1)令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，∴S＝ʃeq\o\al(2,0)(4x－x3)＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(x4,4)))))eq\o\al(2,0)＝8－4＝4，故选D.(2)∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝eq\f(1,4)x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2ʃeq\o\al(2,0)eq\f(x2,4)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－2·\f(x3,12)))eq\o\al(2,0)＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).(3)方法一由sinx＝cosx(x∈(0，eq\f(π,2)))，得x＝eq\f(π,4).故所求阴影部分的面积S＝eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(cosx－sinx)dx＋eq\i\in(eq\f(π,4),eq\f(π,2),)(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))＋(－cosx－sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)－sin0－cos0＋[(－coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2))－(－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4))]＝2eq\r(2)－2.故选D.方法二由sinx＝cosx(x∈(0，eq\f(π,2)))，得x＝eq\f(π,4).根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S＝2eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))＝2(sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)－sin0－cos0)＝2eq\r(2)－2.故选D.变式训练21.2解析由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为y＝ax2，将点(5,2)代入抛物线方程得a＝eq\f(2,25)，故抛物线方程为y＝eq\f(2,25)x2，抛物线的横截面面积为S1＝2eq\i\in(0,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,25)x2))dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2,75)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(5,0))＝eq\f(40,3)(m2)，而原梯形下底为10－eq\f(2,tan45°)×2＝6(m)，故原梯形面积为S2＝eq\f(1,2)(10＋6)×2＝16，eq\f(S2,S1)＝eq\f(16,\f(40,3))＝1.2.高考题型精练1.C[由题意，可知所走路程为＝＝eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t0,0))＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0).]2.A[eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sinx－acosxdx＝－cosx－asinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝－a＋1＝2，a＝－1.]3.D[eq\i\in(-eq\f(π,3),eq\f(π,3),)cosxdx=sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),—\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\r(3).]4.A[由已知得S10＝ʃeq\o\al(3,0)(1＋2x)dx＝12，据等差数列性质可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－17亦成等差数列，故有12＋S30－17＝10⇒S30＝15.]5.B[S＝ʃeq\o\al(4,－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋4－\f(y2,2)))dy＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2)＋4y－\f(y3,6)))))eq\o\al(4,－2)＝18.]6.A[根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃeq\o\al(e,0)f(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0)x2dx＋ʃeq\o\al(e,1)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋lnx|eq\o\al(e,1)＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3).]7.A[∵eq\i\in(0,eq\f(2π,3),)sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),0))＝0，∴－cos(eq\f(2π,3)－φ)＋cosφ＝0.∴cos(eq\f(2π,3)－φ)－cosφ＝0.∴eq\f(\r(3),2)sinφ－eq\f(3,2)cosφ＝0.∴eq\r(3)sin(φ－eq\f(π,3))＝0.∴φ－eq\f(π,3)＝k1π(k1∈Z).∴φ＝k1π＋eq\f(π,3)(k1∈Z).∴f(x)＝sin(x－k1π－eq\f(π,3))(k1∈Z).由x－k1π－eq\f(π,3)＝k2π＋eq\f(π,2)(k1，k2∈Z)得x＝(k1＋k2)π＋eq\f(5,6)π(k1，k2∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝(k1＋k2)π＋eq\f(5,6)π(k1，k2∈Z).故x＝eq\f(5π,6)为函数f(x)的一条对称轴.]8.B[由定积分得n＝－4cosxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝4，二项式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)x4－k(－eq\f(1,x))k＝Ceq\o\al(k,4)(－1)kx4－2k，由4－2k＝0，得k＝2，所以常数项为T3＝Ceq\o\al(2,4)(－1)2＝6，故选B.]9.eq\f(3,2)－ln2解析S＝ʃeq\o\al(2,1)(x－eq\f(1,x))dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－lnx))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－ln2.10.－1解析由曲线在原点处与x轴相切，可得f′(0)＝b＝0