第2章函数专练5-函数与方程(二)-2021届高三数学一轮复习

第一章函数专练5—函数与方程（二）单选题1．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．（，1） C．（0，1） D．（，+∞）2．函数f（x）＝|x|﹣cosx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函数f（x）＝，则y＝f（f（x））+1的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．74．若函数f（x）＝ex（x2﹣2x+1﹣a）﹣x恒有2个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，） D．（﹣∞，﹣）5．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|，函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，5]上的零点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2﹣2x，若方程f（g（x））﹣a＝0有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1] C．（1，2] D．[2，+∞）7．已知二次函数f（x）＝（x﹣m）（x﹣n）+1，且x1，x2是方程f（x）＝0的两个根，则x1，x2，m，n的大小关系可能是（）A．x1＜x2＜m＜n B．x1＜m＜x2＜n C．m＜n＜x1＜x2 D．m＜x1＜x2＜n8．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）＝0（a＞0，a≠1）在区间（﹣2，10）内恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（8，12） B．（12，+∞） C．（8，12] D．（1，8）9．已知函数f（x）＝ex，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y＝x对称，令则方程e2h（x）＝x+e2解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知关于x方程ex（2x﹣1）+m（x﹣1）＝0有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．多选题11．已知定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），则以下结论成立的是（）A．函数f（x）的周期T＝2 B．f（2019）＝f（2020）＝0 C．点（1，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心 D．f（x）在[﹣2，2]上有4个零点12．已知关于x的一元二次方程（3a2+4）x2﹣18ax+15＝0有两个实根x1，x2，则下列结论正确的有（）A．或 B． C．|x1﹣x2|＝ D．＝﹣513．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，关于函数g（x）＝|f（x）|+f（|x|），下列说法正确的是（）A．g（x）为偶函数 B．g（x）在（1，2）上单调递增 C．g（x）在[2016，2020]上恰有三个零点 D．g（x）的最大值为214．已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围可以是（）A．（﹣，0） B．[0，2） C．（0，2] D．（2，+∞）填空题15．已知函数，则g（x）＝f（x）+1的零点个数为．16．已知函数f（x）＝sin（πx﹣π）与的图象所有交点的横坐标为x1，x2，…，xn，则x1+x2+…+xn＝．17．方程cosπx＝|log2|x﹣1||所有解的和为．18．已知函数f（x）＝|log2x|﹣kx在x∈（0，16]上有三个零点，则实数k的取值范围为．解答题19．已知函数．（1）若f（x）是偶函数，求a的值；（2）当a＜﹣4时，若关于x的方程f（﹣2x2+4x+3+a）＝2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实数解，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程m＝在的解的个数．第一章函数专练5—函数与方程（二）答案1．解：作出函数f（x）＝的图象如图，函数y＝f（x）﹣a有三个零点，即y＝f（x）与y＝a的图象有3个不同交点，由图可知，实数a的取值范围为（，1）．故选：B．2．解：函数f（x）＝|x|﹣cosx的零点，即方程|x|﹣cosx＝0的根，也就是y＝|x|与y＝cosx交点的横坐标，作出y＝|x|与y＝cosx的图象如图：由图可知，函数f（x）＝|x|﹣cosx的零点个数为2．故选：C．3．解：y＝f（f（x））+1的零点个数，即方程f（f（x））＝﹣1的实数根的个数，设t＝f（x），则f（t）＝﹣1，作出f（x）的图象如图所示．结合图象可知方程f（t）＝﹣1有3个实数根，分别为t1＝﹣6，t2＝﹣1，t3＝1．当t＝﹣6时，方程f（x）＝t有且只有1个实根；当t＝﹣1时，方程f（x）＝t有3个不同的实数根；当t＝1时，方程f（x）＝t有2个不同实根．故方程y＝f（f（x））＝﹣1有6个不同的实根，即y＝f（f（x））+1有6个零点．故选：C．4．解：令f（x）＝0，得x2﹣2x+1﹣a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，可得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，作出函数y＝x2﹣2x+1﹣a与y＝g（x）的图象如图，如图所示，函数f（x）＝ex（x2﹣2x+1﹣a）﹣x恒有2个零点，等价于函数y＝x2﹣2x+1﹣a与y＝g（x）的图象有两个交点，∴﹣a＜，即a＞，∴a的取值范围是（﹣，+∞）．故选：A．5．解：由函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），以x+1替换x，可得f（x+2）＝f（x），可知f（x）周期为2，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|，函数g（x）＝，作出函数f（x）、g（x）的图象如图所示，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，5]内的零点的个数，即为f（x）＝g（x）时的交点个数，由上图可知f（x）与g（x）有6个交点，∴h（x）在区间[﹣2，5]内的零点的个数为6个，故选：C．6．解：函数g（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1≤1，令g（x）＝t，则t≤1，要使方程f（g（x））﹣a＝0有4个不相等的实根，则关于t的方程为f（t）﹣a＝0有两个小于1的实数根，画出函数f（t）＝的图象如图：由图可知，实数a的取值范围是（1，2]．故选：C．7．解：显然m，n是方程f（x）＝1的两个根，又f（x）＝0有两解x1，x2，∴f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设x1＜x2，m＜n，作出f（x）的函数图象如图所示：显然有：m＜x1＜x2＜n，故选：D．8．解：由f（2+x）＝f（2﹣x），得f（x+4）＝f[2﹣（x+2）]＝f（﹣x），又f（x）是偶函数，则f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数．又当x∈[﹣2，0]时，，∴当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，则f（x）＝f（﹣x）＝．关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）＝0（a＞0，a≠1）在区间（﹣2，10）内恰有5个不同的实数根，即y＝f（x）与y＝loga（x+2）在区间（﹣2，10）内有5个不同的交点．显然a＞1．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝loga（x+2）的图象如图：则，解得8＜a≤12．∴实数a的取值范围是（8，12]．故选：C．9．解：因为函数g（x）与f（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝ex，所以g（x）＝lnx，所以h（x）的图象如图所示．方程e2h（x）＝x+e2可化为，即求函数y＝h（x）与y＝的图象的交点个数．当x≤0时，y＝的图象恒过点（0，1），此时有两个交点；当0＜x＜1时，y＝与y＝h（x）的图象有一个交点；当x＞1时，设斜率为的直线与y＝lnx的切点为（x0，lnx0），由斜率k＝＝，所以x0＝e2，所以切点为（e2，2），此时直线方程为y﹣2＝，即y＝，所以直线y＝与z＝x+y恰好相切，有一个交点．综上，此方程有4个解．故选：D．10．解：令f（x）＝ex（2x﹣1），则f′（x）＝ex（2x+1），∴当x＜﹣时，f′（x）＜0，当x＞﹣时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，且当x＜时，f（x）＜0，当x＞时，f（x）＞0，作出f（x）的大致函数图象如图所示：不妨设直线y＝k（x﹣1）与y＝f（x）的图象相切，设切点坐标为（x0，y0），则，于是，解得x0＝0，k＝1或x0＝，k＝4e，∵关于x方程ex（2x﹣1）+m（x﹣1）＝0有两个不等实根，∴函数y＝ex（2x﹣1）的图象与直线y＝﹣m（x﹣1）有两个交点，∴0＜﹣m＜1或﹣m＞4e，∴﹣1＜m＜0或m＜﹣4e．故选：D．11．解：定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），所以函数的周期为2，所以A正确；f（﹣1+2）＝f（﹣1），即f（1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），所以f（1）＝f（﹣1）＝0，所以f（2019）＝f（1）＝0，f（2020）＝f（0）＝0，所以B正确；所以C正确；f（x）在[﹣2，2]上有f（﹣2）＝f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝0，有5个零点，所以D不正确；故选：ABC．12．解：由△＝（﹣18a）2﹣60（3a2+4）＝144a2﹣240≥0，解得a≥或a，故A正确；，，则，故B正确；＝＝，故C错误；假设D正确，则ax1x2﹣5x2＝﹣5ax1x2+5x1，即6ax1x2＝5（x1+x2），也就是，此时显然成立，故D正确．∴结论正确的有ABD．故选：ABD．13．解：易知函数g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝|f（﹣x）|+f（|﹣x|）＝|﹣f（x）|+f（|x|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），所以g（x）为偶函数，故A正确，因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）是奇函数，所以f（x）是周期为4的函数，其部分图象如下图所示：所以当x≥0时，k∈N，当x∈（1，2）时，g（x）＝2f（x），g（x）单调递减，故B错误，g（x）在[2016，2020]上零点的个数等价于g（x）在[0，4]上零点的个数，而g（x）在[0，4]上有无数个零点，故C错误，当x≥0时，易知g（x）的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当x＜0时，g（x）的最大值也为2，所以g（x）在整个定义域上的最大值为2，故D正确，故选：AD．14．解：当x≥0时，则f（x）＝x3﹣3x+2，故f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝﹣1，x＝1，则此时f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当x＜0时，则f（x）＝﹣x2ex，故f′（x）＝﹣2xex﹣x2ex＝﹣xex（2+x）＝0，得x＝﹣2，则此时f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；作出函数f（x）图象如图：因为方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实根等价于函数f（x）与y＝a的图象有两个交点，有图可得a∈（f（﹣2），0）∪（0，2]，即a∈（﹣，0）∪（0，2]．故选：AC．15．解：g（x）＝f（x）+1的零点，即方程f（x）+1＝0的根，也就是y＝f（x）与y＝﹣1的交点的横坐标，作出函数的图象如图，由图可知，y＝f（x）与y＝﹣1的交点有2个，即g（x）＝f（x）+1的零点个数为2．故答案为：2．16．解：f（x）＝sin（πx﹣π）＝﹣sinπx，，在同一平面直角坐标系内作出两函数的图象如图：两函数的图象关于点（1，0）中心对称，且有7个交点，则x1+x2+…+xn＝3×2+1＝7．故答案为：7．17．解：方程cosπx＝|log2|x﹣1||的解，即函数y＝cosπx与y＝|log2|x﹣1||图象交点的横坐标，由图象变化的法则可知：y＝log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y＝log2|x|的图象，再向右平移1个单位得到y＝log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去，可得g（x）＝|log2|x﹣1||的图象；又f（x）＝cosπx的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x＝1对称，且共有A、B、C、D4个交点，由中点坐标公式可得：xA+xD＝2，xB+xC＝2，故所有交点的横坐标之和为4，即方程cosπx＝|log2|x﹣1||所有解的和为4．故答案为：4．18．解：函数f（x）＝|log2x|﹣kx在x∈（0，16]上的零点个数即为函数g（x）＝|log2x|与y＝kx的图象的交点个数，函数g（x）的图象如图，则必有k＞0，当0＜x＜1时，必有一个交点；当1＜x≤16时，设过原点的直线与y＝log2x的切点为（x0，log2x0），则k＝，切线方程为，将（0，0）代入得：，即x0＝e，∴k＝，又由log216﹣16k＝0，得k＝，结合图象可知，实数k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．19．解：（1）若函数偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即，变形可得4ax+1＝4（1﹣a）x+4x，则有a＝1；（2），∵a＜﹣4，∴y＝2（2a﹣1）x，y＝2﹣x都在R上单调递减，∴函数y＝f（x）在R上单调递减，又f（0）＝2，∴f（﹣2x2+4x+3+a）＝f（0），∴﹣2x2+4x+3+a＝0，∴a＝2x2﹣4x﹣3，x∈[﹣1，2]，由图象知，当﹣5＜a≤﹣3时，方程a＝2x2﹣4x﹣3在[﹣1，2]有两个