统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练1平面向量三角函数与解三角形文

平面向量、三角函数与解三角形(1)1．[2023·江苏省姜堰第二中学模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到g(x)的图象，求函数g(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最值并求出相应x的值．2．[2023·安徽省定远县育才学校模拟]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(eq\f(π,6)，eq\f(1,2)).(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．3．[2023·吉林模拟预测(文)]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＝bsin(A＋eq\f(π,3)).(1)求角A的大小；(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.4．[2023·山西太原三模(文)]已知锐角△ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(7\r(2),10)，sin(A－B)＝eq\f(\r(2),10).(1)求eq\f(tanA,tanB)；(2)若AB＝7，求△ABC的面积S.5．[2023·黑龙江齐齐哈尔三模(文)]已知△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若eq\r(3)bcosC＋eq\r(3)ccosB＝2acosA.(1)求A；(2)若b＝4，c＝eq\r(3)，求sin(B－C)的值．6．[2023·安徽巢湖市第一中学模拟(文)]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝eq\r(10)，c＝2，B＝eq\f(π,4).(1)求△ABC的面积；(2)若点M在线段AC上，且tan∠AMB＝eq\f(3,2)，求tan∠MBC的值．平面向量、三角函数与解三角形（1）1．解析：（1）由图象可知A＝2，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），将（eq\f(π,6)，2）代入可得eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ（k∈Z），φ＝eq\f(π,6)，所以f（x）＝2sin（2x＋eq\f(π,6)）.（2）g（x）＝2sin[2（x＋eq\f(π,3)）＋eq\f(π,6)]＝2sin（2x＋eq\f(5π,6)），因为x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(5π,6)∈[eq\f(5π,6)，eq\f(11π,6)]，当2x＋eq\f(5π,6)＝eq\f(5π,6)，即x＝0，g（x）max＝1；当2x＋eq\f(5π,6)＝eq\f(3π,2)，即x＝eq\f(π,3)，g（x）min＝－2.2．解析：（1）因为f（x）＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sin（eq\f(π,2)＋φ）（0<φ<π），所以f（x）＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1＋cos2x,2)cosφ－eq\f(1,2)cosφ＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1,2)cos2xcosφ＝eq\f(1,2)（sin2xsinφ＋cos2xcosφ）＝eq\f(1,2)cos（2x－φ）.又函数图象过点（eq\f(π,6)，eq\f(1,2)），所以eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)cos（2×eq\f(π,6)－φ），即cos（eq\f(π,3)－φ）＝1.又0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,3).（2）由（1）知，f（x）＝eq\f(1,2)cos（2x－eq\f(π,3)），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，可知g（x）＝eq\f(1,2)cos（4x－eq\f(π,3)），因为x∈[0，eq\f(π,4)]，所以4x∈[0，π]，因此4x－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]，故－eq\f(1,2)≤cos（4x－eq\f(π,3)）≤1.所以－eq\f(1,4)≤eq\f(1,2)cos（4x－eq\f(π,3)）≤eq\f(1,2)，所以y＝g（x）在[0，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值分别为eq\f(1,2)和－eq\f(1,4).3．解析：（1）∵asinB＝bsin（A＋eq\f(π,3)），由正弦定理得sinAsinB＝sinBsin（A＋eq\f(π,3)），∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴sinA＝sin（A＋eq\f(π,3)），∴sinA＝eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA，即eq\f(1,2)sinA＝eq\f(\r(3),2)cosA，∴tanA＝eq\r(3)，∵A∈（0，π），∴A＝eq\f(π,3).（2）方法一：∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＋eq\f(1,2)AD·AC·sin∠DAC，∴eq\f(1,2)×3×1×sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×3×AD×sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)×AD×1×sineq\f(π,6)，∴AD＝eq\f(3\r(3),4).方法二：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋12－2×3×1×coseq\f(π,3)＝7，∴BC＝eq\r(7).在△ABD中，由正弦定理，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，在△ADC中，由正弦定理，eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,1)，∴DC＝eq\f(\r(7),4).在△ADC中，由余弦定理：DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，设AD＝x，则eq\f(7,16)＝x2＋1－2x·eq\f(\r(3),2)，即x2－eq\r(3)x＋eq\f(9,16)＝0，解得x＝eq\f(3\r(3),4)或eq\f(\r(3),4).△ABC中，由余弦定理：cosC<0，∴C是钝角．在△ADC中，AD>AC，∴AD＝eq\f(3\r(3),4).方法三：在△ABD中，由正弦定理，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，在△ADC中，由正弦定理，eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,1).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝（eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))）2＝eq\f(1,16)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(9,16)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,16)×9＋eq\f(9,16)×1＋eq\f(3,8)×3×1×eq\f(1,2)＝eq\f(27,16)，∴AD＝eq\f(3\r(3),4).4．解析：（1）因为sin（A＋B）＝eq\f(7\r(2),10)，sin（A－B）＝eq\f(\r(2),10)，所以sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(7\r(2),10)，①sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(\r(2),10)，②联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinAcosB＝\f(2\r(2),5),cosAsinB＝\f(3\r(2),10)))，所以eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(4,3).（2）由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(7,\f(7\r(2),10))＝5eq\r(2)，∴BC＝5eq\r(2)sinA，AC＝5eq\r(2)sinB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝eq\f(35\r(2),2)sinAsinB.又∵在锐角△ABC中，由sin（A＋B）＝eq\f(7\r(2),10)，sin（A－B）＝eq\f(\r(2),10)，所以cos（A＋B）＝－eq\f(\r(2),10)，cos（A－B）＝eq\f(7\r(2),10)，∴cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(7\r(2),10)，cosAcosB－sinAsinB＝－eq\f(\r(2),10)；∴sinAsinB＝eq\f(2\r(2),5)，∴S△ABC＝eq\f(35\r(2),2)·eq\f(2\r(2),5)＝14.5．解析：（1）∵eq\r(3)bcosC＋eq\r(3)ccosB＝2acosA，∴由正弦定理可知eq\r(3)sinBcosC＋eq\r(3)sinCcosB＝2sinAcosA.∴eq\r(3)sin（B＋C）＝2sinAcosA，∴eq\r(3)sinA＝2sinAcosA.又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,6).（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋3－2×4×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝7，即a＝eq\r(7)，∴cosB＝eq\f(3＋7－16,2×\r(3)×\r(7))＝－eq\f(\r(21),7)，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(7),7)，∴cosC＝eq\f(7＋16－3,2×4×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14)，sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(21),14).∴sin（B－C）＝sinBcosC－cosBsinC＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(5\r(7),14)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(\r(21),14)＝eq\f(13,14).6．解析：（1）在△ABC中，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－2eq\r(2)a－6＝0，解得a＝3eq\r(2)（负值已舍去），∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3.（2）在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，∴sinC＝eq\f