滨州学院复变函数期末复习题及参考答案

第/\*Arabic1页2023年下学期复变函数复习资料一、多项选择题1.关于对数函数的性质,下列各式正确的是()。(1分)A.

B.

C.

D.

在除去原点及负实轴的复平面上,有

答案：ABD2.函数,所以,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD3.复变量幂级数具有下列性质()。(1分)A.

幂级数的和在它的收敛圆的内部是一个解析函数B.

幂级数的和在它的收敛圆的外部是一个解析函数C.

幂级数的和在它的收敛圆的内部可以任意逐项求导任意次D.

幂级数的和在它的收敛圆的内部可以任意逐项积分任意次答案：ACD4.下列复变函数是周期函数的是()。(1分)A.;B.

;C.

;D.

;答案：ABC5.对于复数,下列不等式正确的是()。(1分)A.B.

C.

D.

答案：AC6.关于复数模,下面正确的是()。(1分)A.

复数的模,

B.

C.

为实数,

是复数,则

D.

答案：ABCD7.下列各式正确的是()。(1分)A.

,其中;B.

;C.

;D.

;

答案：ABCD8.分式线性映射(为复数且)可分解为()。(1分)A.

;

B.

(为实数);C.

();

D.

;

答案：ABCD9.对复数,下列正确的有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABC10.函数在处可导,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：AD11.下列关于曲线积分的性质正确的是()。(1分)A.

,其中为复常数;B.

;C.

;D.

。答案：ABC12.设,则是()。(1分)A.开集B.闭集C.有界集D.无界集答案：AC13.设与都是区域D上的解析函数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD14.关于余弦函数与正弦函数的性质,下列各式正确的是()。(1分)A.

;

B.

;C.

D.

答案：CD15.设,。关于复变函数极限性质正确的是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD16.关于复变函数的最大模原理,下面论述正确的是()。(1分)A.

若函数在开平面内解析且有界,则必为常数;B.

在区域内解析的函数,若其模在的内点达到最大值,则此函数必恒为常数;C.

若在有界区域内解析,在上连续,则必在

的边界上达到最大模;D.

若函数区域内解析,又不是常数,则在内没有最大值;答案：ABCD17.若函数在区域D内解析,并满足下列条件()之一时,必为常数。(1分)A.

;B.

常数;C.

常数;D.

为常数;

答案：ABCD18.若在区域内解析,而且满足下列条件()之一时,则在内为常数。(1分)A.

;

B.

常数;C.

常数;

D.

为常数;答案：ABCD19.下列各项正确的是()。(1分)A.

;B.

;C.

;D.

;

答案：ABCD20.在复平面内可微的某些初等函数,下面正确的是()。(1分)A.

,对任意的,为某复数,则;

B.

若,

,

则;C.

为次复变量多项式,则

;D.

为次复变量多项式,则

答案：ABC21.当为正整数时,()。(1分)A.

B.

(C.

D.

答案：ABC22.函数的奇点有()。(1分)A.

;

B.

C.

D.

答案：ABC23.关于余弦函数和正弦函数,下列各式正确的是()。(1分)A.

及都是单值函数;

B.

及都是以

为周期的周期函数;C.

为偶函数,为奇函数;D.

。

答案：ABCD24.函数在处可导,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD25.级数是()。(1分)A.收敛的B.发散的C.条件收敛D.绝对收敛答案：AD26.设,则是()。(1分)A.开集B.闭集C.有界集D.无界集答案：BC27.分式线性函数可分解为下列()的复合。(1分)A.

平移映射;B.

旋转映射;C.

相似映射;D.

反演映射答案：ABCD28.复变函数的孤立奇点可以分为()。(1分)A.

可去奇点;B.

极点;C.

本性奇点;D.

零点;答案：ABC29.如果是单联通区域D内的解析函数,则()。(1分)A.

由变上限的积分所确定的函数也是D内的解析函数,而且

;

B.

为的一个原函数,有,

其中,

为D内的点;C.

有函数恒满足时,称是

的原函数;

D.

与均为的原函数时,;

答案：ABCD30.关于分式线性映射,下列论断正确的是()。(1分)A.

在扩充复平面上,分式线性映射能把圆变成圆;B.

分式线性映射将平面上圆的对称点变换为平面上该圆的对称点;C.

有且仅有一个线性变换将平面上相异三点

变换为平面上的相异的三点

,

,;D.

有多个线性变换将平面上相异三点

变换为平面上的相异的三点

,

,;答案：ABC二、简答题31.设,求及。(1分)答案：解,。

,

其中,。

故,;

。32.求解析函数,已知,。(1分)答案：解易验证是全平面上的调和函数。利用C-R方程,先求出的两个偏导数

,,

则

。

所以

又因为,所以。

故得到。33.用三角表示计算。(1分)答案：解因为

,

,

所以

。34.计算,其中为任意整数,为以为中心,为半径的圆周。(1分)答案：解C的参数方程为

,,

。35.求函数在的留数。(1分)答案：解,而,故是函数的一阶极点,根据求留数法则II

.36.求级数,,的收敛半径,并讨论它们在收敛圆上的敛散性。(1分)答案：解这三个级数都有,故。但它们在收敛圆上的敛散性却不同。

在收敛圆上由于,故在上处处发散;

在的处收敛,处发散;

在上处处绝对收敛,故也处处收敛。37.将函数在圆环域内展开为洛朗级数。(1分)答案：解首先将分解成部分分式

.

在内,由于,从而,所以

。38.计算积分.(1分)答案：解由于在圆周内部有简单极点及二阶极点.

由法则1,有

.

由法则3,有

.

由留数定理得

.39.调和是调和函数,并求以为实部的解析函数,使之适合(1分)答案：解因为

,,

,.

所以

.

且的二阶偏导数连续,故为调和函数.

由于,得

,

及所以,即.因此

。

因而得到一个解析函数。

因为,故C=1,所以。40.求函数在的领域内的泰勒级数。(1分)答案：解已知,当时,。

由于在全平面除去及以外解析,故在内可以展开为幂级数。

因而

三、单项选择题41.()。(1分)A.0B.

C.

D.

答案：C42.设,在全平面上的复变函数,下面正确的是()。(1分)A.

,B.

,C.

D.

,答案：C43.设函数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D44.任意一个不为0的复数开次方有()个根。(1分)A.

B.

C.

D.无穷多

答案：C45.对任意的实数,有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B46.复变函数在导数()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C47.复变量的正弦函数定义为()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D48.设函数在区域D内解析,则()。(1分)A.

是区域D内的调和函数,不是区域D内的调和函数

B.

不是区域D内的调和函数,是区域D内的调和函数C.

,都是区域D内的调和函数D.

,都不是区域D内的调和函数答案：C49.若二元实函数是区域D内的调和函数,则满足()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C50.复数的三角表示式是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D51.若C是以为中心,r为半径的圆周,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A52.开集的余集称为()。(1分)A.开集B.闭集C.有界集D.无界集答案：B53.对复数,有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A54.设函数,,,则的充分必要条件是()。(1分)A.

,

B.

,

C.

,D.

,答案：A55.复变函数在处连续的充要条件是()。(1分)A.

在处连续B.

在处连续

C.

与在处连续

D.

或在处连续答案：C56.是函数的()。(1分)A.可去奇点B.简单极点C.本性奇点D.零点答案：D57.若,则()。(1分)A.

,

B.

,

C.

,

,

D.

,

,

答案：C58.设函数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

不存在答案：D59.复变函数,其中,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A60.任意一条简单闭曲线将平面分成()个区域。(1分)A.

1B.

2C.

3D.

0答案：B61.设,则是()。(1分)A.余集B.闭集C.开集D.无界集答案：C62.函数在孤立奇点处的留数()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B63.设平面点集,则的边界是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C64.设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线,,是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且,,为边界的区域全含于D,如果在D内解析,则有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A65.设函数在单连通区域D内解析,则在D内沿任意一条简单闭曲线C的积

分()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A66.函数,将点映射为点()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D67.棣莫弗(DeMoivre)公式是()。(n为整数)(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B68.设,则复数的共轭复数()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C69.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D70.函数在点的奇点类型是()。(1分)A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.零点答案：C71.满足方程的点的轨迹是()。(1分)A.

以

为中心,半径为1的圆。B.

以

为中心,半径为1的圆.C.

以为中心,半径为的圆.D.

以为中心,半径为的圆.答案：A72.级数是()。(1分)A.不能确定B.发散的C.绝对收敛D.条件收敛答案：C73.设函数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B74.函数的奇点是()。(1分)A.

及

B.

及C.

及D.

及答案：B75.()。(1分)A.

B.

C.和D.

或答案：C76.不为0的复数,其辐角任意两个值相差()的整数倍。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B77.函数在点的奇点类型是()。(1分)A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.零点答案：A78.若均为有限复数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D79.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A80.对于一个不为的复数,它的实部与虚部同它的模与辐角之间的关系是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A81.()。(1分)A.0B.

C.

D.

答案：B82.幂级数的收敛半径()。(1分)A.

B.

C.

D.不存在答案：A83.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C84.复变量的余弦函数定义为()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C85.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B86.为正整数,则=()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A87.映射在处的伸缩率是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C88.设,()。(1分)A.

B.

C.

+,

D.

答案：B89.设,,,则的充分必要条件是()。(1分)A.

B.

C.

或D.

和答案：D90.设函数在单连通区域D内解析,与为D内任意两点,与为连接与的积分路线,,都含于D,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A91.复数的模为()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D92.复数的主辐角()。(1分)A.

B.

C.

D.答案：B93.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A94.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A95.设函数,则()。(1分)A.

B.

C.

不存在D.

答案：A96.映射在处的旋转角是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D97.为常数,是区域D上的解析函数,则()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B98.设在光滑曲线C上连续,则复积分存在,

而且可以表示为()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C99.对数函数的主值,在除去原点及负实轴的复平面上解析,且()。(1分)A.

B.

C.

D.

,为整数

答案：C100.()。(1分)A.

B.

C.

和

D.

或者

答案：C四、判断题101.幂级数的和在收敛圆的内部仍是一个解析函数。()(1分)答案：正确102.对复数,有,其中为任意的整数。()(1分)答案：正确103.设在光滑曲线C上连续,曲线C的参数方程是,则。()(1分)答案：正确104.如果为函数的阶极点,

则。()(1分)答案：正确105.复平面上以原点O为中心,半径为的开圆盘,那么顺时针方向便是该区域边界的正方向。()(1分)答案：错误106.在收敛圆的内部,幂级数的和可以逐项求导及逐项积分任意次。()(1分)答案：正确107.解析函数的导数可能不是可导的。()(1分)答案：错误108.。()(1分)答案：错误109.函数在复平面上解析。()(1分)答案：错误110.分式线性映射具有保角性、保对称点性及保形性。()(1分)答案：正确111.指数函数是以为周期的函数。()(1分)答案：正确112.。()(1分)答案：错误113.绝对收敛的级数一定是收敛的。()(1分)答案：正确114.函数在点处可导,且导数为0。()(1分)答案：正确115.在扩充复平面上,分式线性映射能把圆变为圆。()(1分)答案：正确116.有界整函数不一定为常数。()(1分)答案：错误117.映射在处不具有保角性。()(1分)答案：错误118.设在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,在上连续,则的各阶导数均在D内解析,对D内任一点,是正整数,则

。()(1分)答案：正确119.设函数在区域D内解析,又不是常数,则在内没有最大值。()。(1分)答案：正确120.设果为函数的孤立奇点,C为解析函数的的去心领域内绕的闭曲线,。()(1分)答案：正确121.设是的一个孤立奇点,即在圆环域内解析,则

。()(1分)答案：正确122.设在内解析,在上连续,则

。()(1分)答案：正确123.若函数在全平面上解析且有界,则为一常数。()(1分)答案：正确124.函数在时存在极限。()(1分)答案：正确125.设在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,在上连续,是D内任一点,则。()(1分)答案：正确126.若函数在区域D内解析,且不恒为常数,则像集合是区域。()(1分)答案：正确127.设函数,则在全平面处处可导。()(1分)答案：错误128.分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。()(1分)答案：正确129.复数,则。()(1分)答案：正确130.若为函数的简单极点,则()。(1分)答案：正确五、填空题131.复变函数是从复数集到________的函数。(1分)答案：复数集132.欧拉公式的特殊情况，描述复数的指数函数形式为________。(1分)答案：e^z

=

e^x

·

e^(iy)133.微分方程z’

=

f(z)的解是指一个解析函数z(z)使得________。(1分)答案：z’(z)

=

f

[z(z)]134.根据________原理，如果两个解析函数在某一点附近相等，则它们在整个定义域内相等。(1分)答案：唯一性135.欧拉公式表示为________。(1分)