4.5.3函数模型的应用学案-高一上学期数学人教A版

人教A版（2019）高一数学必修第一册导学案4.【知识梳理】几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．(2)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)．(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数型函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．(5)对数型函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)．(6)幂型函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．(7)对勾函数模型：f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k为常数，且k>0)．(8)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或两种以上模型的综合，因此应用也十分广泛．【例题探究】【类型一】指数型函数模型【例1】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m(m>0)件．(1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．【变式训练1】为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？≈≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)【变式训练2】某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下：123456…（人数）…6…36…216…若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（

）（参考数据：，，，）A．9 B．10 C．11 D．12【类型二】对数型函数模型【例2】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg2≈0.30,3≈3.74,3≈4.66)．(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【变式训练3】中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中TW，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加.（结果保留一位小数）参考数据：.【变式训练4】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I用W/m2表示，但在实际测量时，声音的强度水平用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10·lgeq\f(I,I0)(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．【类型三】建立拟合函数模型解决实际问题【例3】某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lgx＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)．(2)若采用函数f(x)＝eq\f(15x－a,x＋8)作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【归纳】函数拟合与预测的一般步骤：1能够根据原始数据、表格，描出数据点.2通过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的.因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.【变式训练5】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min012345水温/℃设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：，．）【课堂小练】1．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A．y＝t3 B．y＝log2tC．y＝2t D．y＝2t22．某食品的保鲜时长y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时长是192小时，在22℃的保鲜时长是48小时，则该食品在33℃的保鲜时长是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（

）（参考数据：，）4．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为元．5．在一段时间内，某地的某种动物快速繁殖，此动物总只数的倍增期为18个月，那么100只野兔增长到10万只野兔大概需要年.6．我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线，当时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为，且过点；赛道的后一部分为曲线，当时，该曲线为函数（，且）图象的一部分，其中点．(1)求函数关系式；(2)已知点，函数，设点Q是曲线上的任意一点，求线段长度的最小值．【答案解析】【例1】【解】(1)当礼品价格为n元时，销售量为m(1＋10%)n件，故利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·mn(0<n<20，n∈N＋，m>0)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·mn＋1－(20－n)·mn≥0，解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)·mn＋1－(18－n)·mn＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．【变式训练1】解：(1)第一年投入的资金数为100(1＋10%)万元，第二年投入的资金数为100(1＋10%)＋100(1＋10%)×10%＝100(1＋10%)2万元，第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y＝100(1＋10%)x万元，其定义域为{x∈N*|1≤x≤10}．(2)由100(1＋10%)x>200，x>2，即x>eq\f(lg2,lg1.1)≈,0.041)≈7.3，即企业从第8年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．【变式训练2】【答案】C【解析】若选，将和代入得，解得，所以，代入有，不合题意．若选，将和代入得，解得，所以．代入有，符合题意．依题意可得，即，则，又，，所以，∵，∴的最小值为.故选：C【例2】【解】(1)由题意，x0＝2，x＝8100，得v＝eq\f(1,2)log3eq\f(8100,100)－lg2≈1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lg5，即log3eq\f(x,100)＝2lg5，解得：x≈466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位．(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2.5＝\f(1,2)log3\f(x1,100)－lgx0，,1.5＝\f(1,2)log3\f(x2,100)－lgx0，))两式相减可得1＝eq\f(1,2)log3，解得：eq\f(x1,x2)＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．【变式训练3】【分析】将与代入，作差后求增长率即可【解析】当时，，当时，则，所以C大约增加了，即C大约增加了.【变式训练4】解：(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I1＝1×1012W/m2，则eq\f(I1,I0)＝1，所以LI1＝10·lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则eq\f(I2,I0)＝102，所以LI2＝10·lg102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8W/m2，则eq\f(I3,I0)＝104，所以LI3＝10·lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．(2)由题意知：0≤L1<50，即0≤10·lgeq\f(I,I0)<50，所以1≤eq\f(I,I0)<105，即10－12≤I<10－7.所以新建的安静小区的声音强度I的取值范围为10－12W/m2≤I<10－7W/m2.【例3】【解】(1)对于函数模型y＝lgx＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝eq\f(1,50)，所以y＝lgx＋eq\f(x,50)x∈[50,500]时，y＝lgx＋eq\f(x,50)＋5是单调递增的，但x＝50时，y＝lg50＋6>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．(2)对于函数模型f(x)＝eq\f(15x－a,x＋8)＝15－eq\f(120＋a,x＋8)，a为正整数，函数在[50,500]上单调递增；f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(xx对x∈[50,500]恒成立，即ax2x对x∈[50,500]恒成立，令g(xx2x，x∈[50,500]，对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝－,－0.15×2)＝46，因为g(x)函数图象开口向下，所以g(x)在[50,500]上单调递减，所以g(x)max＝－0.15×502＋13.8×50＝315，所以ax2x)max＝315.综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.【变式训练5】【解析】（1）选择②（，，）作为函数模型．由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．故应选择②（，，）将表中前的数据代入，得，解得，所以函数模型的解析式为：．（2）由（1）中函数模