高中数学必修五2.4等比数例教案课时训练练习教案课件

PAGE2.4等比数列教案（一）授课类型：新授教学目标知识与技能目标1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．过程与能力目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程一、情境导入：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263;①1，，，，…；②1，，…；③④对于数列①，=;=2（n≥2）．对于数列②，=；（n≥2）．对于数列③，=;=20（n≥2）．共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．二、检查预习1．等比数列的定义．2.等比数列的通项公式:，，3．｛an｝成等比数列4．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….三、合作探究（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？四交流展示等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；｛｝成等比数列=q（，q≠0．）(2)隐含：任一项(3)q=1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1:观察法：由等比数列的定义，有：；；；…．迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；所以，即等比数列的通项公式2:五精讲精练例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第52页第1例2．求下列各等比数列的通项公式：解：(1)(2)点评：求通项时，求首项和公比变式训练二：教材第52页第2例3．教材P50面的例1。例4．已知无穷数列，求证：（1）这个数列成等比数列；（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．（2），即：．（3），∵，∴．∴且，∴，（第项）．变式训练三：教材第53页第3、4题．六、课堂小结：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式及变形式七、板书设计八、课后作业阅读教材第48～50页；2.4等比数列教案（二）授课类型：新授教学目标知识与技能目标进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；过程与能力目标利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质方法与价值观培养学生应用意识．教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．教学过程二．问题情境1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2）是否成立？2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？三．学生活动对于（1）∵，，∴，成立．同理：成立．对于（2），，，∴，成立．一般地：若，则．四．建构数学1．若为等比数列，，则．由等比数列通项公式得：，，故且，∵，∴．2．若为等比数列，则．由等比数列的通项公式知：，则．五．数学运用1．例题：例1．（1）在等比数列中，是否有（）？（2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，那么数列一定是等比数列．解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．例2．已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，则．例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为，得：∴，即得或，∴或，故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．例4．如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．解：设第个图形的边长为，周长为．由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．∴．要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，∴第个图形的边数为．．2．练习：1．已知是等比数列且，，则．2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则．3．已知在等比数列中，，，则．五．回顾小结：1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．七板书设计课内探究学案（一）学习目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．（二）学习过程1、自主学习、合作探究1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。5.三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。2、精讲点拨三、典型例题例1数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得（3），由得，即（4），联立（3）（4）解方程组得。例2（1）已知为等比数列，，，求的通项公式。（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。解：（1）设等比数列的公比为（），，则，即也即，解此关于的一元方程得或。，或。（2）在等比数列中，有，又，联立解得或，由此知，而，从而解得或。例3已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。例4设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上，，，又、，，数列不是等比数列。3、反思总结4当堂检测1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()2.已知是等比数列，，则3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（）无法确定4.在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（）5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【当堂检测】1.解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4.，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7.解析：，，。8.解析：设该等比数列为、、、，，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则①①得②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即；当时，由①得11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列.（2）解：。又，所以当时，，这时不是等比数列；当时，由上可知，。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得①令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。等比数列学案一、课前预习（一）预习目标1.理解等比数列的定义；2.了解等比数列的通项公式（二）自我探究下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263;①1，，，，…；②1，，…；③④对于数列①，=;=2（n≥2）．对于数列②，=；（n≥2）．对于数列③，=;=20（n≥2）．共同特点：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；｛｝成等比数列=q（，q≠0．）(2)隐含：任一项(3)q=1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．（四）提出疑惑（五）预习内容1、等比数列的定义2、等比数列的通项公式1.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：①；②（，此结论对于有意义时适用）。4.等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。5.如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。6.等比数列的前项和公式设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和。7.等比数列的主要性质：（1）在等比数列中，若，则；（2）在等比数列中，若，则；（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；四、课堂同步训练1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()2.已知是等比数列，，则3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（）无法确定4.在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（）5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【同步训练参考答案】1.解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4.，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7.解析：，，。8.解析：设该等比数列为、、、，，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则①①得②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即；当时，由①得故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得①令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？

答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？

答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！

水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你们还有发言的吗？

答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！

花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？

水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！

主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！

4.主持人：大家欢迎老师讲话！

同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：

此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是