第4章 实数（易错必刷30题9种题型专项训练）（解析版）

第4章实数（易错必刷30题9种题型专项训练）一．平方根（共2小题）1．（2022秋•章丘区期中）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a为9．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值．【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，∴2b﹣1+b+4＝0，∴b＝﹣1．∴b+4＝﹣1+4＝3，∴a＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．2．（2023秋•昆山市校级月考）一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为16．【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，∴a+2+a﹣6＝0，解得：a＝2，故a+2＝2+2＝4，则这个正数是：42＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．二．算术平方根（共2小题）3．（2023秋•昆山市校级月考）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：A、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意；C、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、＝3，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和性质．4．（2023秋•姑苏区校级期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵＝12，＝6，＝4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵＝6，∴分两种情况讨论：①当＝12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当＝12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）5．（2023秋•亭湖区校级月考）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．四．立方根（共8小题）6．（2023秋•淮安区月考）下列说法正确的是（）A．﹣是5的平方根 B．﹣2的平方根是±2 C．＝±4 D．＝±3【分析】A：由5的平方根是±判断；B：负数没有平方根进行判断；C：开立方求出结果，然后判断；D：求出算术平方根，然后判断．【解答】解：A，∵5的平方根是±，∴正确，B∵负数没有平方根，∴B错误，C∵＝4，∴C错误，D∵＝3∴D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根、立方根的概念的运用，掌握这几个定义的区别及实际应用是解题关键．7．（2023秋•江阴市校级月考）下列说法正确的是（）A．4的平方根是±2 B．立方根等于本身的数是0、1 C． D．【分析】直接根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．【解答】解：A、4的平方根是±2，符合题意；B、立方根等于本身的数是0和±1，故不合题意；C、＝2，故不合题意；D、＝2，故不合题意．故选：A．【点评】此题考查的是平方根、立方根、算术平方根，掌握其概念是解决此题的关键．8．（2023秋•扬州期中）下列说法正确的是（）A．±3是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．【解答】解：A、3是27的立方根，故本选项错误；B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；C、25的平方根是±5，故本选项错误；D、27的立方根为3，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．9．（2023秋•姑苏区校级月考）求下列各式中x的值：（1）9（x﹣1）2＝25；（2）（x+2）3﹣9＝0．【分析】（1）利用平方根的意义进行计算，即可解答；（2）利用立方根的意义进行计算，即可解答．【解答】解：（1）9（x﹣1）2＝25，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x＝或x＝﹣；（2）（x+2）3﹣9＝0，（x+2）3＝9，（x+2）3＝27，x+2＝3，x＝1．【点评】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根，平方根的意义是解题的关键．10．（2022秋•广陵区校级期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x+1）3﹣8＝0．【分析】（1）根据平方根的定义求解；（2）根据立方根的定义求解．【解答】解：（1）根据题意得x2＝，∴x＝±；（2）根据题意得（x+1）3＝8，∴x+1＝2，∴x＝1．【点评】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．11．（2023秋•昆山市校级月考）求下列各式中x的值：（1）4（x﹣2）2＝36；（2）（x+5）3﹣27＝0．【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）根据立方根的定义解决．【解答】解：（1）4（x﹣2）2＝36，（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x＝2±3，x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x+5）3﹣27＝0，（x+5）3＝27，x+5＝3，x＝﹣2．【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握这两个定义的熟练应用，把（x﹣2）、（x+5）看作一个整体是解题关键．12．（2023秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x+7）3＝﹣27．【分析】（1）先求得x2的值，然后再依据平方根的定义求解即可；（2）直接再利用立方根的定义求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x＝±2；（2）（x+7）3＝﹣27，x+7＝﹣3，x＝﹣10．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．13．（2022秋•沭阳县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，列出方程解出a，再根据b﹣15的立方根为﹣3，列出方程解出b；（2）把a＝4、b＝﹣12代入4a+b计算出代数式的值，然后求它的平方根．【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，∴3a﹣14+a﹣2＝0，解得a＝4，∵b﹣15的立方根为﹣3，∴b﹣15＝﹣27，解得b＝﹣12∴a＝4、b＝﹣12；（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b得4×4+（﹣12）＝4，∴4a+b的平方根是±2．【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键五．无理数（共4小题）14．（2023秋•邳州市期中）下列各数中，是无理数的是（）A．﹣ B．3.14 C． D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意；B、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；C、是无理数，符合题意；D、0是整数，属于有理数，不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．15．（2023秋•苏州期中）在实数，，，3.14159中，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．【解答】解：在实数，，，3.14159中，无理数有，，共2个．故选：B．【点评】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．16．（2023秋•工业园区期中）下列四个数中，无理数是（）A．0. B． C． D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；B．是分数，属于有理数，是故本选项不符合题意；C．无理数，故本选项合题意；D．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．17．（2023秋•姑苏区校级期中）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有2个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【解答】解：＝2，无理数有，2π，共有2个．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．六．实数与数轴（共1小题）18．（2023•崇川区校级开学）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴|a|﹣|b|＜0，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．七．实数大小比较（共2小题）19．（2023•仪征市二模）2，，5三个数的大小关系是（）A．5＜＜2 B．＜5＜2 C．2＜5＜ D．＜2＜5【分析】根据实数大小比较的方法即可求解．【解答】解：2＝，因为24＜25＜27，所以＜5＜，即2＜5＜．故选：C．【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．20．（2023秋•建邺区校级月考）比较大小：﹣1＜3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】估算出的值即可解答．【解答】解：∵9＜13＜16，∴＜＜，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键．八．估算无理数的大小（共6小题）21．（2023秋•苏州期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则2a+b＝+2．【分析】因为2＜＜3，所以的整数部分a＝2，则小数部分b＝﹣2，进一步把代数式化简，代入求值即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴的整数部分a＝2，则小数部分b＝﹣2，∴2a+b＝4+﹣2＝，∴2a+b的值是+2．【点评】此题考查无理数的估算，代数式求值等知识点，注意利用夹逼法得出a，b的值是解答此题的关键．22．（2022秋•邗江区期中）若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．【分析】先利用平方根的意义可得2m﹣1+2﹣m＝0，从而可得m＝﹣1，再利用立方根的意义可得n＝2，然后再估算出的值的范围，从而求出c＝3，最后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，∴2m﹣1+2﹣m＝0，解得：m＝﹣1，∵n是8的立方根，∴n＝2，∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，∴c＝3，∴m+n+c＝﹣1+2+3＝4，∴m+n+c的立方根为．【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．23．（2023春•惠东县期中）已知m＝+，则以下对m的估算正确的（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【分析】先化简m的值可得m＝2+，然后再估算出的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：m＝+＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4．∴3＜m＜4，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值的范围是解题关键．24．（2023秋•淮安区月考）已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的值等于（）A．7 B．9 C．11 D．19【分析】先估算出的取值范围，再求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵16＜18＜25，∴4＜＜5．∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键．25．（2023秋•苏州期中）定义：不超过实数x的最大整数成为x的整数部分，记作[x]．例如，．按此规定，＝﹣3．【分析】先估算出的值的范围，从而估算出1﹣的值的范围，然后根据定义的新运算，即可解答．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴﹣3＜1﹣＜﹣2，∴＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．26．（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4；（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；（2）先估算出的值的范围，从而估算出3+的值的范围，进而求出a，b