高等数学课件

無窮級數第一節數項級數的概念及其基本性質第二節數項級的斂散性第三節冪級數第四節函數的冪級數展開第五節傅裏葉級數第六節週期為2的函數展開成傅裏葉級數第一節數項級數的概念及其基本性質

無窮級數

和微分、積分一樣，無窮級數是一個重要的數學工具.本章包括常數項級數與函數項級數兩部分，介紹無窮級數的一些基本內容，並著重討論如何將函數展開成冪級數以及傅裏葉級數的問題.一、數項級的概念例1

討論等比級數（又稱幾何級數）解解解二、數項級數的基本性質證解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第二節數項級數的斂散性一、正項級數及其審斂法1.比較審斂法根據該定理1，可建立正項級數的一些基本審斂法.解解解2.比值審斂法解二、任意項級的斂散性1.交錯級數及其審斂法解2.任意項級數斂散性解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第三節冪級數一、函數項級數的概念二、冪級數及其收斂性解解解三、冪級數的運算性質解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第四節函數的冪級數展開

冪級數在收斂區間內確定一個和函數，現在討論相反問題，即一個函數是否能表示成冪級數.一、泰勒級數二、把函數展開成冪級數1.直接展開法解解2.間接展開方法

間接展開法是指利用一些已知的函數冪級數展開式通過冪級數的運算性質,將所給函數展開成冪級數的方法.解解解解三、函數冪級數展開式的應用1.近似計算解*2.微分方程的冪級數解法解3.用冪級數表達函數思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第五節傅裏葉級數一、三角級數和三角函數系的正交性二、週期為2π的函數的傅裏葉級數解三、正弦級數和余弦級數解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第六節週期為2的函數展開成傅裏葉級數一、週期為2的函數的傅裏葉級數解二、傅裏葉級數的複數形式

上面介紹的傅裏葉級數一種三角形的表示，在電子學及工程技術上有時採用指數形式的傅裏葉級數比較方便.解思考題答案答案課堂練習題答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回3.近似計算、微分方程的冪級數解法、用冪級數表達函數.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回導數與微分第一節導數概念第二節函數的和、差、積、商的求導法則第三節複合函數的求導法則第四節初等函數的求導法第五節隱函數及參數方程所確定函數的求導法第六節高階導數第七節函數的微分第八節數學實驗三用Mathematica求極限和一元函數的導數1.變速運動的速度第一節導數的概念一、變化率問題舉例2.切線問題

上面兩個例子分別屬於不同領域,一為運動問題，一為幾何問題,但都要求計算函數值的改變量與引數的改變量之比,在當後者無限趨於零時的極限.此外,很多理論或實際問題,也要求計算這種類型的極限,這些量的具體意義，抓住它們在數量關係上的共性,便得出函數導數的概念.二、導數的定義解三、求導舉例解解解解四、導數的幾何意義圖2-2導數幾何意義解解五、函數的可導性與連續性的關係思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第二節函數的和、差、積、商的求導法則

第一根據導數的定義求出一些簡單的導數，但對於比較複雜的函數，直接安定義來求它們的導數往往是很困難的.在本節和下節中將介紹求導的幾個基本法則和基本初等函數的求導公式.

解解解解解解思考題1.牢記函數的和、差、積、商的求導法則;答案答案課堂練習題答案答案第三節複合函數的求導法則

上述定理又稱鏈鎖法則.即複合函數的導數等於複合函數對中間變數的導數乘以中間變數對引數的導數.該法則可推廣到有限次複合形成的複合函數上去.如解解解解解例6

證明導數公式:證解答案答案答案思考題課堂練習題答案答案第四節初等函數的求導法一、反函數的導數為了求反三角函數的導數，先研究一般反函數的求導法.解例2求下列函數的導數：解二、初等函數求導問題1.求導法則2.基本初等函數求導公式思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第五節隱函數及參數方程所確定函數的求導法一、隱函數的導數

有的隱函數可以顯化，有的則不能，不論隱函數是否能顯化，可以直接由方程求出它所確定的隱函數的導數.解二、冪指函數的導數解

在導數運算中,僅有和的導數等於導數的和最簡單,利用對數可以簡化乘積和商及乘方的導數.如例3解三、由參數方程所確定函數的求導法解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第六節高階導數

二階和二階以上導數統稱稱高階導數，自然原來所說的導數就是一階導數.由導數的定義，很容易寫出二階及二階以上導數定義.如高階導數也有許多實際背景.例如，加速度是速度的變化率，因而加速度是速度對時間的導數，但速度本身是路程對時間的導數，所以加速度是路程對時間的二階導數，並把此說成二階導數的一個物理模型.解解解解思考題答案答案課堂練習題答案答案第七節函數的微分一、微分的概念導數表示函數相對於引數變化快慢的程度(導數絕對值大,函數y相對於引數x變化的速度快;小則慢,導數值為零,幾乎無改變),而不是改變量本身,然而在許多情形下,需要考察和估計函數的改變量.

計算函數的改變量一般沒有什麼好竅門,只需兩個函數值相減即可.一般來講,一些複雜函數這樣運算較麻煩,並且又不實際,因為世界上絕對精確的東西是沒有的.所以當引數的改變量很小時,要對函數的改變量進行估計.先看一個實例.解二、微分的運算

按照定義，一個函數的微分就等於它的導數乘以引數的微分，所以由導數便可立刻寫出微分公式，解解解解解三、近似計算解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第八節數學實驗三

用Mathematica求極限和一元函數的導數一、求一元函數的極限1.學習Mathematica的命令Mathematica的求極限命令調用格式為2.理解函數極概念解解解3.求一元函數的極限例4求下列函數的極限：解二、求一元函數的導數1.學習Mathemmatica命令Mathematica的求導數命令調用格式為2.導數概念根據導數的定義，利用Mathematica的求極限命令可以求出函數在任何一點處的導數.Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]解定義函數3.求一元函數的導數例6求下列函數的導數；解解返回返回返回1.證明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回常微分方程初步第一節常微分方程的基本概念第二節一階微分方程第三節高階微分方程的幾個特殊類型*第四節二階線性微分方程第一節常微分方程的基本概念

圖9-1

物體降落示意圖解思考題答案答案答案4.特徵參點答案課堂練習題答案答案第二節一階微分方程在本節中，著重討論幾個簡單形式的一階微分方程的解法.一、可分離變數的微分方程解解解解解二、齊次微分方程解解三、解四、一階線性微分方程解解五、伯努利方程解思考題答案答案答案答案課堂練習題答案答案第三節高階微分方程的幾個特殊類型一、解解二、解解三、解解解思考題答案答案答案課堂練習題返回返回*第四節二階線性微分方程一、解的結構二、常係數二階性微分方程的解法解解解解解解解解解解解解解思考題答案答案課堂練習題答案答案返回返回返回４.返回返回2.驗證：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回多元函數微分學基礎第一節空間解析幾何第二節向量的概念及向量的運算第三節空間的平面、直線及常見二次曲面第四節多元函數的概念第五節偏導數與全微分第六節複合函數與隱函數微分法第七節多元函數的極值和條件極值第一節空間解析幾何圖6-1右手系示意一、空間直角坐標系

建立了空間直角坐標系後，就可以討論間的與三個有序數之間的對應關係.6-2

三個座標面把空間分成了八部分，每部分叫做一個卦限（見圖6-3）.這八個卦限次序規定如下:圖6-2點P位置下麵將平面上兩點間的距離公式推廣到空間（證明從略）圖6-3八卦限示意圖解1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程

一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下麵簡單介紹平面和一些常見的二次曲面方程.圖6-4曲面示意2.平面方程由兩點距離公式知圖6-5例2示意圖解解解3.球面方程圖6-7球面示意圖圖6-6例4示意圖解4.柱面方程圖6-8柱面示意圖解稱這樣的柱面為圓柱面（見圖6-9）圖6-9例5示意圖1.空間曲線及其方程三、空間曲線及方程解2.空間曲線在座標面上的投影解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第二節向量的概念及向量的運算

向量研究數學、物理、力學及工程技術問題的一個重要工具.本節主要介紹向量的概念和向量的基本運算.一、向量的概念

通常遇到的量可以分為兩類：一類是只有大小的量，如長度、面積、溫度、時間及品質等，它們叫作數量或標量.另一類量，不僅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及電場強度等，它叫作向量或向量.二、向量的加法與減法1.向量的加法

由物理實驗可知，作用於一點的兩個不平行力的合力可由可由平行四邊形法則來確定.完全類似，可定義向量的加法.容易證明，向量的加法滿足以下運算規律.2.向量的減法向量的減法是加法的逆運算.三、數與向量的乘法

在實際應用中，常遇到像速度加快了幾倍，力增大了幾倍等問題.速度加快了幾倍，實際上是指速度的大小增大了幾倍，而速度的方向並沒有改變.在數學上，這就是數與向量相乘的問題.四、向量的座標表示法1.向量的座標解解如圖6-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的數量積1.向量的夾解與投影解2.數量積的概念不難驗證，數量積滿足以下運算規律：由數量積的定義還可得出解3.數量積的座標表示式解證六、向量的向量積1.向量積的概念2.向量積的座標表示式解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第三節空間的平面上、直線及常見二次曲面

在第一節中簡單介紹了曲面和空間曲線方程的概念.本節將以向量為工具較系統地介紹平面和空間直線的知識，並對常見二次曲面加以介紹.1.平面的點法式方程

通過第一節的學習知道平面是曲面的一種特殊情形，並得到了平面的一般方程和截距式方程.下麵討論平面的點法式方程.6-236-23一、平面方程及兩平面間的夾角稱上式為平面的點法式方程.6-24解6-24解這就是平面的一般方程.2.兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角叫作這兩個平面的夾角.解1.空間直線的一般式方程

由第一節可知空間曲線可以看成是兩個曲面的交線，因此，空間直線可看成是兩個平面的交線.二、空間直線的方程及其夾角2.空間直線的標準方程解圖6-26例4示意圖解3.空間直線方程一般式與標準式的互換解4.空間兩條直線的夾角兩直線的方向向量之間的夾角叫作兩直線的夾角.在第一節仲介紹了球面和柱面，下麵再介紹幾種二次曲面.1.旋轉曲面

一條兩面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫作旋轉曲面.其中定直線叫旋轉轉軸.在這裏，只討論旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面.三、常用二次曲線及方程下麵，建立該曲面方程.解圖6-28圓錐面2.橢球面橢球面的圖形是什麼形狀呢？下麵用截痕法討論橢球面的具體形狀

因此，球面、旋轉橢球是橢球面的特例.3.雙曲面圖6-30單葉雙曲面4.拋物面圖6-32橢圓拋物面圖6-33雙曲拋物面思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第四節多元函數的概念

在第十四章中，討論了含有一個自變時的函數，即一元函數，但在實際問題中，還會遇到含有兩個或兩個以上引數的函數，這就是本節所要討論的多元函數.在這裏重點介紹二元函數.一、二元函數的定義先看下麵的例子.圖6-34例2示意圖一般地，二元函數的定義如下.解

對於一元函數，一般假定在某個區間上有定義進行討論.對於二元函數，類似地假定它在某平面區域內有定義進行討論.

所謂區域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內任意兩點可用完全屬於此部分平面的折線連結起來.圖6-35區域示意

若區域能延伸到無限遠處，就稱這區域是無界的，如圖6-35(c)所示，否則，它總可以被包含在一個以原點O為中心，而半徑適當大的圓內，這樣的區域稱為有界的，如圖6-30(a)、(b)所示，圍成區域的曲線叫區域的邊界.閉區域：連同邊界在內的區域的曲線叫區域的邊界.開區域：不包括邊界內的區域叫開區域.

為方便使用，將開區域內的點稱為內點，將區域邊界上的點稱為邊界點.解二、二元函數的幾何意義圖6-38例6示意圖三、二元函數的極限和連續性1.二元函數的極限

函數的極限是研究當引數變化時，函數的變化趨勢，但是二元函數的引數有兩個，所以引數的變化過程比一元函數要複雜得多.

二元函數的極限是一元函數極限的推廣，有關一元函數極限的運算法則和定理,都可以推廣二元函數的極限，下麵舉例說明.

解方法一

方法二

這說明，二元函數的極限問題有時可以先轉化為一元函數的極限問題，再求解.解2.二元函數的連續性函數的不連續點稱為函數的間斷點.思考題答案答案答案課堂練習題答案答案答案第五節偏導數與全微分一、偏導數的定義及求法解解證解二、高階偏導數解三、全微分1.全微分的定義解解解2.全微分在近似計算中的應用解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第六節複合函數與隱函數微分法一、複合函數的求導法則1.複合函數的中間變數均是二元函數的情形解2.複合函數的中間變數均為一元函數的情形解解3.複合函數的中間變數既有一元函數又有多元函數的情形解4.複合函數是抽象函數的情形解解二、全微分形式不變性解三、隱函數的求導法解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第七節多元函數的極值和條件極值一、多元函數極值1.極值的定義及求法解2.最大值和最小值解圖6-39例4示意圖二、條件極值解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回多元函數積分學基礎第一節二重積分的概念與性質第二節二重積分的計算第三節二重積分的應用第四節三重積分第五節曲線積分第六節數學實驗五用Mathematica求偏導和計算二重積分第七章多元函數積分學基礎

在本章中，將把一元函數定積分的概念及其性質推廣到多元函數的情形，這就是二重積分、三重積分和曲線積分，積分的範圍不再是定積分中x軸上的一個區間，而分別是一個平面區域、一個空間區域與一條曲線.下麵首先學習有關二重積分知識.二重積分是本章基礎部分，同是也是本章的重點內容.第一節二重積分的概念與性質一、實例1.曲頂柱體的體積圖7-1曲頂柱體圖7-2曲頂柱體劃分2.非均勻薄片的品質二、二重積分的定義三、二重積分的性質解圖7-3例1示意圖解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第二節二重積分的計算

在實際應用時,用二重積分的定義和性質去計算二重積分是十分複雜和困難的.本節將介紹一種實用的計算方法,此種方法主要是把二重積分的計算化成連續計算的兩次定積分,即二次積分.一、在直角坐標系下計算二重積分圖7-4積分區域圖7-6積分區域圖7-7積分區域分割解圖7-8例1示意圖解圖7-9例2示意解方法一解圖7-11例4示意圖a方法二圖7-2例4示意圖b

二、在極坐標系下計算二重積分圖7-14極點在D之外圖7-15極點在邊界上圖7-16極點在D內解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第三節二重積分的應用一、體積解圖7-27例1示意圖解圖7-18例2示意圖解圖7-19例3示意圖二、平面薄片的品質解三、平面薄片的重心解圖7-20例5示意圖解圖7-21例6示意圖思考題答案答案答案課堂練習題答案答案*第四節三重積分*第五節曲線積分一、對弧長的曲線積分1.對弧長的曲線積分的概念和性質圖7-30例1示意圖2.對弧長的曲線積分的計算方法解解圖7-31例3示意圖解二、對坐標的曲線積分的概念和性質1.對坐標的曲線積分的概念和性質例5變力沿曲線所做的功圖7-32例5示意圖2.對坐標的曲線積分的計算方法(7-25)解圖7-33例6示意圖解圖7-34例7示意圖解圖7-35例8示意圖解解三、格林公式圖7-36複連通區域圖7-37格林公式示決圖合併以上兩式即得式（7-21）解解圖7-38例12示意圖四、平面上的曲線積分與路徑無關的條件證證解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第六節數學實驗五

用Mathemtica求偏導和計算二重積分一、學習Mathematica命令Mathematica的求多元函數的偏導數命令與前面學習的求一元函數的導數命令一樣，調用格式為二、偏導數計算解解三、計算二重積分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回導數應用第一節拉格朗日中值定理與函數單調性判定法第二節函數的極值及判定第三節函數的最大值和最小值第四節曲線的凸凹性與拐點第五節函數圖形的描繪第六節洛必達法則第七節導數在經濟問題中的應用第一節拉格朗日中值定理與函數單調性判定法一、拉格朗日值定理上式有幾種不同的寫法.驗證證二、函數單調性的判定性證解解解思考題1.羅爾定理的三個條件是充要條件嗎？能否去掉某個條件？答案2.拉格朗日定理的結論有哪些形式？(舉例至少寫三種形式)答案3.請思考並寫出羅爾定理與拉格朗日定理有何關係？答案課堂練習題答案答案第二節函數的極值及判定定義極值點和導數的關係如何？由圖3-6可知：圖3-6極大值與極小值示意證解解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第三節函數的最大值和最小值

在工農業生產和科學實驗中，常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、效率最高或性能最好等問題，這些問題歸納到數學上，即為函數最大值或最小值問題.解解解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第四節曲線的凸凹性與拐點

解解拐點和二階導數關係如何?解解思考題答案答案課堂練習題答案第五節函數圖形的描繪

借助一階導數的符號,可以確定函數的單調性與極值,借助二階導數的符號可以確定曲線的凸凹性與拐點,知道了這些條件後,可以較準確地做出函數的圖形.描繪圖形的一般步驟如下.解解思考題答案課堂練習題答案第六節洛必達法則解解解解解解解解解

洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結合使用.例如能化簡，可以應用等價無窮小代替或重要極限時盡可能應用，這樣可以使計算簡捷.解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第七節導數經濟問題中的應用一、邊際分析1.邊際的概念—邊際函數2.邊際成本

總成本：某產品的總成本是指生產一定產量所需全部經濟資源投入費用的總額，它由固定成本和可變成本組成.

平均成本：是指生產一定產量的產品時，平均每個單位產品的成本.

邊際成本：是總成本的變化率.（總成本與邊際成本的關係）解3.邊際收益總收益：是生產者出售一定量的產品而得到的全部收入.

平均收益：是生間者出售一定量的產品，平均每出售單位產品所得到的收入，即單位商品的售價.邊際收益：是總收益的變化率.總收益、平均收益、邊際收益均為產量的函數.解4.最大利潤解二、彈性分析1.函數的相對變化率與彈性函數甲產品單位價格10元,提價1元;乙產品單位價格200元,提價1元;兩種產品絕對改變量都是1元,但各與其原價相比,兩者漲價的幅度差異很大,甲提價10%,乙提價0.5%,因此,非常有必要研究函數的相對改變量與相對變化率.解解2.彈性在經濟學中的應用下麵介紹需求、供給對價格的彈性.解解下麵研究一下需求彈性與總收益.

如果某商品為了適應市場需要機時降價時，會不會降低總收益呢？由常識可知，降價必會使單位商品收益減少，但降價又會促進銷量增大，反而可能會使收益增加，於價格的調整是有科學性的.怎樣會受益呢？下麵將作深一步的研究.下麵進一步說明這三類商品的經濟意義解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案返回返回返回1.證明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回一元函數積分學第一節不定積分的概念與性質第二節不定積分法第三節定積分的概念與性質第四節牛頓-萊布尼茲公式第五節定積分的換元法與分部積分法第六節廣義積分第七節數學實驗四用Mathematica計算積分第四章一元函數積分學

微分和積分是高等數學中的兩大基本運算.微分的基本問題是:已知一個函數,求它的導數.但是,在許多實際問題中往往會遇到反問題:已知一個函數的導數,求原來的函數.由此產生了積分學.積分學包括不定積分和定積分兩大部分.第一節不定積分的概念與性質一、原函數證二、不定積分證由導數與不定積分定義，很容易得到如下規律：（微分運算與不定積分的運算是互逆的！）三、不定積分的幾何意義由於不定積分是微分的逆運算，所以根據微分基本公式就得對應的積公式：四、基本的積分公式

以上13個公式是積分法的基礎，必須熟記，不僅要記住等式右端的結果，還要熟悉左端被積函數的形式！

由導數的運算法則和不定積分的定義，可以得到以下不定積分的運算法則.法則1對於有限個函數的代數和也是成立的!五、積分的基本運算法則解解解解解解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第二節不定積分

利用直接積分法能計算的不定積分是非常有限的，因此有必要探索計算不定積分的新方法.本節介紹換元積分法與分部積法、換元積分法可分為第一類換元法和第二類換元法.

第一類換元積分法（又稱湊微分法）是與微分分學中的複合函數微分法則相應的積分法.一、第一類換元積分法注：換元過程可以省略.一般地，若不定積分被積運算式能寫成下麵舉例說明解解解解

以上幾例都是直接用湊微分求積分的，下在介紹幾個常用的湊微分的等式供參考解解解解解解法二解法一二、第二類換元積分法解解解圖4-3輔助直角三角形解圖4-4輔助直角三角形解圖4-5輔助直角三角形圖4-3輔助直角三角形圖4-4輔助直角三角形圖4-5輔助直角三角形

第二類換元法常用於被積函數中含有根式的情況，常用的變數替換可總結如下.

在做三角替換時，可以利用直角三角形的邊角關係確定有關三角函數的關係，按圖做代換及還原.

本節一些例題的結果，可當作公式使用，為便於讀者使用，將這些常用的積分公式列舉如下.

兩類換元法就介紹這裏，歸納起來看，它們的實質就是變數代換，變數代換是求不定積分的最基本的方法之一。因此，善於恰當地利用變數代換是掌握積技巧的關鍵.想要做到恰當,第一要熟悉基本積分公式,因為變數代換最終要化為積分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因為變數代換(或湊微分)時經常用到它,同時要熟具體函數及其微分特徵,這樣才較好地掌握換元積分法.三、分部積分法解解解在此例中,兩次用了分部積分法.解解解解法二解法一解法三

由例22可以看出,求不定積分,常有多種方法,比較靈活,各種解法都有其特點,學習中要注意不斷積累經驗.思考題答案答案課堂練習題答案答案答案第三節定積分的概念與性質1.曲邊梯形的面積

在初等數學中，已經解決了圓、三角形、矩形及多邊形等圖形的面積問題，而對由任意曲線所圍成的一般平面圖形的面積計算問題還未解決，其原因是用初等數學方法是非常困難的.這裏介紹計算曲邊梯形的面積的方法，有了這種方法就可以解決一般封閉圖形的面積問題.一、兩個實例圖4-7求曲邊梯形面積(見圖4—7)2.變速直線運動的路程

以上的兩個實例具有不同的實際意義,但計算這些量時使用的方法是相同的.拋開這些問題的具體意義,由運算式在數量關係上的共同特性,抽象出定積分的概念.二、定積分的定義關於定積分的定義做以下三點說明.三、定積分的幾何意義例1用定積分表示圖4-9中四個圖形陰影部分的面積解4-9(a)4-9(b)4-9(c)4-9(c)(a)(b)(c)(d)解圖4-10例2圖形

由定積分的定義，可以直接推證定積分具有下述性質，其中所涉及的函數在討論的區間都是可積的.性質1被積運算式中的常數因數可以提到積分號前，即性質2兩個函數代數和的積分等於各函數積分的代數和，即（這一結論可以推廣到任意有限個多個函數代數和的情況！）四、定積分的性質性質3對任意點c，有性質4性質5性質6性質7證圖4-11積分中值定理解例4比較下列各對積分值的大小解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第四節牛頓-萊布尼茲公式

定積分作為一種特定和式的極限，如果按定義計算定積分是很複雜、很困難的，所以本節將通過對定積分與原函數的討論，尋找一種計算定積分簡便而效的方法.一、積分上限函數圖4-12積分上限函數幾何意義證

這個定理一方面肯定了連續函數的原函數是存在的，另一方面提供了在定積分與原函數之間建立聯繫的可能性！解解證二、牛頓—萊布尼茲公式解解解解解解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案答案第五節定積分的換元法與分部積分法

前面學習了使用換元積分法求已知函數的原函數，在某些條件下換元積分法也可以用計算定積分.式（4-9）稱為定積分的換元公式一、定積分的換元法在應用定積分的換元公式（4-9）時，應注意解

這一解法沒有引入新的積分變數.計算時，原積分的上、下限不要改變.解解先把被積函數化簡證

在計算對稱區間上的定積分時，如果能判定被積函數的奇偶性，利用這一結果可使計算簡化.解解解圖4-14例7幾何意義

式（4-10）稱為定積分的分部積分法，其方法與不定積分相類似，但其結果不相同.(定積分是一個數值，面不定積分是一類函數！)二、定積分的分部積分法解解解思考題答案答案答案課堂練習題答案答案第六節、廣義積分

前面曾提到，若被積函數在積分區間上有無窮不連續點時，不能應用牛頓-萊布尼茲公式計算.這是因為牛頓-萊布尼茲公式的使用受到以下兩個條件的限制.

為了使定積分的應用更加廣泛，將上述兩個條件放寬，使得公式對積分區間為無窮區間，或被積函數在有限的積分區間上為無界函數的積分也能使用.這兩種積分稱為廣義積分，相應地，前面討論的積分稱為常義積.本書僅討論積分區間為無窮區間的廣義積分.

一般地，對於積分區間無限的情形，給出下麵的定義.

計算廣義積分時，為了書寫方便，實際計算中常常略去極限符號，形式上直接利用牛頓-萊布尼茲公式的計算式（注意