高等代数课件

§1.2一元多項式一.一元多項式的概念二.一元多項式的運算三.多項式的運算性質1.定義2

用f(x),g(x),…或f,g,…等表示多項式.

該定義是文字x的形式運算式,給x賦予不同意義,其多項式意義不同.若x在R中取值時,則f為中學數學中的多項式函數,若x為矩陣,則f是矩陣多項式.如此定義的目的,是研究這些不同對象在代數運算上的共性.一.一元多項式的概念

(P:給定數域)P[x]P定義3

f(x)=g(x),如果係數非零的同次項係數相等.

係數全為零的多項式稱為零多項式,記為0.

an≠0,則an

為(1)的首項,an為首項係數,n為(1)的次數.

零多項式不定義次數,多項式f(x)≠0,則次數記為∂(f(x)).(1)式可用和式符號∑表示為,即求和指標

i可隨意變動,與和式無關.二一元多項式的運算(加法,乘法)三運算性質

(P[x]:係數在P中的多項式全體構成之集合)乘法結合律證明過程驗證:§1.3整除的概念一問題引入二帶餘除法定理三整除概念及判定四整除的性質一問題引入

在P[x]中,多項式乘法的逆運算—

除法並不可普遍進行(有可能除不盡),故兩個多項式是否可以整除,成了多項式之間一種特殊的關係.二帶餘除法定理(餘式定理)整除的概念即判定四整除的性質

P[x]f,g

P

該命題說明,整除性與係數域無關.如果多項式f(x)

在P[x]中不能整除g(x),則在更大範圍內f(x)也不能整

除g(x).

作業:P44習題1.2),習題2.1),習題3.1),習題4.1).

補充:綜合除法§1.4最大公因式1.最大公因式定義2.性質及輾轉相除3.多項式的互素4.相關概念的推廣一最大公因式的定義二性質及輾轉相除法三應用：輾轉相除求最大公因式§1.5因式分解定理問題提出不可約多項式概念不可約多項式性質中學數學中多項式因式分解不可再分無嚴格定義，故此處想從理論上給以研究；多項式分解問題的關鍵是想找到P[x]中不可再分的基本單位是什麼?從而搞清楚多項式的基本結構，這裏體現出人類認識客觀事物的一種數學思想方法；多項式的因式分解與係數域有關.例：x4－4=(x2－2)(x2＋2)在Q上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)(x2＋2)在R上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)在C上已不能再分，故首先要在給定的係數域P上引入不可約多項式的概念,並搞清楚不可約多項式的一些基本性質，進而研究多項式因式分解定理，為進一步的討論奠定基礎.一問題提出定義8

p(x)∈P[x],∂p≥1,若p(x)不能表成P上兩個次數＜∂p的多項式的積，則稱p(x)是數域P上的不可約多項式.

一次多項式始終是不可約多項式，零多項式與零次多項式無可約，不可約的概念；多項式是否不可約與係數域P有關；

f(x)∈P[x],c∈P且c≠0,c和cf(x)稱為f(x)的平凡因式，則有如下命題成立：命題：∂f(x)≥1，f(x)在P[x]上不可約的充要條件是f(x)在P[x]上僅有平凡因式.(即f(x)在P[x]上可約的充要條件是f(x)在P[x]上除了平凡因式外，還有其他因式)。二不可約多項式的概念證明：必要性

設f(x)在P上不可約，假定f(x)在P[x]中有非平凡因式g(x)→g(x)|f(x),∂g≠0,且∂g≠∂f(否則,g(x)是非零常數或f(x)=kg(x),k(≠0)∈P→g(x)=k-1

f(x)=cf(x),均為平凡因式)→f(x)=g(x)h(x),其中0＜∂g,∂h＜∂f,這與f(x)在P上不可約矛盾→

f(x)無非平凡因式.

充分性

設f(x)在P[x]中只有平凡因式→f(x)在P[x]中不能寫成兩個次數低於∂f的多項式的乘積形式→f(x)不可約.□注1：“不可約”與“互素”概念不同.前者是多項式自身屬性的刻畫，後者卻是多項式之間的一種二元關係.

注2：提出一個問題—f,g∈P[x],隨著P的的擴大，f,g的因式有可能增加，那麼共因式會不會增加？（該問題的解決放在以後進行高論）.

三不可約多項式的性質問題討論：問題—f,g∈P[x],隨著P的擴大，f,g的因式有可能增加，那麼公因式會不會增加？或說f,g的最大公因式是否與係數域有關？結論：f,g的公因式不會隨著係數域P的擴大而改變，即f,g的最大公因式與係數域無關.分析：

f,g的公因式都是其最大公因式的因式→問題轉化為：隨P擴大，f,g的最大公因式會不會改變？若最大公因式與係數域無關，則公因式也就不會隨係數域的擴大而改變.

最大公因式是由輾轉相除法求得的，故這裏問題的關鍵是帶餘除法中的商式q(x)，餘式r(x)儘管唯一確定，是否與係數域無關？→事實上，設f,g∈P[x],P

P/→據帶餘除法定理，存在唯一的q,r∈P[x],使得f=qg+r,r=0或∂r＜∂g成立.假定另有q/,r/∈P/[x],使得f=q/g+r/,r/=0或∂r/＜∂g成立,因q,r∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

若f,g∈P/[x],P

P/→據帶餘除法定理,存在唯一的q,r∈P/[x],使得f=qg+r,r=0或∂r＜∂g成立.假定另有q/,r/∈P[x],使得f=q/g+r/,r/=0或∂r/＜∂g成立,由於q/,r/∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

以上討論說明，帶餘除法中的商式，餘式與係數域的改變無關→最大公因式的計算完全由帶餘除法中所得餘式確定,故最大公因式與係數域無關→公因式存在於最大公因式之中,故f,g的公因式與係數域的改變無關（儘管f,g的因式隨係數域的擴大有可能增加）.§1.6重因式一重因式的概念二重因式的判定定義9

p(x)稱為f(x)的k重因式，是指

p(x)不可約;pk(x)|f(x),而pk+1

(x)

不能整除f(x).k=0,p(x)非f(x)的因式；

k=1,p(x)是f(x)的單因式；

k＞1,p(x)是f(x)的重因式.

設f(x)典型分解式為,則pi是

f(x)的ri重因式(ri=1,為單因式ri

＞1,為重因式),i=1,2,…,s.但是，由於無一般方法求f(x)的標準分解式，故需另求途徑解決重因式的判別問題.一重因式的概念二重因式的判定定義設f(x)=

anxn

+an－1xn－1+···+a1x1+a0,規定

f/(x)=nanxn－1+(n－1)an－1xn－2+···

+2a2x+a1為f(x)的一階微商（導數），f/(x)的微商(f/(x))/=f//(x)為f(x)的二階微商等，f(x)的k階微商記為f(k)(x).

簡單性質:1)(f+g)/=f/+g/

；(cf)/=cf/

；

(fg)/=f/g+fg/

；(f

m(x))/=m(fm－1(x)f/(x).

如上定義僅是一種形式的定義，並未賦予微商具體的，如同“數學分析”類似的意義.又f(k)(x)≠fk(x).

∂f=n,則有∂f/=n－1；∂(f(n))=0；f

(n+1)=0.

例f(x)=3x4－5x3＋2x－1，f/(x)=12x3－15x2＋2.1.7多項式函數1多項式函數的概念2多項式函數的判定3多項式函數的根一多項式函數概念二多項式函數的性質

FP[x]f(x)Mf(x)

該定理的意義

設M是數域P上多項式函數f：P→P全體構成的集合→P[x]與M之間是否有一一對應F，即兩個多項式函數會不會定義兩個相同的多項式函數？用定理9可更簡潔的證明該問題→f(α)f(x)

α

復習：集合A到B的雙射的判定a=bAabφ(a)=φ(b)Bφ(a)

φ(b)

證明F是映射：對任意f(x),g(x)∈P[x],f(x)=g(x),即運算式一模一樣→對任意α∈P,f(α)=g(α)→函數f(x)=g(x),故F是P[x]到M的映射.

證明F是滿射：對任意f(x)∈M,顯然確定P[x]中的一個關於文字x的多項式f(x),故F是滿射.

證明F是單射：對任意f(x),g(x)∈M→對任意α∈Pf(α)=g(α)→據定理9可知f(x)=g(x)(f(x),g(x)∈P[x])故F是單射.

綜上所述，P[x]與M之間一一對應.所以數域P上的多項式可作為形式運算式來處理,也可作為函數來處理,並不會產生矛盾性.但是作為不同的概念,它們有一般概念和特殊概念的區別.作業：P45習題17,21,22,23,24,26.三多項式函數的根（補充內容）定理：c是f(x)的根

<=>x－c|f(x)(f(c)=r=0).證明：據帶餘除法定理,存在q(x),r(x)∈P[x],使得f(x)=(x－c)q(x)+r,r=0或

∂r=0，故c是f(x)的根<=>f(c)=(c－c)q(c)+r=r=0<=>f(x)=(x－c)q(x)<=>x－c|f(x).□

該定理說明，可用綜合除法判定c是否為f(x)的根.

結合該部分內容及綜合除法，可解決如下問題：

判斷f(x)在給定數域P中是否有重因式？重因式的重數是多少？例f(x)=x4+5x3+6x2

－4x－8∈Q[x],給出其分解式.歷史回顧:

a0xn+a1xn－1+···+an=0求解是16-18世紀代數學的中心問題,一次、二次方程求解遠古時代已給出公式解,但高次方程很困難，當時提出兩個問題:(1)一般方程是否一定有解？(2)如何求解？

(1)①二次方程ax2+bx+c=0當b2－4ac＜0時無解，Cardan引入複數，解決了二次方程求解問題，即有解問題促進了數系發展；②積分學提出一個問題:實係數多項式是否能分解成實係數一次、二次因式之積，並避免使用複數？歐拉給出斷言，並說明六次以內的多項式都成立，但給不出證明.其證明的關鍵是這樣的多項式至少要有一個根，繼而引出代數基本定理.該定理證明最後是由高斯於1799年給出的(按現代觀點講，證明不完整).(2)如何求解集中兩種方法：①近似解法,已成為計算數學的課題；②根號解，如果方程的根能用方程係數通過有限次四則運算及開方運算求之，則說該方程可用根號求解.對於三次、四次方程,在16世紀已經找到根號求解的一般公式，19世紀，利用加羅瓦理論證實，五次以上的方程不存在用根號表示根的一般公式.1.8複係數，實係數多項式的因式分解1複數域上多項式的因式分解2實數域上多項式的因式分解(代數基本定理)對任意的f(x)(∈C[x],∂f≥1)在C上至少有一個根（或：至少有一個一次因式）.

由該定理可以推出：C上次數大於1的多項式全是可約多項式事實上，據該定理,當∂f＞1時,應有根α1,使得

f(x)=(x－α1)f1(x),若∂f1＞1,又據該定理有根α1,使

f(x)=(x－α1)(x－α2)f2(x),···，如此討論下去,至多∂fn

=1,即fn(x)=x－αn,故重根按重數計,有

下式成立:f(x)=a(x－α1)(x－α2)…(x－αn)(1)

換一說法：C上不可約多項式只有一次多項式.

由如上(1)式可以給出f(x)=xn+a1xn－1+···

+an

根與係數的關係（韋達定理,此處略）.一複數域上多項式的因式分解二實數域上多項式的因式分解評論：代數基本定理是本節討論的理論基礎，在此基礎上肯定了n次方程有n個複根.但這裏並沒有給出求根的具體方法，高次方程求根問題還遠遠沒有解決，其內容構成數學的其他分支，已不是高等代數所要討論的問題.

作业：P48補充題9.10.11.1.9有理係數多項式1本原多項式2整係數多項式的有理根3艾森斯坦因判別法本節要得到的兩個重要事實有理係數多項式在有理數域上的因式分解（或叫可約性）問題→可化歸為整係數多項式在有理數域，甚至整數範圍內的因式分解問題→其關鍵是有理係數多項式求有理根的問題;在Q[x]中存在任意次數的不可約多項式.本節的基本計算類型一求整係數多項式的有理根的計算;掌握判斷整係數多項式在有理數域上不可約的一組充分條件—艾森斯坦因(Eisenstein)判別法

本節的重要概念—

本原多項式一本原多項式

1討論Q上有理係數多項式可約性，只要討論整係數多項式在Q上的可約性.橋樑：二整係數多項式的有理根問題提出：

由以上討論可知,Q上f(x)在Q上的可約性,由f(x)=rg(x)可轉化為Z上g(x)在Q上的可約性.f(x),g(x)在Q上應有相同的因式,故有相同的有理根→求Q上f(x)的有理根化歸為求Z上g(x)的有理根問題,故這裏專門討論整係數多項式的有理根問題.

作業：P46習題27；習題28.2)；4)；

P48習題12；習題14.問題：x4+2在實數域上能分解成一次或二次不可約因式的積嗎？§2.2排列1引言2排列的概念3排列的性質一引言歷史資料：17世紀末，萊布尼茲在研究線性方程組的解時,首先使用現在稱為結式的一個行列式.大約1729年，馬克勞林開始用行列式方法解含2-4個未知量的線性方程組，克萊姆1750年給出行列式求解線性方程組的重要結論，即克萊姆法則.這些早期工作大都是為了研究方程組而利用行列式這一工具，以求得到方程組解的簡潔運算式.對行列式的系統研究第一人是法國人範德邦,而行列式這一名詞則由柯西給出，現今符號是凱萊1841年引進的.東方最早給出行列式概念的是日本人關孝和（早於萊布尼茲）.二排列的相關概念定義1

由1,2,···,n組成的一個有序數組稱為n元(級)排列.n元排列的個數=n!個；理由：組成一個排列的過程分成n步來完成，每完成前一步後,再完成後一步，符合乘法原理，故為n!種方法,即構成n!個排列.123···n稱為自然排列.定義2

排列中，若一對數前後位置與大小順序相反，則稱為一個逆序，一個排列中逆序總數稱為該排列的逆序數.

n元排列j1j2···jn的逆序數記為τ(j1j2···jn),且逆序數為

τ(j1j2···jn)=m1＋m2＋···＋mn,其中mi為該排列中，排在數碼i前面與數碼i構成逆序的個數（即比i大的數碼的個數）.例如:τ(634521)=5+4+1+1+1=12;τ(1726354)=0+1+2+3+2+1=9.定義3

逆序數為偶（奇）數的n元排列稱為偶（奇）排列.23······n-1n□□□······□□nn-1n-2······21

如上例中634521是歐排列，1726354是奇排列.又τ(2431)=

3＋0＋1＋0=4,故2431是偶排列,τ(45321)=4＋3＋2＋0＋0=9,故45321是奇排列.

定义4

交換一個n元排列中某兩數的位置，其餘數不動得到的另一排列的變換稱為一個對換.

例1：2431(經過1,2對換)→1432；2134(經過1,2對換)→1234.

例2：2431(經過1,2對換)→1432(經過1,2對換)→2431.

三排列的性质

1一個對換把全部n元排列兩兩配對，使每兩個排列在這個對換

下互變.

2(定理1)對換改變排列的奇偶性.

3(定理2)任一n元排列與排列12···n都可經過一系列對換而互變，並且所作對換個數與該排列有相同奇偶性.

证明：對n進行數學歸納.1元排列只有一個，命題顯然成立.

假定n－1時結論成立，現證n時結論仍然成立.

设j1j2···jn是n元排列，若jn=n,據歸納假定，n－1元排列經一系列對換可變成12···(n－1),這一系列對換已把j1j2···jn變成為12···n；若jn≠n,對作對換(jn,n),將其變成j1/j2/···jn－1/n，據歸納假定可知結論成立.

相仿地，12···n也可用一系列對換變成j1j2···jn.因為12···n是

偶排列，于是根据定理1，所作對換個數與排列j1j2···jn具有相同的奇偶性.4(定理1推論)全部n(≥2)元排列當中,奇、偶排列的個數相等，各有n!/2個.

证明:由於n≥2,故n元排列中既有偶排列，也有奇排列→設有s

个奇排列，t個偶排列→任取兩個數碼i,j,對s個奇排列每一個都

施行對換(i,j),據定理1，s個奇排列變成s個互不相同的偶排列

→s≤t；同理可證t≤s→s=t,即全部n!個n元排列中，奇、偶排

列各占一半，所以s=t=n!/2.作業：P96習題1-5.一n級行列式的概念二n級行列式的性質§2.3n級行列式一n級行列式的概念補充實例作業：P96習題6；7；8.2),3)；

9；10；11.njihanglieshidexingzhi§2.4n級行列式的性質作業：P98

習題13.1)；2)；4)；6).§2.5行列式的計算一矩陣、矩陣初等變換二行列式的計算性質1任一矩陣經過一系列初等行變換總可變成階梯形矩陣.3階梯形矩陣；矩陣A稱為階梯形矩陣，如果矩陣A的任一行從第一個元素起至該行的第一個非零元素的下方全為零；若該行全為零，則它下麵的各行也全為零.

作業：P98習題14；16.2)；3）.§2.6行列式按一行(列)展開一餘子式代數餘子式二行列式按一行(列)展開作業P99習題15.1)；17.2)；4)；18.1)；3)；5).§2.7克萊姆法則一多重連加號的性質二克萊姆法則三齊次線性方程組的解dckdk資料：克萊姆是瑞士數學家，1704年7月31日生於日內瓦，1752年1月4日去世於法國塞茲河畔的巴尼奧勒.早年在日內瓦讀書，1724年起在日內瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授.他一生未婚，專心治學，平易近人，德高望重，先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、義大利等學會成員.1750年，他在專著《線性代數分析導論》中提出了克萊姆法則.(其實萊布尼茲（1693年）和馬克勞林（1748年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來).評論：cramer法則給出一類線性方程組的公式解，明確瞭解與係數的關係，這在以後的許多問題的討論中是重要的，同時便於編成程式上電腦進行計算.但作為一種計算方法而言要解一個n個未知量、n個方程的線性方程組，要計算n+1個n級行列式，計算量較大.另一方面該公式解對n個未知量，m個方程的一般線性方程組的求解無能為力.作業：P101.習題19.1)；4)；20；P103.補充題4.1)；3)；5).§2.8Laplace定理·行列式乘法規則

（簡介）k級（代數）餘子式的概念Laplace定理行列式乘法規則拉普拉斯（749-1827）：法國數學家，物理學家,16歲入開恩大學學習數學，後為巴黎軍事學院教授.曾任拿破崙的內政部長,後被拿破崙革職.也曾擔任過法蘭西學院院長.寫了《天體力學》（共5卷）,《關於幾率的分析理論》的不朽著作，贏得“法蘭西的牛頓”的美譽.拉普拉斯的成就巨大，現在數學中有所謂的拉普拉斯變換、拉普拉斯方程、拉普拉斯展開式等.他正好死於牛頓死亡的第100年，他的最後一句話是‘我們知之甚少，不知道的卻甚多’.§3.1消元法

一般線性方程組的定義線性方程組的初等變換用消元法解線性方程組齊次線性方程組非零解的討論矩陣初等變換求解線性方程組一

一般線性方程組的定義二線性方程組的初等變換定義1以下變換稱為線性方程組的初等變換.用非零數乘某方程；2.把一個方程的倍數加到另一方程上；3.互換兩個方程的位置.命題1線性方程組的初等變換把線性方程組變成同解的線性方程組.三

用消元法解線性方程組

1.命題2

線性方程組(1)通過方程組的初等變換可變成同解的階梯形線性方程組(5)，其中(1)與(5)分別為：2.線性方程組解的討論依據方程組(5)可以考察方程組(1)的解的情況（因為(1)與(5)同解）：首先考察方程0=dr+1：當dr+1≠0時，方程組(5)無解→方程組(1)無解；當dr+1=0時，分以下情況討論：1）

r=n

時，階梯形方程組這時為其中cii≠0,i=1,2,···,n.由最後一個方程開始，xn,xn-1,···,x1的值可逐一地唯一確定→方程組(6),即方程組(1)有唯一解.

小結：（1）例2說明，一般線性方程組化成階梯形方程組，不一定具有(5)的樣子，但調整某些項的位置，總可化成(5)的樣子;（2）r＞n的情形不可能出現（即始終有r≤n成立）;（3）用消元法解線性方程組的過程：用初等變換化原方程組為階梯形方程組,去掉“0=0”的等式（若存在時）.若剩下的方程當中最後一個等式是0=d的形式，則當d≠0時，方程組無解；當d=0時，方程組有解→在有解的情況下：

r=n時，方程組有唯一解；

r＜n時，方程組有無窮個解.其中，n為未知量個數，r為階梯形方程組中方程個數.四齊次線性方程組非零解的討論

五矩陣的初等變換解線性方程組用初等變換化方程組(1)成階梯形方程組(5)就相當於用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣→解方程組的第一步工作可以通過矩陣來進行，從化成的階梯形矩陣可判定方程組是否有解，有解時，再回到階梯形方程組去求解.作業：P154習題1.1)；3)；5).§3.2n維向量空間作業：P154習題1.1)；2)；4).線性組合（表示）概念及性質；線性相關（無關）的概念；線性相關（無關）的性質；極大線性無關組；§3.3線性相關性一線性組合（表出）的概念及性質

α

ε3

ε2ε1

在幾何空間R3中，對任一向量α=(x,y,z)，均可由單位向量組

ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)線性表示為α=xε1

+yε2+zε3.

集合A上元素之間的二元關係滿足自反性，對稱性，傳遞性時，稱為等價關係.等價關係將A劃分成一些互不相交的子集，這些子集的並恰是A.同一子集的元素有許多相同的性質.二線性相關（無關）的概念

α1

lα3α3α2

kα2定理2的幾何意義：在R3中取s=2,則可由β1,β2線性表出的向量均在β1,β2所確定的平面上，故這些向量共面，即r＞2時，這些向量線性相關；兩向量組α1,α2和β1,β2等價→這兩個向量組在同一平面上.

β2α

β1四極大線性無關組作業：P154習題2.1)；習題4；5；6；7.§3.4矩陣的秩一引入矩陣秩的概念二矩陣的秩與行列式三矩陣秩的計算一引入矩陣秩的概念

二矩陣的秩與行列式定理6r(A)=r當且僅當A中有r階子式不為0，所

有r+1階子式全為0.定理左端意義：A的行（列）向量組中極大無關組所含向量個數為r

個，其餘行（列）向量均可由極大無關組線性表出；定理右端意義：A中至少有一個r階子式不為0，大於r階的子式全為0，刻畫了A的本質屬性.歷史上這正是矩陣秩的最初定義方法；→該定理揭示了兩個概念之間的內在聯繫.三矩陣秩的計算作業：P153.習題7；8；9；10；11；12；13；14；15；P159，補充題1，2，3，4.

以上討論說明：計算矩陣的秩，只要用初等行變換將其化成階梯形矩陣，該矩陣中非零行的個數就是原矩陣的秩；或用初等變換化成階梯形，其左上角非零子式的階數即為原矩陣的秩.

用初等變換化一個線性方程組成階梯形，最後留下來的方程的個數r與變換本身無關，它正是增廣矩陣的秩,該秩r反映了原方程組的本質特徵，即在該方程組所描述的客觀對象中，真正起作用的、相互獨立的條件只有r個.§3.5線性方程組有解判別定理§3.6線性方程組解的結構一齊次線性方程組的基礎解系二一般線性方程組解的結構

一般線性方程組解理論：

1.何時有解？（P137：判定定理7）；

2.解是誰？（P110：對增廣矩陣施行初等行變換方法）；

3.有多少解(解的結構)？（本節問題）.

解的结构：

在有解前提下→解的內在聯繫問題.§4.1矩陣概念的一些背景§4.2矩陣的運算1.矩陣的加法運算2.矩陣的乘法運算3.矩陣的乘方運算4.矩陣的數量乘法5.矩陣的轉置運算一矩陣的加法矩陣加法：

1.具有相同行、列數的矩陣(即同型矩陣)方可相加；

2.同型矩陣A,B的對應元素相加組成同型矩陣A＋B.例.由產地A1，A2調運大米和麵粉到銷地B1，B2，B3的數量（噸）分別如A，B矩陣所示，則調運糧食總量可以由矩陣如下A＋B給出.（見下頁）性質5max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)＋r(B).

特别：r(A)≤r(A,β)≤r(A)＋1，β為非零列向量.證明：矩陣A的最高階非零子式總是(A,B)的非零子式→r(A)≤r(A,B).同理可以推出r(B)≤r(A,B)→

max(r(A),r(B))≤r(A,B).

設r(A)=r,r(B)=t,把A，B分別作列變換化成列階梯形矩陣A，B

,則A，B分別含r個和t個非零列，可設A→A=(α1,···,αr,0,···,0)；B→B=(β1,···,βt,0,···,0),即矩陣(A,B)經過列變換化成為(A

，B)，而(A

，B)中只含有r+t個非零列→r(A

，B)≤r+t→r(A,B)=r(A

，B)≤r+t，即r(A,B)≤r+t.性質6r(A＋B)≤r(A)＋r(B)證明：設A，B均為s×n矩陣，且

A=(α1,α2,···,αn),B=(β1,β2,···,βn).對矩陣(A＋B,B)=(α1+β1,α2+β2,···,αn+βn,β1,β2,···,βn)作列變換：(－1)×cn+i＋ci上，則將矩陣(A＋B,B)化成矩陣(A,B),於是據性質6，就有

r(A＋B)≤r(A＋B,B)=r(A,B)≤r(A)＋r(B).

矩陣加法滿足結合律，交換律；減法作為加法的逆運算，不是一個獨立的運算；矩陣加(減)法中有關秩的性質5，6是不同於我們以往所學代數運算性質研究的兩個獨特的性質，應特別予以重視.矩陣乘法：兩矩陣A=(aik)，B=(bkj)相乘為AB=(cij)A的列數=B的行數，兩矩陣A，B方可相乘；

AB的第i行、第

j

列元素cij等於A的第i行與B的第j

列對應元素乘積的和.

x

·M

y1

y2

x2

x1

θ

φxY實例：將直角坐標系xoy旋轉θ度到x1oy1,再旋轉φ度到

x2oy2.設M點在三個坐標系下的座標依次為(x,y),

(x1,y1),(x2,y2)，利用平面解析幾何的座標旋轉公式有作業：P197，習題1.1)；2.5)；6)；4.3)；P203，補充題1；3.§4.3矩陣乘積的行列式與秩P156習題12作業：P198習題3.2)；5；7；8.§4.4矩陣的逆1.引入概念2.可逆判定及逆的計算3.可逆的性質4.可逆性應用實例一矩陣逆的概念

設Mn(P)={A|A是數域P上的n階矩陣}

；矩陣相仿複數，有加、減、乘運算，是否也可以引入除法運算？→對任意的A∈Mn(P)，AE=EA=A,而對任意的x∈P,1x=x1=x,即n階單位矩陣E與數1起的作用是類似的→當x≠0時，xx－1=1,相仿的，可引入以下概念：定義7-8A(∈Mn(P))稱為可逆矩陣，若存在B∈Mn(P)使得

AB=BA=E

(1)

這時稱B為A的逆矩陣，記為A－1=B.§1.1數域§1.2一元多項式§1.3整除的概念§1.4最大公因式§1.5因式分解定理§1.6重因式§1.7多項式函數§1.8C,R上多項式的因式分解§1.9有理係數多項式§復習及習題輔導§前言§2.2排列§2.3n級行列式§2.4n級行列式的性質§2.5行列式的計算§2.6行列式按行(列)展開§2.7克萊姆法則§2.8Laplace定理（簡介）§行列式復習及習題輔導§3.1消元法§3.2n維向量空間§3.3線性相關性§3.4矩陣的秩§3.5線性方程組有解判別定理§3.6線性方程組解的結構§4.1矩陣概念的背景§4.2矩陣的運算§4.3矩陣乘積的行列式與秩§4.4矩陣的逆二次型的矩陣表示一、問題提出二、概念及性質三、矩陣的合同一問題提出

平面解析一次曲線：Ax+By+C=0(直線)；二次曲線：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F→經平移變換化成為au2+buv+cv2=d→經旋轉變換化成為a/x/2+b/y/2=d/(二次齊次多項式)→可根據二次項係數確定曲線類型（橢圓、拋物線、雙曲線等）；

空間解析一次曲面：Ax+By+Cz+D=0(平面)；二次曲面：（平移後不含一次項）→Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世紀上半期表示方法)→通過方程變形，選定主軸方向為坐標軸，可化簡為a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/→據二次項係數符號確定二次曲面的分類

更一般的問題：數域P上含n個變數x1,x2,…,xn的二次齊次多項式如何化成平方和形式，即標準型問題，是18世紀中期提出的一個課題→本章中心問題:

n元二次型化標準型（平方和）的問題.二次型的概念及性質定義1數域P上n元二次齊次多項式（近代表示式）

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn

+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

+a33x32+…+2a3nx3xn

……………+annxn2

稱為P上n元二次型，簡稱二次型；當P=R時，為實二次型、當P=C時，為複二次型.*1

f(x1,x2,…,xn)是

Pn→P的n元函數；*2

f(x1,x2,…,xn)=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn

+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn

……………+an1xnx1+an2xnx2+…+annxnxn=f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn

+a22x22

+…+2a2nx2xn

…………+annxnn.

*3

性質：

1)

在二次型

f(x1,x2,…,xn)=X/AX中，矩陣A為對稱矩陣；

2）把一階矩陣A=(a)看成數a,則一元二次型

f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX；

3)

數域P上，f(x1,x2,…,xn)與n階對稱矩陣一一對應.證明分析：由*2可知，任一二次型都對應某對稱矩陣A，即*2給出對應法則σ：f(x1,x2,…,xn)→A.設f(x1,x2,…,xn)在σ下對應的對稱矩陣為A，B，即f(x1,x2,…,xn)=X/AX=X/BX，故知

A=B，即σ是n元二次型與n階對稱矩陣之間的映射.

設A是數域P上任一n階對稱矩陣，則X/AX的展開式顯然是數域P上的n元二次型，即σ是滿射，而σ為單射則是顯然的，故σ是雙射.□2

線性替換

平面解析中，當座標原點和中心重合時，有心二次曲線一般方程為ax2+2bxy+cy2=f

(例：13x2–10xy+13y2=72),將坐標軸逆時針旋轉θ0(例：450),即有座標旋轉公式

y

y/x/x定義2將變數x1,x2,…,xn用y1,y2,…,yn線性表示的變換稱為由x1,x2,…,xn到y1,y2,…,yn的線性替換（簡稱變數的線性替換）.*1

線性替換的矩陣表示：X=CY，C稱為線性替換(4)的矩陣；當C可逆時，稱(4)為非退化（可逆）線性替換；C不可逆時，稱(4)為退化（非可逆）線性替換，其中

*2

性質：

4)

若C可逆，則X=CY是可逆線性替換，且Y=C－1X也是可逆的線性替換；

5)

f(x1,x2,…,xn)=X/AX

是P

上的n

元二次型，經線性替換

X=CY

化成f(x1,x2,…,xn)=Y/BY，則B=C/AC.證明：f(x1,x2,…,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY.由於B/=(C/AC)/=C/A/C//=C/AC=B→Y/BY是P上n元二次型，且B=C/AC成立.□6)二次型的秩在變數的線性替換下保持不變（性質5的推論）證明：如5),線上性替換X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY→B=C/AC,C可逆→A，B的秩相同，即二次型X/AX與Y/BY的秩相同→題設結論成立.□

性質5給出矩陣之間的一種相互關係，故引入以下概念→三矩陣的合同關係定義2

數域P上n階矩陣A，B

稱為合同的，如果存在P上的n

階可逆矩陣C，使得B=C/AC.*1合同的性質：

7)

矩陣合同是Mn(P)={A│A為P上n階矩陣}上的等價關係,即

(1)合同具有自反性（A=E/AE，即A與A合同）；

(2)合同具有對稱性（B=C/AC→A=(C－1)/BC－1）；

(3)合同具有傳遞性（A1=C1/AC1，A2=C2/A1C2→A2=C2/(C1/AC1)C2=(C1C2)/A(C1C2)）.8)線性替換X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY,因B=C/AC,故：X=CY為可逆線性替換時，二次型X/AX與Y/BY的矩陣合同;→為用矩陣來研究這類二次型的變換奠定了基礎，提供了思路；

9)

合同的矩陣具有相同的秩；

10)

與對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱矩陣.

證明：

9)

設A,B合同，即B=C/AC,且C可逆，故A,B同秩.

10)

設A/=A，B=C/AC，C可逆→

B/=(C/AC)/=C/AC=B.□*2為什麼在變換二次型時，總要求用非退化的線性替換（即C為可逆矩陣）？

事實上，當X=C/Y是非退還的線性替換時，可得

Y=C－1X成立，故原二次型X/AX與變換後的二次型Y/BY是可以互化的，這樣就使我們從變換所得二次型Y/BY的性質可以推知原來二次型X/AX的性質.

作業：P232習題1(Ⅰ)中2),4),6)；習題2.§5.2標准型

中心問題：討論用非提化的線性替換化二次型成最簡形式，即平方和的形式：d1x12+d2x22+…+dnxn2證明：（配方法）對n

進行數學歸納.n=1：f(x1)=a11x12,已是(1)的形式，命題成立.

假定n－1時命題成立，現證n時命題成立.

分以下情形討論：

1)aii

(i=1,2,…,n)中至少有一個非0，如a11≠0→定理1

數域P上任一二次型都可經過非退化的線性替換變成平方和的形式

d1x12+d2x22+…+dnxn2(1)f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn

+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

…+annxn2a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn=a11[x12+2a11－1(a12x2+a13x3+…+a1nxn)]*A2+2AB+B2=(A+B)2

2)所有aii

=0(i=1,2,…,n),但至少有一個a1j≠0(j=2,…,n)→不失普遍性，不妨設a12≠0→令定理2數域P上任一對稱矩陣合同於對角矩陣P上n元二次型全體Mn(P)Af(x1,…,xn)X=CYB=C/AC

B

定理2的意義：化n元二次型X/AX成標準型問題尋找一個可逆矩陣C，使得A與對角矩陣D在C下合同（D=C/AC），而定理2說明這樣的C一定存在→如何找到這個C即為進一步要解決的問題：C=?時，B=D？§5.3唯一性二次型的秩複二次型實二次型問題提出：二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3－6x2x3經過不同的線性替換，其結果不同→X=C1W下，f=2w12－2w22+6w32；

X=C2Y下，f=2y12－2－1y22+2×3－1y32.其中P上n元二次型全體Mn(P)Af(x1,…,xn)X=CYB=C/AC

B

回顧上一節內容，有以下事實成立：

同一二次型在不同線性替換下的矩陣合同.C=?時，B=D？

X=C1WB1n元二次型全體Mn(P)

Af(x1,…,xn)X=C1WD1D2

X=C2Y

問題：同一二次型f在恰當的可逆線性替換下的矩陣是對角矩陣，但不同的這樣的可逆線性替換下的對角矩陣不同，即所化成的標準型不唯一.問題：如何處理，可將二次型所化成的標準型唯一確定？

一二次型的秩*1A，B(∈Mn(P))合同↔存在可逆矩陣C，B=C/AC→因C可逆，故r(A)=r(B)

，即合同矩陣的秩相等；*2原二次型X/AX經X=CY(C可逆)化成新二次型Y/BY,則A，B合同→新、舊二次型的矩陣秩相同，即可逆的線性替換不改變原二次型的矩陣的秩，該秩刻畫了二次型的一種本質屬性→引入以下概念：1.定義：二次型f(x1,x2,…,xn)=X/AX中矩陣A的秩稱為二次型f的秩；2.性質：1)可逆線性替換不改變二次型的秩；二複二次型（複數域C上的二次型）1.規範型：z12+z22+…+zr2稱為複二次型的規範型.2.定理3

任一複二次型經適當的可逆線性替換可化成規範型，且規範型唯一.*該定理的矩陣語言描述：任一秩為r的複對稱矩陣合同於一個對角矩陣證明：設複二次型f=X/AX,r(A)=r→存在可逆線性替換X=C1Y(C1可逆),使f=X/AX=(C1Y)/A(C1Y)=Y(C1/AC1)Y=d1y12+…+dryr2(di=1,…,r,1≤r≤n)→取可逆線性替換3.兩複對稱矩陣合同的充要條件是其秩相等(複對稱矩陣按合同關係可分為n+1個不同的類)；複二次型共有n+1個不同的類型,其秩為決定因素.三實二次型z12＋…＋zp2－zP+12…－zr2

稱為實二次型的規範型→規範型完全由p,r所確定

(其中r為二次型的秩，它確定了規範型中非零項的個數，p確定了規範型中正、負項的個數）.

定理4（慣性定理）任一實二次型經適當的可逆線性替換可化成規範型，且規範型唯一.慣性定理的意義定義3

實二次型的規範型中正平方項的個數p稱為該二次型的正慣性指數；負平方項的個數r－p稱為該二次型的負慣性指數；其差p

－(r－p)=2p－r稱為該二次型的符號差.*1實二次型的標準型雖不唯一，但由於標準型到規範型的變換中，非零項的個數，正(負)項個數並未發生變化→據慣性定理中規範型的唯一性可知：實二次型的標準型中的非零項個數及正(負)項個數由秩和正(負)慣性指數唯一確定，即在不考慮係數數值差異的前提下，實二次型的標準型唯一確定；*2定理3、4的矩陣語言描述→定理5：*3稱二次型X/

AX

與Y/BY

可互