三角函数第一章复习

第一章三角函数复习同角三角函数基本关系式三角函数的图像和性质诱导公式任意角的三角函数弧度制与角度制任意角的概念应用应用(扇形弧长与面积公式)知识结构1.1.1任意角知识树象限角终边相同的角零角负角正角任意角1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边零角1.1.1任意角的概念3、终边相同的角2、在坐标系中讨论角象限角结论：所有与α终边相同的角的集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}终边相同的角:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}注意：①

k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等。反之，相等的角的终边一定相同（终边相同的角与相等角的区别）④k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；注意：这是一类角，有无穷多个，共同特征是它们的终边位置相同，所以可以构成集合。类型1：终边相同的角及象限角1.已知α＝－1910°，(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角，(2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.[分析]解答本题(1)用α除以360°，使余数为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相同角的定义，用公式α＋k·360°列不等式求解．

角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}终边落在坐标轴上的角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}象限角角集合表示锐角{α|0°<α<90°}0°～

90°{α|0°≤α<90°}小于90°的角{α|α<90°}第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}锐角、0°～

90°的角、小于90°的角、第一象限角的区别锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的关系用Venn图表示，如图所示．跟踪练习

类型2：判断角所在的象限[分析]由角α为第二象限角，可求出α的范，进而求出2α和的范围，然后讨论角所在的象限．讨论依据是：相差360°的整数倍的角的终边相同．

作业：

角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式类型3：终边落在直线上的角1.若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合．跟踪练习[分析]

函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角，进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．区间角是指终边落在坐标系的某个区域内角．其写法可分为三步：类型4：区间角的表示(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．

1.若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为________．跟踪练习1.1.1弧度制知识树弧长公式扇形的面积公式弧度制表示任意角角度制1、弧度的定义:︱α︱=lr2、弧度与角度的换算:180°=πrad3、弧长公式：4、扇形面积公式：1.1.2弧度制

特殊角的角度数与弧度数的对应表角度

弧度

0

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起

关系：每一个角都有唯一的一个

(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，第一个实数也都有唯一的一个

(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．角α终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}x轴{α|α＝kπ，k∈Z}终边落在坐标轴上的角y轴非负半轴y轴非正半轴y轴坐标轴终边落在坐标轴上的角角α终边所在象限集合第一象限第二象限第三象限第四象限象限角

1.把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度

类型1：弧度制与角度制的互换

1.已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[分析]正确使用扇形弧长公式及面积公式．类型1：弧长和扇形面积公式的应用1.1.1任意角的三角函数知识树各象限内三角函数的符号三角函数线单位圆定义诱导公式一一般定义三角函数定义1.一般定义2.单位圆定义三角函数定义域3.三角函数定义域RR3、任意角的三角函数在各个象限的符号xyocosxysinxyotan++––++––++––一全正，二正弦，三正切，四余弦.o正弦函数在第I、

Ⅱ象限及y轴正半轴上为正余弦函数在第I、Ⅳ象限及x轴正半轴上为正正切函数在第I、Ⅲ象限为正3、终边相同的角的三角函数值（公式一）：终边相同的角的同名三角函数值相等.4、三角函数线类型1：求某一个角的三角函数值

例2.求

的三角函数值解法一：用一般定义解法二：利用单位圆解法三：利用诱导公式

类型2：三角函数值在个象限的符号

3、已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角类型3：三角函数的诱导公式（一）

例题.求下列三角函数的值类型3：三角函数线例题.利用三角函数线比较下列各组数的

大小

（1）与（2）与

1.2.2同角三角函数的基本关系知识树同角三角函数基本关系化简求值证明三角函数定义1.同角三角函数的基本关系

平方关系：商数关系：注意：

类型1：同角三角函数的基本关系式

[分析]先考虑利用平方关系求出cosα，再利用商数关系求出tanα.

类型2：整体代入求值类型3：三角函数式的化简与证明

类型4：与方程有关的三角函数问题

例、已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求：(1)sin3θ＋cos3θ；(2)tanθ＋cotθ.[分析]根据根与系数的关系，表示出a与sinθ·cosθ间的关系，然后利用(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ求出a值，最后再求(1)、(2)的值．1.1.1三角函数的诱导公式知识树公式六综合应用公式二三角函数诱导公式公式三公式四公式五第一象限第三象限第四象限第二象限第一象限第二象限sincostan奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”是指等式两边的三角函数当k为偶数为同名，当k为奇数时为异名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号．诱导公式作用公式一将角转化为0~2π求值公式二将0~2π的角转化为0~π的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0~的角求值公式五实现正弦和余弦的互相转化公式六实现正弦和余弦的互相转化诱导公式的作用类型1：直接求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

类型2：条件求值问题解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．

类型3：三角函数的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：

sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；类型4：三角函数式的条件求值问题

例、已知，求