几何中的旋转问题

熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样.利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果.TOC\o"1-5"\h\z例图1中以^ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE E及正方形ACFG，连结BG、CE. /求证：(1)BG=CE；(2)BG±CE. \、/BC图I分析：一般的证法是证明AABG与^AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG±CE.本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分图21、90°角旋转图2例1如图2,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且ACEF的周长是2.求ZEAF的大小。解：将^ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E-E'，由条件^CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+DF=2，且显然有BE=DE，，故CE+CF+FE'=2.从而必有EF=FE'，又AE=AE'，AF=AF，故△AEF丝△AE'F，..•必EAF=E'AF，又从作图知必EAE'=90°，故必EAF=45°。

例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=1,PB=2,PC=3，求：（1）NAPB的度数；⑵正方形ABCD的面积.分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形.但是当把AABP按顺时针方向旋转90。后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形.解：⑴将AABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则AABP£△CBQ且PB±QB.于是PB=QB=2a，PQ=\：PB2QB2=2侦2a.在^PQ。中，，」PC2=9a2，PQ2+QC2=9a2.:.PC2=PQ2+QC2..*.ZPQC=90°..•.△PBQ是等腰直角三角形，.\ZBPQ=ZBQP=45°.故ZAPB=ZCQB=90°+45°=135°.（2）VZAPQ=ZAPB+ZBPQ=135°+45°=180°，・.・三点A、P、Q在同一直线上.在Rt^AQC中，AC2=AQ2+QC2=（a+2、：2a）2+a2=（10+4^2）a2.正方形BCD"正方形BCD"2AC2=（5+2、2）a2.思考例2中，如果把ACBP绕点B逆时针方向旋转90。得^ABM,怎样解以上问题？（答:⑴APBM是等腰直角三角形，且由勾股定理的逆定理得NAPM=90°;⑵过点B作BN±AP，垂足为N.则PN=BN=7&，于是在^ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积.）

2、60°角旋转.例1如图3,分别以^ABC的边AB、AC为一边向外作等边三 一力角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、\ 云片「7CD的中点。求证：AAMN是等边三角形。 产 -学证明：由条件可知，AADC绕点A逆时针旋转60°^AABEO 图3即线段CD绕点A逆时针旋转60。得BE中点M,故AN=AM,ZNAM二60。，即^AMN是等边三角形。图4例2如图4,P是等边三角形ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5.求NAPB的大小。图4解：将^APC绕点A顺时针旋转60°,由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形一边与AB重合。设P旋转后为P'，则^APP'的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5,又PB=4,故pp'2+PB2=PzB2.从而△P'PB是以NP'PB为直角的直角三角形，从而ZAPB=ZAPPZ+NP'PB=60°+90°=150°。TOC\o"1-5"\h\z例3如图，在凸四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC.证 A明:BD2=AB2+BC2. 口分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因 /此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中. 常：E证:连接AC.VAD=DC,ZADC=60°,.•.△ADC是等边三角形.故将ADCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得AACE.连接BE.于是△DCB丝AACE且CB=CE,ZBCE=60°..△BCE是等边三角形，.・・BC=BE，NCBE=60°.VZABC=30°, .\ZABE=90°.故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.

练习.已知：如图，M是等边^ABC内的一个点，且MA=2cm,MB=2\3cm,MC=4cm，求：AABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1如图，在AABC中，NACB=90°，NA=25°，以点C为旋转中心将AABC旋转a角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A^上.求旋转角a的度数.分析:将AABC旋转到点B落在A1B1±的特殊位置时，即确定了旋转角a的大小.于是ZA1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角a.解:^△ABC^^A1B1C（旋转前后的图形全等）..•MANA］且CB=CB1.VZADC=ZA1DB，/.ZA1BD=a.在^ABC中，NABC=90°—25°=65°.VZBCB1=a（对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）.・・・ZCBB=1（180°-a）12・.•点％、B、B1在同一直线上，・.・a+65+1（180-a）=180.解之得a=50°.思考例1中，若ZA=e，那么a与。有何数量关系？（答：a=20）二、按计算要求进行区分1、求角度例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10，求ZAPB

分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将AAPC绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB， 图1 图2从而可得ZAPB=ZAPF+ZBPF，然后设法求出ZAPF>ZBPF的度数即可。解：将AAPC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB，连接FP（如图2）,则FB=PC=10,FA=PA=6,ZFAP=60°OA^FAP是正三角形，FP=PA=6,在&BF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2,AZBPF=90°，ZAPB=ZAPF+ZFPB=60°+90°=150°。例2、如图所示，AABC中，ZACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A’B’C，则ZAB'C的度数是.分析：根据旋转的性质可以知道ZBCB‘是旋转角，它的度数应该是30°，ZAB'C可以看成是ZACB和ZBCB'的和，所以ZAB'C=120°+30°=150°o答：ZAB'C的度数是150°。BD2、求线段间的关系或长度BD例1（旅顺）操作：如图3，^ABC是正三角形，△BDC是顶角ZBDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知ZDBA=ZDCA=90°，BD=CD，于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到ADCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。解：•・•△/C为正三角形，.・・ZBC=ZACB=60°，又・..ZBDC=120°，DB=DC，..・ZDBC=ZDCB=30°。・・・ZDBM=ZDCN=90°。于是将△DBM绕D点顺时针

旋转120°到ADCP位置，则BM=CP、DM=DP、ZMDP=120°,又VZMDN=60°,AZPDN=60°,AZPDN=ZMDN,VDN=DN,/.AMDN^APDN,AMN=NP=NC+CP,ABM+NC=MNo答：NAB'C的度数是150°。例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH,EF交AD于点H，那么DH的长是.分析：由旋转的性质可以知道NBFC=NDCG=30°，所以NFCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知ZF=ZD=90°，FC=DC，HC是RtAFHC和RtADHC公共的斜边，根据HL公理可以判断RtAFHC^RtADHC，所以ZFHC=ZDHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2，即DH2+DC2=（DC》，因为DC=3,所以DH=*。答：DH的长是、3。图33、求面积图3G"II「Al\JCDC例1、如图4，AABC是等腰直角三角形，D^AB的中点，AB=2,扇形ADG和BDH分别是以AD、G"II「Al\JCDC分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形DH和ABDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和解：将扇形BDH和ABDC绕D点顺时针图4图5旋转180°变成图5o••・S「S半圆-Saaef=2nX12-2x12=2(nT)o例2、如图所示，AAOB中，OA=3cm,OB=1cm，将AAOB绕点O按逆时针方向旋转90°到AA’OB’，那么AB扫过的区域的面积是。分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①+③转化为①+②，而区域①+②的面积二扇形OAA’的面积一扇形ODD’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①+②的面积=10A2x兀一上OD2x兀=2兀cm2。4 4答：AB扫过的区域的面积是2兀cm2。4、进行图形分割例4（厦门）如图6,在四边形ABCD中，ZA=90°，ZABC与NADC互补。（1）求NC的度数；（2）若BC>CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。图6析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解;第（2）问则ZABC+ZADC=180°，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够图6拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由ZC=90°，又AB=AD，因此猜想过点A作AE±BC于E，又得一个直角。把AABE绕点A逆时针旋转90°，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。5、构造平行四边形例5（天津）如图8,已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”

填空)。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。TOC\o"1-5"\h\z分析：本题旨在通过操作与几何说 :理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知 1 "g 1- SGcBWC识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进行区分1、正三角形类型在正AABC中，P为AABC内一点，将AABP绕A点按逆时针方向旋转600使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PCM条线段集中于图(1-1-b)中的一个小P'CP中，此时△P'AP也为正三角形。图（1-1-b）图（图（1-1-b）例1.如图：(1-1)：设P是等边AABC内的一点，PA=3，PB=4,PC=5,则匕APB的度数是.

图（1-1） 图（1-2）简解：在AABC的外侧，作/BAP'=/CAP,且AP'=AP=3，连结P’B。则ABAP'^ACAP。易证AAPP'为正三角形，APBP'为RtA・../APB=/APP'+/P'PB=60°+90°=150。2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将AABP绕B点按顺时针方向旋转90。,使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ACPP'中，此时ABPP'为等腰直角三角形。图（2-1-a） 图（2-1-b）例2.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2,PC=3。求此正方形ABCD面积。图（2-1） 图（2-2）简解：作AAED使/DAE=/BAP，AE=AP连结EP，则AADE^AABP（SAS）同样方法，作ADFC且有ADFC丝ABPC。易证△EAP为等腰直角三角形，又..・AP=1.•.pe=*2同理，PF=3如2/EDA=/PBA,/FDC=/PBC又/PBA+/PBC=9Oo・../EDF=/EDA+/FDC+/ADC=90。+90。=180。..•点E、D、F在一条直线上。・.・EF=ED+DF=2+2=4，在AEPF中，EF=4，EP=V2,FP=3<2由勾股定理的逆定理，可知△EPF为RtA•S正方形ABCD ^RtAEPF^RtAEPA^RtAPF^ 22例3.如图(3-1)正方形ABCD中,边长AB=%3，点E、F分别在BC、CD上，且/BAE=30。,/DAF=150。求AAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)图(3-1)简解：延长CB至F使得BF'=DF，连结AF，则RtAABF丝RtAADF(SAS)。•/FAE=300+150=450，/FAE=900-300-150=450易证AFAE丝AFAE(SAS)/F'EA=/FEA=600，・/FEC=600,•.在RtAABE中，AB=\'3，/BAE=300BE=1,CE=%3-1,FE=2CE=2(%3-1),•EF'=EF=2(l3-1)所以,SA曲F=S△af’E=2AB，EF'=2X、'3X2(J3-1)=3-、''33、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形AABC中，/C=Rt/,P为AABC内一点，将AAPC绕C点按逆时针方向旋转900,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个AP'CP为等腰直角三角形。

图（3-1-b）图图（3-1-b）例4.如图（4-1），在AABC中，/ACB=90。，BC=AC,P为AABC内一点，且例4.PC=2。求/BPC的度数。图（4-1）图（4-1）简解:在RtAABC的外侧，作/BCP'=/ACP,且CP=CP=2,连结P'P。简解:则ABCP'^AACPo易证RtACPP'为等腰直角三角形，在APBP'中，BP'=3,BP=1,PP'=2*2，由勾股定理的逆定理可知，△P'PB为Rt△为RtA,/P'PB=900・../BPC=/CPP'+/P'PB=45o+90°=135。例5.如图（5-1）,在AABC中，/BAC=9。。，AB=AC,AABC内一点0,AO=2cm，如果把AABO绕A点按逆时针方向转动9Oo,使AB与AC重合，则0点经过的路径长为图（5-1）例6.如图（6-1），五边形ABCDE中，/ABC=/AED=90。，AB=CD=AE=BC+DE=1,则这个五边形ABCDE的面积等于o（2003年宁波市至诚杯竞赛题）

图（6-1） 图（6-2）简解：延长DE至C使得EC=BC,连结AC',则AAECE^AABC（SAS）•.・AB=CD=AE=BC+DE=1,.・・CD=C'DZ.ACAD^AC'AD（SSS）・・・Sabcde=2SM，da=2x（2x1xDM4、三角形与圆混合类型将ACAD绕A点按顺时针方向旋转60。到ABAD',经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时匕D'BD是个平角，AADD'为正三角形。ADDDADDD图(3-1-b)图图(3-1-b)例7.如图（7-1），正三角形ABC内接于。0,P是劣弧BC上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为.图(7-2)图(图(7-2)简解：延长PB至P'使得P'B=PC，连结AP',则AAP'B^AAPC（SAS）...AP'=AP，/P'AB=/PAC,又.../BAC=6Oo..・AP'AP为正三角形四边形abpcwp四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解（即执果索因）.例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与RtAACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2,ZBAC=6Oo,若把RtAACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得AA'B，C'，AB分别与A'C，A'B‘相交于D、E,如图（乙）所示.⑴.AACB至少旋转多少度才能得到△A'B'C'?说明理由.⑵.求△ACB与△A'B'C'的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（若取近似值，则精确到O.1)解：(DLACGF是正方形，A'B'经过点F，.・.A'C=CF.XVZA'=60°,..・AA'CF是等边三角形.又...ZA'CF=60°・.・ZACA'=90°—60°=30°,AAABC至少旋转30。才能得到AA'CB'.(2)ZACA'=30° ,ZBAC=60°,AZA'DE=90°.又AC=2，可求得CD=(3.AA'D=2一扣'3.在RtAA'DE中，DE=A'Dtan60°=(2—_73)•^3=273—3.

・.・AAZDE的面积为：1A'D-DE=1(2—\3)•(2*—3)=|3-6.又A'B'=4,A'F=2,・F是A'B'的中点.・.・AA'CF的面积=1^ABC的面积，而B'C=A’C•tan60°=2侦3,・•・S=-X2X2<3=2/3,S *'3AABC2 AACF7,=一.=7= 5=・ 四边形DCFE的面积为：w'3—(—\:3—6)=侦3——<3+6=6一—。3(若取近似值，则结果应约为1.7.)2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.例2:(衡阳市)已知，如图2,平行四边形ABCD中，AB〃CD,AB=1,BC=3，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.⑴证明：当旋转角为900时，四边形是平行四边形；⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.解:⑴证明：当ZAOF=900时，AB〃EF，又VAF#BE,.•・四边形ABEF为平行四边形.⑵VAO=CO,ZFAO=ZECO,ZAOF=ZCOE..・.AAOF丝ACOE.・AF=EC.⑶四边形BEDF可是是菱形.理由:如图2,连接BF、DE.由(2)知^AOF丝ACOE.得OE=OF,AEF与BD互相平分.当EF±BD时,四边形BEDF为菱形.在RtAABC中』。=\5^1=2,・OA=1=AB.又AB±ACAZAOB=45。，AZAOF=45。.・.・AC绕点O顺时针旋转45。时,四边形BEDF为菱形.3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探

索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.例1.（河北）如图1—1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点。（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转.（1）如图1—2,当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图1—3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成G图1—G图1—3分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN.然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然^OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.解：（1）BM=FN.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，:.ZABD=ZF=45°，OB=OF.又•.・ZBOM=ZFON， △OBM^OFN.・•・BM=FN.（2）BM=FN仍然成立.证明：•△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，・.・ZDBA=ZGFE=45°，OB=OF.AZMBO=ZNFO=135°.又VZMOB=ZNOF, .•・AOBM^AOFN.・•・BM=FN.评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2.（黑龙江鸡西）已知NAOB=90Q在ZAOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点c旋转到cd与oa垂直时（如图1），易证：od+oe=V2oc.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.图2-1 图2-2 图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但ZAOC和ZCOE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：od+oe=./2oc.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.ACPD^ACQE，DP=EQ.OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.又0P+0Q^.20C，即od+dp+oe-eq=/2oc.・•・od+oe或0C.图3结论：0E-0D^'20C.评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点:

在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量;再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.练习部分练习部分一、选择题1、（2009年泸州）如图1,P是正^ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则NPBP’的度数是 （ ）2、（2009年陕西省）如图，ZA0B=90°,ZB=30°,^A,OB’可以看作是由△AOB绕点TOC\o"1-5"\h\z0顺时针旋转a角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角a的大小可以是 （）A.30° B.45° C.60° D.90°3、 （2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将AAB0绕点。按顺时针方向旋转90°，得△A'B'O，则点A的坐标为（ ）.A.（3，1）B.（3，2）C.（2，3）D.（1，3）4、 、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.等腰梯形 B.平行四边形 C-正三角形 。.矩形5、 （2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ）A.N B.AC.MD.E6、 （2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符

TOC\o"1-5"\h\z合条件的是（ ）DCA.等腰三角形 B.正三角形 C.等腰梯形 D.菱形DC7、如图，在RtAABC中，ab=AC,D、E是斜边BC上两点， 且ZDAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90。后，得到△AFB，连接BEEF，下列结论：©△AED竺^AEF、②△ABE竺^ACD;®BE+DC=DE;®BE2+DC2=DE2其中正确的是（ ）A.②④; B.①④; C.②③; D・①③8、（2009年四川省内江市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转1800后得到图9、（2009成都）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,3），若将0A绕原点。逆时针旋转180°得到0A'，则点A'在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （c）第三象限 （D）第四象限10、（2009年崇左）已知点A的坐标为（a,b），O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（ ）.A.（—a，b）B.（a，—b） C.（~b，a）D.（b，—a）二、填空题1、 （2009肇庆）在平面直角坐标系中，点P（2，—3）关于原点对称点P'的坐标是.2、 （2009年衡阳市）点A的坐标为（、2，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135。到点B，那么点B的坐标是.3、 （2009年枣庄市）如图，直线》=—3尤+4与x轴、j轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90。后得到△AOB，则点B的坐标是 .

4、（2009年抚顺市）如图所示，在平面直角坐标系中，EA三个顶点的坐标是。（0，0\A（3,4）、（5,2）.将AOAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是 .三、解答题1.如图，P是正方形内一点，将AABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP，重合，若BP=3，求PP，.2.正方形BABCD内一点P，3、如图P是等边^ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5，则ZAPB=4、（2009年河南）如图，在RtAABC中，NACB=90。，ZB=60°，BC=2.点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE〃AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为a.尚用卧⑴①当a= 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的尚用卧长为;②当a=时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为;⑵当a=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.

A5、如图，^ABC中，匕ACB=90°,AC=BC=1,将^ABC绕点C逆时针旋转角a。A（0°<a<90°）得到^A1B1C1，连结BB1.设CB】交AB于D,Ag分别交AB、AC于E、F.（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与A,A1B1C1全等除外）；⑵当△BB1D是等腰三角形时，求a；（3）当a=60°时，求BD的长.6（13分）已知RtAABC中，AC=BC,ZC=90。，D为AB边的中点，/EDF=90°,ZEDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当ZEDF绕D点旋转到DE±AC于E时（如图1），易证七。曲+S皿=2七展当ZEDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、\、SAABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(1)如图1,连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明;图2图2|£2(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.|£28、将两块含30。角且大小相同的宜角三角板如图1摆放.将图1中^DEC绕点C顺时针旋转任意角度，贝UZACB1+ZBCA1=、将图1中^ABC绕点C顺时针旋转45°得图2,点P是AC11 1 1与AB的交点。求出图中AACP】的各个内角的度数；2求证：CP]=*-AP]；、将图2中左Apf绕点C顺时针旋转30°到左ABC(如图3),点P2是A2C与AB的交点。求出图中△CP1P2的各个内角的度数；线段CP与PP之间存在一个确定1 12的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；

、将图3中线段CP绕点C顺时针旋转60。到CP(如图4),连结PP,1 3 32求证：P3P2±AB.9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点仔与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ZB=ZF=30°,斜边AB和EF长均为4.当EG±AC于点K，GF±BC于点H时(如图①)，求GH：GK的值现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角a满足条件：0°Va<30°(如图②)，EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=尤，AGKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；BB10、(海口实验区)在AABC中，NACB=90。，AC=BC,直线MN经过点C，且AD±MN于D，BE±MN于E.、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①AADC^ACEB；®DE=AD+BE；

、当直线］^绕点C旋转到图2的位置时求证：DE=AD-BE；、当直线］^绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.11.已知：将一副三角板(RtAABC和Rt^DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将RtADEF绕点D顺