北师大版八年级数学上册-平行线的证明单元检测

平行线的证明单元检测

一.选择题（共18小题）

1.下列命题中：

①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等

②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形

③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形

④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形

⑤条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

正确命题的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

2.下列命题是假命题的有（）

A.锐角小于90"

B.直角三角形的两个锐角互余

C.若a>b,则a2Ab2

D.若aWb1,则a¥b

3.△ABC中/A、NB、/C的对边分别是“、b、c,下列命题为真命题的（）

A.如果NA=2/B=3/C,则△ABC是直角三角形

B.如果NA：NB：ZC=3：4：5,则△48C是直角三角形

C.如果a：b：c=l：2：2,则aABC是直角三角形

D.如果a：b；c=3：4：有，则AABC是直角三角形

4.如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：

（1）Z3=Z4；

（2）Z1=Z2；

（3）NA=NDCE；

（4）ZD+ZABD=\S00.能判断AB〃C。的有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，下列四个条件中，能判断QE〃AC的是（）

Z3=Z4C.NAFE=NACBD.ZBED=ZC

6.如图，在一张半透明的纸上画一条直线/,在直线/外任取一点4、折出过点A且与直线

/垂直的直线.这样的直线只能折出一条，理由是（）

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.两点之间线段最短

C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

7.下列说法：

①两点之间，直线最短；

②若AC=8C,且A,B,C三点共线，则点C是线段的中点；

③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的

是（）

A.展开后测得Nl=/2

B.展开后测得/1=N2且/3=N4

C.测得Nl=/2

D.测得N1=N2

9.如图：是我们学过的用直尺画平行线的方法示意图，画图原理是（）

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

10.如图，将一副三角板如图放置，则下列结论:

①N1=N3；

②如果N2=45°,则有BC〃AE；

③如果/2=30°,则有。

④如果/2=45°，必有/4=/E.

其中正确的有（）

C.①②④D.①③④

11.如图AF平分N8AC,。在AB上，QE平分N8QF且/1=N2,则下面四个结论：

@DF//AC（2）DE//AF（3）ZEDF^ZDFA@ZC+ZDEC^ISOQ，其中成立的有（）

C.①③④D.②③④

12.如图，已知GELAB,Z1=Z2,NB=/AGH,则下列结论:

①GH〃BC；@ZD=ZF：③HE平分NA”G；④HELAB,

其中正确的有（）

C.3个D.4个

13.如图，AB//CD,EG、EM、FM分别平分乙4EF、NBEF、ZEFD,则下列结论正确的

有（）

①NDFE=NAEF；

②NEMF=90。；

③EG〃FM；

@ZAEF=ZEGC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.如图，四边形ABC。，E是CB延长线上一点，下列推理正确的是（)

AD

A.如果N1=N2,那么AB〃CZ）

B.如果/3=N4,那么AO〃8c

C.如果N6+NBC£>=180°,那么A£）〃BC

D.如果AO〃BC,那么/6+/84）=180°

15.图中，Z2的度数是（）

16.如图，在△4BC中，4。平分NBAC,AE是高，若NB=40°,ZC=60°,则NE4O

17.如图，ZVIBC中，ZA=75°,48=65°,将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内,

若Nl=20°,则N2的度数为（）

18.如图，△ABC,ZB=ZC,FDVBC,DELAB,垂足分别为点£>、E,/AFD=155°,

则NEDF等于（）

E

BDC

A.45°B.55°C.65°D.75°

二.填空题（共8小题）

19.如图，根据以下条件：@Z1=Z2；@Z3=Z4；@Z2+Z3+ZD=180°.能判断

AD〃BC的有_______.（填序号）

20.如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是

21.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四句：

①如果a〃b,«±c,那么6_Lc；②如果b〃a,c//a,那么b〃c；

③如果6_La,cLa,那么6_Lc；④如果6J_a,c与a相交，那么b与c相交.

其中正确的是.

22.如图，下列推理：①若N1=N2,BlJAB//CD；②若AB〃C。，则N3=N4；③若N

ABC+ZBCD=\S00,则AD//BC；④若N1=N2,则其中正确的

是.（填序号）

DC

二

AB

23.如图,在△4BC中，28=40°,ZA=30°,CO平分NAC8.CELAB于点、E,则N

DCE的度数是

24.如图，在△4BC中，NA=64°,NABC和NAC。的平分线交于点4,得N4；ZA}BC

和NACO的平分线交于点出，得NA2；N^BC和NA2c。的平分线交于点心，则/45

25.如图，在△ABC中，ZC=78°,沿图中虚线截去NC,则N1+N2

26.如图，将一副直角三角板在同一平面内按图示摆放，△£>£/的直角顶点在△ABC的直

角边AC上，ZA=30°,NE=45°.AB//EF,则/F£>C=_______

三.解答题（共7小题）

27.图，已知N1=N3,Z2+Z3=180°,请说明A8与OE平行的理由.

解：将N2的邻补角记作/4,贝U

Z2+Z4=180°_______

因为/2+/3=180°_______

所以N3=N4

因为(已知)

所以N1=Z4

所以A8〃OE

A

28.如图，4£>_LBC于。，EF_LBC于F,/1=N2,A8与OG平行吗？为什么？

FD

29.如图，点E在直线。尸上，点8在直线4c上，若NAGB=NEHF,/C=ND.

试说明：NA=/F.

DEF

ABC

30.(1)如图，已知/A8C,画一个角/。EF,使。E〃AB,EF//BC,且OE交BC于点P.探

究：NA8C与/OEF分别有怎样的数量关系？并选择一种情况说明理由.

图1中NABC与NDEF数量关系为

图2中NABC与NDEF数量关系为

选择一种情况说明理由：

(2)由(1)你得出的结论是.

(3)若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°,直接写出这两个角

的度数.

31.(1)已知：如图1,直线A8〃C£),点E是A3、CQ之间的一点，连接BE、QE得到N

BED.求证：NBED=NB+ND,(提示：过E作EF平行AB)

(2)已知：直线AB〃CD,直线MN分别与A8、CD交于点E、F.

①如图2,N8EF和NEF。的平分线交于点G.猜想NG的度数，并证明你的猜想；

②如图3,EGi和成立为NBEF内满足/1=/2的两条线，分别与/EFC的平分线交于

5

点Gi和G2.求证：ZFGIE+ZG2=180,.

32.如图①，Z\A8C中，NABC与/AC8的平分线交于点/.根据下列条件，求NB/C的

度数.

(1)若/ABC=60°,ZACB=70°,则/B/C=.

(2)若/ABC+NACB=130°,则/B/C=.

(3)若NA=110°,则N8/C=.

(4)从上述计算中，我们能发现已知N4求NB/C的公式是：ZBIC=

(5)如图②，BP,CP分别是NABC与NACB的外角平分线，交于点P.若已知NA,

求NBPC的公式.(写出推理过程)

33.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式折叠放在一起(其中，NA

=60°,ZD=30°,Z£=ZB=45°)：

(1)①若/£>CE=45°,则NACB的度数为：

②若Z4CB=14(T,求/OCE的度数为.

(2)由(1)猜想N4CB与NDCE的数量关系，并说明理由.

(3)现固定△ACQ,将AECB绕点C旋转,点E永远在直线AC上方,使两块三角尺有

一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的NACE的度数.

D

备用图1备用图2备用图3

参考答案与试题解析

选择题（共18小题）

1.下列命题中：

①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等

②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形

③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形

④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形

⑤条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

正确命题的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得

出答案.

【解答】解：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，是真命题；

②如果两个三角形全等，则它们不一定关于直线成轴对称的图形，是假命题；

③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，是真命题；

④等腰三角形是关于底边中线所在的直线成轴对称的图形，是假命题；

⑤条线段是关于经过该线段中点的垂线成轴对称的图形，是假命题；

故选：A.

【点评】主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

2.下列命题是假命题的有（）

A.锐角小于90"

B.直角三角形的两个锐角互余

C.若a>h,则a2>b1

D.若a1工庐，则a^b

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得

出答案.

【解答】解：A、锐角小于90",是真命题；

B、直角三角形的两个锐角互余，是真命题；

C、若。＞儿但“2不一定大小石，是假命题；

D、若a2r/，则aWb,是真命题；

故选：C.

【点评】主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

3.△ABC中24、NB、/C的对边分别是a、b、c,下列命题为真命题的()

A.如果NA=2NB=3/C,则AABC是直角三角形

B.如果NA：NB：ZC=3：4：5,则AABC是直角三角形

C.如果a：b：c=l：2：2,则AABC是直角三角形

D.如果a：b；c=3：4：有，则△ABC是直角三角形

【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可.

【解答】解：A、♦.•/4=2NB=3NC,NA+NB+NC=180°,弋98°,错误不符

合题意；

B、如果/A：NB：ZC=3：4：5,ZA+ZB+ZC=180°,/.ZA=75°,错误不符合

题意；

C、如果a：b-.c=1：2：2,12+22^22,不是直角三角形，错误不符合题意；

D、如果a：b；c=3：4：有，32+(V7)2=42,则4ABC是直角三角形，正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三

角形的判定.

4.如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：

(1)Z3=Z4；

(2)N1=N2；

(3)ZA=ZDCE；

(4)ZD+ZABD=]S00.能判断AB〃CD的有()个.

E

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据平行线的判定判断即可.

【解答】解：(1)VZ3-Z4,：.BD//AC；

(2)VZ1=Z2,J.AB//CD；

(3)VZA=ZDCE,J.AB//CD-,

(4)VZ£>+ZABD=180°,J.AB//CD,

故选：C.

【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答.

5.如图，下列四个条件中，能判断QE〃AC的是（）

C.NAFE=NACBD.NBED=NC

【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：VZ3=Z4,

C.DE//AC,

故选：B.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.如图，在一张半透明的纸上画一条直线/,在直线/外任取一点A、折出过点A且与直线

/垂直的直线.这样的直线只能折出一条，理由是（）

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.两点之间线段最短

C.在平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直

D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答

案.

【解答】解：这样的直线只能折出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直，

故选：C.

【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂

直.

7.下列说法：

①两点之间，直线最短；

②若AC=BC,且A,B,C三点共线，则点C是线段48的中点；

③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据线段的性质，平行公理及推理，垂线的性质等知识点分析判断.

【解答】解：①两点之间，线段最短，故错误；

②若AC=BC,且A,B,C三点共线，则点C是线段的中点，故正确；

③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误.

故选：A.

【点评】考查了平行公理及推论，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础只记

题目，掌握相关概念即可解题.

8.以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的

是（）

/~T72

B

B

A.展开后测得N1=N2

B.展开后测得N1=N2且N3=N4

C.测得N1=N2

D.测得/l=/2

【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答.

【解答】解：A、Z1=Z2,根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；

B、=且N3=N4,由图可知Nl+N2=180°,Z3+Z4=180°,

.•./l=N2=/3=/4=90°,

：.a//b（内错角相等，两直线平行），

故正确；

C、测得N1=N2,

VZ1与N2即不是内错角也不是同位角，

不一定能判定两直线平行，故错误：

。、Z1=Z2,根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理.

9.如图：是我们学过的用直尺画平行线的方法示意图，画图原理是（）

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

【分析】关键题意得出/1=/2；/I和/2是同位角；由平行线的判定定理即可得出结

论.

【解答】解：如图所示：

根据题意得出：Z1=Z2；/I和/2是同位角；

VZ1=Z2,

：.a//b（同位角相等，两直线平行）;

【点评】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同

位角相等是解决问题的关键.

10.如图，将一副三角板如图放置，则下列结论:

①N1=N3；

②如果N2=45°，则有8C〃AE：

③如果/2=30°,则有。E〃AB：

④如果N2=45°，必有/4=NE.

其中正确的有（）

C.①②④D.①③④

【分析】根据平行线的性质和判定、等腰直角三角形和三角形内角和定理逐个判断即可.

【解答】解：如图,

，NEAD-Z2=ACAB-Z2,

Nl=/3,故①正确；

，Nl=/3=45°,

•••△CAB是等腰直角三角形，

：.ZB=45°,

.•.ZB+Z1+Z2+Z3=18O°,

：.BC//AE,故②正确；

VZ2=30°,

AZ1=90°-30°=60°,

・20=30°,

...DE和A8不平行，故③错误；

VZ2=45°,ZD=30°,

ZCMD=Z2+ZD=75°,

；NC=45°,

；.N4=180°-45°-75°=60°,

；NE=60°,

/.Z4=ZE,故④正确；

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识

点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

11.如图AF平分N8AC,。在AB上，QE平分N8QF且/1=/2,则下面四个结论:

①。尸〃AC②。E〃4尸③硼④NC+/OEC=180°,其中成立的有（)

C.①③④D.②③④

【分析】根据平行线的判定和性质解答即可.

【解答】解：平分NBAC,DE平分NBDF,

:.NBDF=2N1,ZBAC=2Z2,

VZ1=Z2,

：.ZBDF=ZBAC,

：.DF//AC；（故①正确）

：.ZBDE=Zl,ZBAF=Z2,

:.NBDE=NBAF,

：.DE//AFx（故②正确）

...NE。尸=ND刚；（故③正确）

\'DF//AC

.,.ZC+ZDFC=180°.（故④错误）

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的判定.正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁

内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同

位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

12.如图，已知GFJ_AB,Z1=Z2,ZB^ZAGH,则下列结论：

①GH〃BC；②ND=NF：③”E平分©HE,AB,

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据平行线的判定得出G，〃2C,根据平行线的性质得出/1=///GM,/1=

ZD,再逐个判断即可.

【解答】解：•••NB=NAG4,

J.GH//BC,故①正确：

VZ1=Z2,

：.Z2=ZHGM,

J.DE//GF,

,：GFLAB,

：.HELAB,故④正确；

'：GF//DE,

：.ZD=Z\,

根据己知条件不能推出/尸=NCMF,

即不能推出NQ=NF,故②错误；

VZAHG=Z2+ZAHE,根据已知不能推出N2=/A”E,故③错误；

即正确的有2个，

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

13.如图，AB//CD,EG、EM、FM分别平分NAEF、NBEF、ZEFD,则下列结论正确的

有（）

①NDFE=ZAEF；

@Z£MF=90°；

（3）EG//FM；

④NAEF=NEGC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①正确.利用平行线的性质即可证明.

②正确.证明/MEF+NMFE=90°即可.

③正确.证明/GEF=NMFE即可.

④错误，无法判断.

【解答】解：♦•,A8〃C£>,

:.NDFE=NAEF,NDFE+NBEF=180°,故①正确,

:ME平分NBEF,MF平分NDFE,

NMEF=L/BEF,NMFE=L/DFE,

22

:.NMEF+NMFE=L(NBEF+NDFE)=90°,

2

：.ZEMF^9OQ,故②正确，

平分/4EF,

NGEF=LNAEF,

2

NAEF=NDFE,

：.ZGEF=ZMFE,

:.EG〃MF,故③正确，

无法判断ZAEF=ZEGC,故④错误.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

14.如图，四边形488,E是CB延长线上一点，下列推理正确的是（）

A.如果Nl=/2,那么A8〃C£>

B.如果/3=/4,那么AQ〃BC

C.如果N6+/BCD=180°,那么AO〃BC

D.如果AO〃BC,那么N6+NBAO=180°

【分析】利用平行线的判定和性质一一判断即可.

【解答】-：AD//BC,

/.Z6+ZBA£)=180o,

故选：D.

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

15.图中，Z2的度数是（）

【分析】根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【解答】解：1=60°+20°=80°,

/.Z2=180°-60°-80°=40°,

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的内角和和三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和

是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，4。平分/BAC,AE是高，若/B=40°,ZC=60°,则/EAO

【分析】根据三角形内角和可求得NBAC的度数，又因为AZ）平分N8AC,所以可求得

NC4O的度数，由AE_LBC,/C=60°,可求得/C4E的度数从而求得/EA。的度数.

【解答】解：VZB=40°,NC=60°,ZB+ZC+ZBAC=180°

.•.ZBAC=80°

又「AZ）平分NBAC

/.ZCAD=40°

'：AE±BC,ZC=60°

AZAEC=90°,ZCAE=30°

.•./E4O=10°,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识

图，理清图中各角度之间的关系是解题的关健.

17.如图，△ABC中，NA=75°,NB=65°,将纸片的一角折叠，使点C落在aABC内,

若Nl=20°,则N2的度数为()

【分析】根据题意，已知NA=65°,NB=75。，可结合三角形内角和定理和折叠变换

的性质求解.

【解答】解：VZA=75°,ZB=65°,

AZC=180°-(65°+75°)=40°,

/.ZCDE+ZCED=180°-/C=140°,

AZ2=360°-(ZA+ZB+Z1+ZCED+ZCDE)=360°-300°=60°.

【点评】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理.注意折叠前后图形全等；

三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度.

18.如图，AABC,NB=NC,FDA.BC,DELAB,垂足分别为点。、E,ZAFD=155°,

则NED尸等于()

E

BDC

A.45°B.55°C.65°D.75°

【分析】由NAFD=155°,可以得到/OFC的度数，再根据三角形内角和可以得到N

的度数，从而可以求得/即尸的度数.

【解答】解：VFD1BC,DEVAB,

:.NDEB=NFDC=90°,NFDB=90°,

又：/B=NC,

:.NEDB=NDFC,

VZAFD=155°,

：.ZDFC=25°,

：.ZEDB=25°,

：.NEDF=NFDB-NEDB=90°-25°=65°,

故选：C.

【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

二.填空题（共8小题）

19.如图，根据以下条件：①N1=N2；@Z3=Z4；@Z2+Z3+ZD=180°.能判断

AD〃BC的有①③.（填序号）

【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

【解答】解：©Z1=Z2,可得AZ）〃BC；②N3=N4,可得AB〃C£＞；③N2+N3+N

D=180°,可得AQ〃BC,

故答案为：①③

【点评】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行；内错角相

等，两直线平行；同位角相等，两直线平行是解答此题的关键.

20.如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直

线平行或根据同位角相等两直线平行

【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平

行

【解答】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直

线平行，

故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线

平行.

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键.

21.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四句：

①如果a〃b,aXc,那么6_Lc；②如果c//a,那么Z?〃c；

③如果6_La,c_La,那么b_Lc；④如果b_La,c与a相交，那么6与c相交.

其中正确的是①⑵.

【分析】根据平行线的判定与平行公理，对各小题分析判断即可得解.

【解答】解：•••直线a,b,c在同一平面内，

二①如果a〃b,a_Lc,那么b_Lc正确；

②如果c//a,那么人〃c正确；

③如果匕_1_。，c_La,那么6〃c,故错误；

④如果匕_La,c与。相交，那么〃与c,故错误.

故正确的是①②.

故答案为：①②.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平

行的性质，是基础题，熟记平行线的判定是解题的关键.

22.如图，下列推理：①若/1=/2,则AB〃C£>；②若4B〃C。，则/3=/4；③若/

ABC+ZBCD=\80Q,则AD//BC；④若Nl=/2,则NAO8=NC8£>.其中正确的是

①.（填序号）

DC

二

AB

【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可.

【解答】解：=

J.AB//CD,故①正确；

根据AB〃C。不能推出N3=/4,故②错误；

根据乙4BC+/BCD=180°能推出AB〃C£>,不能推出A£>〃8C,故③错误；

根据N1=N2不能推出乙故④错误；

即正确的是①，

故答案为：①.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关

键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等,

③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然.

23.如图，在△ABC中，ZB=40°,ZA=30°,CQ平分NACB.CE_LA8于点E,则/

DCE的度数是5.

【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40°,再根据NA=30°,CD平分/ACB,

即可得到/BCD的度数，再根据/£>CE=NBCD-/BCE进行计算即可.

【解答】解：；/B=40°,CELAB,

：.ZBCE=50°,

又：/人=？。。，CQ平分NACB,

.•.NBC£>=L/BC4=LX(180°-40°-30°)=55°,

22

:./DCE=/BCD-/BCE=55°-50°=5°,

故答案为5°.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.

24.如图，在△ABC中，NA=64°,NABC和NAC。的平分线交于点Ai，得/Ai：ZAiBC

和/AC。的平分线交于点A2，得NA2；NA28c和NA2c。的平分线交于点A3，则NA5

【分析】根据角平分线的定义可得N4BC=L/ABC,ZA{CD=1ZACD,再根据三角

22

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/ACQ=NA+/ABC,ZAfCD=Z

A18C+N41，整理即可求出/Ai的度数，同理求出/上，可以发现后一个角等于前一个

角的工，根据发现后一个角等于前一个角的工的规律即可得解，把/4=64°代入/A”

22

=_1_/A解答即可.

2n

【解答】解：是/ABC的平分线，AC是乙4c。的平分线，

：.ZA]BC=^ZABC,ZAiCD=^ZACD,

22

XVZACD=ZA+ZABC,ZA\CD=BC+NA।,

.•.A(.ZA+ZABC)=L/A8C+NAI，

22

/.ZAi=—ZA,

2

同理可得NA2=LNAI=1X_LNA=LNA,

2224

由此可得一下规律：N4"=J-NA,

2n

当N4=64°时，Z45=—ZA=2°,

25

故答案为：2°.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的工

2

是解题的关键.

25.如图，在△ABC中，NC=78°,沿图中虚线截去/C,则/1+N2=258°

B

【分析】利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理即可解决问题.

【解答】解：如图,

VZ1=ZC+Z4,Z2=ZC+Z3,

/.Z1+Z2=ZC+(Z3+Z4+ZC)=78°+180°=258°,

故答案为=258°.

【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

26.如图，将一副直角三角板在同一平面内按图示摆放，△OE尸的直角顶点在△ABC的直

角边AC上，NA=30°,ZE=45°.AB//EF,则15°

【分析】延长产力交4B于7.利用平行线的性质三角形的外角的性质即可解决问题.

【解答】解：延长”（交AB于7.

■:AB//EF,

；.NBTF=NF=45°,

■:NBTF=ZA+ZADT,

：.ZADT=45°-30°=15°,

ZFDC=ZADT=\5°,

故答案为15°.

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，属于中考常考题型.

三.解答题（共7小题）

27.图，已知N1=N3,Z2+Z3=180°,请说明AB与QE平行的理由.

解：将/2的邻补角记作/4,则

Z2+Z4=180°邻补角的意义

因为/2+N3=180°已知

所以N3=N4同角的补角相等

因为/1=/3（己知）

所以N]=Z4等量代换

所以A8〃DE同位角相等，两直线平行

【分析】根据平行线的判定解答即可.

【解答】解：将N2的邻补角记作N4,则

N2+N4=180°（邻补角的意义）

因为/2+/3=180°（已知）

所以N3=/4（同角的补角相等）

因为N1=N3（已知）

所以/1=/4（等量代换）

所以A2〃£>E（同位角相等，两直线平行）

故答案为：邻补角的意义；已知；同角的补角相等；Z1=Z3；等量代换；同位角相等,

两直线平行.

【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答.

28.如图，于。，EF上BC于F,Z1=Z2,AB与。G平行吗？为什么？

【解答】解：结论：AB//DG.

理由：•.•4。1.8（7于。，EF1BC于F,

J.AD//EF,

：.Zl=ZBAD,

VZ1=Z2,

：.ZBAD^Z2,

J.AB//DG.

【点评】本题考查平行线的性质和判定，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

29.如图，点E在直线。下上，点8在直线AC上，若NAGB=NEHF,NC=ND.

试说明：ZA=ZF.

请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）.

解：VZAGB=ZDGF（对顶角相等）

NAGB=/EHF（己知）

:./DGF=4EHF（等量代换）

Z.BD//CE（同位角相等，两直线平行）

/.ZD=ZCEF（两直线平行，同位角相等）

VZD-ZC（己知）

/CEF=/C（等量代换）

ADF//AC（内错角相等，两直线平行）

AZA=ZF（两直线平行，内错角相等）

DE

【分析】根据平行线的判定和性质及等量代换求解可得.

【解答】解：尸（对顶角相等）

ZAGB=NEHF（已知）

AZDGF=AEHF（等量代换）

.•.80〃CE（同位角相等，两直线平行）

尸（两直线平行，同位角相等）

VZD=ZC（已知）

：.ZCEF=ZC（等量代换）

尸〃4c（内错角相等，两直线平行）

AZA=ZF（两直线平行，内错角相等）

故答案为：对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；NCEF；两直

线平行，同位角相等；NCEF；等量代换；DF-,AC-,内错角相等，两直线平行；两直线

平行，内错角相等.

【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质及

等量代换等知识点.

30.（1）如图，已知/ABC,画一个角/OEF,使OE〃AB,EF//BC,且OE交BC于点P.探

究：/ABC与/OE尸分别有怎样的数量关系？并选择一种情况说明理由.

图2中NABC与NDEF数量关系为NABC=NDEF.

选择一种情况说明理由：

(2)由(1)你得出的结论是如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补

(3)若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°,直接写出这两个角

的度数.

【分析】(1)利用平行线的性质即可判断.

(2)根据平行线的性质解决问题即可.

(3)设两个角分别为x和2x-30°,由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°,解方

程即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，ZABC+ZDEF=\S0°.如图2中，/ABC=NDEF,

故答案为/ABC+/£)£F=180°,NABC=NDEF.

理由：①如图1中，

,：BC//EF,

.".ZDPB=ZDEF,

'JAB//DE,

NABC+NOPB=180°,

NABC+NOE尸=180°.

②如图2中，'.'BC//EF,

：.4DPC=ADEF,

'：AB//DE,

：.ZABC=NDPC,

：.NABC=NDEF.

(2)结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补.

故答案为如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补.

(3)设两个角分别为x和2x-30°,

由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°,

解得x=30°或x=70°,

，这两个角的度数为30°,30°或70°和110°.

【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

31.(1)已知：如图1,直线AB〃CQ,点E是A8、CQ之间的一点，连接BE、DE得到N

BED.求证：NBED=NB+ND,(提示：过E作EF平行AB)

(2)已知：直线AB〃C£),直线MN分别与48、CD交于点、E、F.

①如图2,NBE尸和/EFD的平分线交于点G.猜想NG的度数，并证明你的猜想；

②如图3,EGi和EG2为/8EF内满足/1=/2的两条线，分别与/EFZ)的平分线交于

点Gi和G2.求证：/FGIE+/G2=180°.

【分析】(1)过点E作E/〃AB,则有根据平行线的性质即可得到结论；

(2)①由(1)中的结论得NEGF=/BEG+NGFD,根据EG、FG分别平分NBE尸和

ZEFD,得至lJ/BEF=2NB£G,ZEFD=2ZGFD,由于BE//CF至ljNBEF+/EFQ=

180°,于是得到2/BEG+2NGF£)=180°,即可得到结论；

②过点Gi作GiH〃4B,由结论可得ZG2=Nl+/3,NEGIF=NBEGI+NGIFD,得到

N3=NGzFD,由于尸G2平分/EF£),求得N4=NG2F。，由于N1=N2,于是得到/

G2=N2+N4,由于NEGI尸=/BEGI+/GIF£),得到NEG|F+NG2=/2+N4+NBEG1+

NGiFD=NBEF+NEFD,然后根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图1过点E作EF〃AB,

则有

'：AB//CD,

C.EF//CD.

:"FED=/D.

：.ZBEF+ZFED=ZB+ZD.

即N8EO=NB+N。；

(2)①解：如图2所示，猜想：Z£GF=90°；

证明：由材料中的结论得/EGf=NBEG+NGFD,

〈EG、FG分别平分N3EF和

：・/BEF=2NBEG,ZEFD=2ZGFD,

*：BE//CF,

：.ZBEF+ZEFD=\SO°,

2ZBEG+2ZGFD=180°,

：.ZBEG+ZGFD=90°,

*.*/EGF=/BEG+/GFD,

：.ZEGF=90°；

②解法一：

证明：如图3,过点Gi作Gi〃〃A8,

■:AB//CD,:,G\H〃CD,

由结论可得NG2=N1+N3,NEGIF=NBEGI+NGIFD,

・・・N3=NG2m

・.・FG2平分NEFO,

.*.Z4=ZG2FD,

VZ1=Z2,

AZG2=Z2+Z4,

•/NEG、F=NBEGT+NGIFD,

；・NEGIF+NG2=N2+N4+NBEGI+NGIFD=NBEF+NEFD,

\UAB//CD,

：.ZBEF+ZEFD=\S00,

AZEG|F+ZG2=180°.

解法二：证明：由结论可得/62=/1+/62尸。

••,k72平分/七五。，

：.ZEFG2=ZG2FD,

VZEGIF+Z£GIG2=ZEGIF+Z2+ZEFG2=180°,

AZEGiG2=N2+NEFGZ，

VZ1=Z2,

：.ZG2=ZEG\G2,

.".ZEG|F+ZG2=180°

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解

题的关键.

32.如图①，ZiABC中，NABC与NAC8的平分线交于点/.根据下列条件，求NB/C的

度数.

(1)若/ABC=60°,ZACB=70",则/B/C=115°.

(2)若NABC+NACB=130°,则NB/C=115°.

(3)若/A=110°,则N8/C=145°.

(4)从上述计算中，我们能发现已知NA,求NB/C的公式是