广西壮族自治区百色市平果市铝城中学2023-2024学年高二上学期12月月考测试数学试卷

2023年高二上学期12月数学月考测试卷考试范围：选择性必修一命题人：林大泽学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三顶点为、、，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．下列直线中，倾斜角为锐角的是（

）A． B． C． D．4．我们将称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（

）A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项 B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项 D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项5．若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知单位向量，，中，，，则（

）A． B．5 C．6 D．7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左右焦点分别是是椭圆上的一点，且，则面积是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（

）A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．点关于直线的对称点为C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是210．已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（

）A．椭圆的长轴长为8B．满足的面积为4的点恰有2个C．的的最大值为16D．直线与直线斜率乘积为定值11．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，设，且，e为椭圆的离心率，则下列正确的有（

）A．当时， B．e随着k的增大而增大C．e可能等于 D．e可能等于12．已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则（

）A．点的坐标为 B．的最小值为C．点的坐标可能为 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．14．圆心为，且与直线相切的圆的标准方程是.15．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为.16．设有一组圆：（）．下则正确的说法有．①存在一条定直线与所有的圆均相交；②存在一条定直线与所有的圆均不相交；③有的圆经过原点；④若，则圆上总有两点到原点的距离为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；（2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点.18．（12分）已知直线的方程为，求直线的方程，使得：（1）与平行且过点；（2）与垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，.（1）证明：；（2）若异面直线PB与CD所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.20．（12分）已知点、和动点满足：,且（I）求动点的轨迹的方程；（II）设过点的直线交曲线于两点,若的面积等于，求直线的方程.21．（12分）已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上.(1)求圆C的方程；(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.22．（12分）已知抛物线的焦点坐标为．(1)求抛物线的方程；(2)已知定点，、是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点。2023年高二上学期12月数学月考测试卷参考答案1．B2．C3．B4．A5．B6．D7．A解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），设平面ABB1A1的法向量，则，取x＝1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则,所以∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A．8．B9．ABD10．AC11．ABD解：线段的中点在y轴上，是的中点，故轴，，，则，，，即，整理得到.对选项A：时，，，正确；对选项B：，，故e随着k的增大而增大，正确；对选项C：，解得，不在范围内，错误；对选项D：，解得，满足，正确；故选：ABD12．ACD解：对于A，因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，点的坐标为故选项A正确；对于B，易知当轴时，取得最小值，此时不妨取，，所以，选项B错误；对于C，易知直线的斜率存在，所以可设直线的方程为，，，由A知抛物线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，整理得，则，，所以，因为为线段的中点，所以的坐标为，当时，的坐标为，选项C正确；对于D，根据抛物线的定义可知，，，所以，选项D正确.故选：ACD.13．.14．15．16．①④解：根据题意得：圆心，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项①正确；考虑两圆的位置关系，圆：圆心，半径为，圆：圆心，，即，半径为，两圆的圆心距，两圆的半径之差，任取或2时，，含于之中，若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项②错误；将带入圆的方程，则有，即，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项③不正确．圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2=1与圆Ck有两个交点，则圆心距与半径满足，解得，故④正确.故答案为：①④17．解：（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为，1分因为，，2分所以，．3分所以．4分所以所求椭圆的标准方程为．5分（2）设所求椭圆方程为，6分由和两点在椭圆上，可得，7分即，解得，9分故所求椭圆的标准方程为．10分18．（1）解：设的方程为，1分由点在上知，，3分所以直线的方程为.5分（2）解：设的方程为，6分令，得，7分令，得，8分于是三角形面积，10分得，11分所以直线的方程为或.12分19．（1）证明：如图，设AD的中点为O，连接OP，OB，BD.1分由，，，可知，为等边三角形，2分又点O为AD的中点，所以，.3分又，故平面POB.4分又平面POB，所以.5分（2）解：不妨设，则.6分由，得，又，，解得，7分在中，，所以.8分由（1）可知，，故PO，OB，AD两两垂直.以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴､y轴､z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，.9分设为平面APB的法向量，则，即可取.10分设为平面PBC的法向量，则，即可取.11分.由题意，可知二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为.12分20．解：（I）在中，由余弦定理得：2分，3分，即动点的轨迹为以为两焦点的椭圆.且，4分，，，动点的轨迹的方程为：.5分（II）设直线的方程为：，6分由得：（※），7分设，，则，，8分9分解得：，.10分当时，方程（※）的，满足题意.11分直线的方程为或.12分21．解：（1）的斜率为，中点坐标为，2分由题意得圆心在的垂直平分线上，，解得，3分故，半径为，4分圆C的方程为；5分（2）如图所示，过与直线垂直的直线方程为，6分由得，7分两直线交于点，则关于直线的对称点为，9分由