四川省达州市达川区铭仁园学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题含答案

四川省达州市达川区铭仁园学校2023-2024学年第一学期第四次月考高二数学时间：120分钟总分：150分一、单项选择题．本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.直线x+3y−1=0的斜率为（A.−33 B.−C.33 D.3 2.双曲线x24−yA.52 B.2 C.3 D.1 3.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1A.33 B.55C.1010 D.15154.已知圆C1:x2+y2=1与圆A.-9 B.-11 C.9 D.115.已知数列an满足a1=2,an+1=A.13 B.2 C.-3 D.6.如图,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上,且A.12a−C.12a+7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别F1,F2,左顶点为A,上顶点为B,A.55 B.12C.33 D.228.F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l与抛物线C相交于P,Q两点,满足∠PFQ=2π3,线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则|PQ|dA.3 B.33 C.3 D.13 二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线y=3x+b与圆x2+y2=1A.-2 B.2 C.2 D.510.若直线l:ax+(2a+3)y−3=0与n:(a−2)x+ay−1=0,则（）A.当a=−2时,l//nB.当a=13时C.当l//n时,l、nD.坐标原点到直线n的距离的最大值为211.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,EA.直线B1C//B.三棱锥C1−C.直线B1E与面CDDD.B12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),长轴长为8,短半轴长为23,A.PFB.若直线l交椭圆于A,B两点,且Q为AB中点,则直线l的方程为3x+2y−8=0C.△PF1D.|PQ|+PF三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．13a=(−2,1,3),b=(−1,2,1),若a⊥(a14已知数列an的公差为正数,且a3a7=−12,a15如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．16已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过F四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知双曲线x2a2−y2b(1)求双曲线C方程;(2)若点F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,且双曲线C上一点P满足PF18.（本题满分12分）已知Sn为数列an的前n项和,且an+1=an+d,n∈N求:(1)数列an的通项公式;(2)Sn19.（本题满分12分）已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点.(1)求圆A的方程;(2)当MN=219时,求直线l的方程20.（本题满分12分）已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,点N(t,1)在抛物线C上,且(1)求抛物线C的方程;(2)过点M(0,1)且斜率存在的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,设O为坐标原点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,求证21.（本题满分12分）如图所示,正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直,AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,CN=2(1)证明:BM⊥平面ABCD;(2)若点E为线段CM上一点,且满足EM=2CE,求二面角E−BN−M的余弦值.22.（本题满分12分）已知椭圆C:x216+y212=1,右焦点F(2,0),直线l:x=8,过右焦点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C交于A,B(1)求证：直线BD过定点E,并求出定点E的坐标;(2)点O为坐标原点,求△OBD面积的最大值.参考答案及解析1.【答案】A【解析】直线x+3y−1=0的斜截式方程为:y=−33x+2.【答案】D【解析】双曲线中,焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为:∴双曲线的焦点到渐近线的距离:d=|±3.【答案】D【解析】建立如图所示空间直角坐标系,EEF=1所以,EF与CG所成角的余弦值为15154.【答案】B【解析】圆C1:x2+y2=1的圆心C则其圆心为C2(4,−3),半径为因为圆C1与圆C2相内切,所以r2−1=C1C5.【答案】A【解析】因为a1所以有a2因此数列an是以4所以a20246.【答案】B【解析】连接ON,∵ON是BC的中点,∴ON=∴MN=7.【答案】A【解析】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2AB//PF1,可得ba=b2a2c即b=2c，8.【答案】C【解析】设|PF|=m,|QF|=n,过点P,Q分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为P'则PP'因为点A为线段PQ的中点,由中位线定理可得,A到抛物线C的准线的距离d=P因为∠PFQ=2π在△PFQ中,由余弦定理定理可得,|PQ|2所以d2因为(m+n)2则mn(m+n)2≤14所以d2|PQ|2≤14×1−14=9.【答案】AB【解析】根据题意,圆x2+y2=1的圆心为若直线y=3x+b与圆x则有|b|3+1=1,解可得：10.【答案】ACD【解析】当a=−2时,l:−2x−y−3=0与n:−4x−2y−1=0平行,A正确；当a=13时,l:13x+当l//n时,a2=(a−2)(2a+3),解得a=3或当a=3时,l:3x+9y−3=0即x+3y−1=0与n:x+3y−1=0重合,不符合题意,故a=−2,此时l:−2x−y−3=0与n:−4x−2y−1=0平行,所以两平行线间距离d=|−1+6|42由(a−2)x+ay−1=0可得a(x+y)−(2x+1)=0,联立x+y=02x+1=0可得x=−12,y=12当OM⊥n时,原点到直线n的距离取得最大值为OM=22,11.【答案】AD【解析】对于A,因为B1C//A1D,A1D⊂平面A1BD,对于B,因为VC1−B对于C,因为∠B1EC1是直线B1E与面CDD1C对于D,因为BD1在平面BB1C1C内投影是BC1,12.【答案】BCD【解析】由题意可知:a=4,b=23,c=a2对于选项A.因为PF1且|PO|∈[23,4],所以PF对于选项B:设Ax若Q为AB中点,则x1可得kAB因为A,B在椭圆上,则x1216+y整理得−34=y1所以直线l的方程为y−1=−32(x−2),即3x+2y−8=0,对于选项C.由题意可知:P设△PF1F则S△P可得r=1当点P为短轴顶点时,△PF1F可得△PF1F所以△PF1F2内切圆面积的最大值为π2对于选项D:因为PF则PF可得|PQ|+P当且仅当Q在线段PF2上时,等号成立所以|PQ|+PF1的最小值为7,故13【答案】2.【解析】(1)∵a−λb=(−2+λ,1−2λ,3−λ)14【答案】180【解析】由题意:设等差数列an的公差为d(d>0).a3+a7=a4+a615【答案】4.5m.【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A(2,−2)代入x2=my，得m=−2，所以x2=−2y.设B3,y0，代入16【答案】3【解析】设双曲线的两条渐近线为l1:y=bax，l2:y=−bax，由双曲线的对称性，不妨设F(c,0)为双曲线的右焦点，过F作l3/l2，则l3的方程为y=−ba(x−c)，即bx+ay−bc=0，则O(0,0)到l3的距离d=|−bc|b2+a2=bcc=b=|OA|，∴OA⊥l3,∴OA⊥l2,在17【解析】(1)由题知,ab=12所以双曲线C的方程为:x(2)∵P根据双曲线的定义得,P∴解方程得,PF1∙P18【解析】（1）由an+1=an+d,n∈N∗设首项为a1,由S得3a1解得a1=3d=1因为d<0,所以a1=6d=−2,（2）当an=−2n+8时,Sn所以当n=3或4时,Sn有最大值S319【解析】（1）点A(−1,2)到直线m:x+2y+7=0的距离为d=|−1+4+7|即圆A的圆心A(−1,2),半径r=25,故圆A的方程为（2）设圆心A(−1,2)到直线l的距离为d,则MN=2r2−d当直线l的斜率不存在时,则l:x=−2,此时圆心A(−1,2)到直线l的距离为d=1,符合题意,成立当直线l的斜率存在时,设为k,则l:y=k(x+2),即kx−y+2k=0,∵d=|−k−2+2k|k2+1=1综上所述:直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=020【解析】（1）∵点N(t,1)在抛物线C:x2=2py上,且∴|NF|=yN+p∴抛物线C的方程为x2（2）证明依题意,设直线l:y=kx+1,Ax联立x2=2yy=kx+1,则x1故k1k221【解析】(1)证明:正方形ABCD中,BC⊥AB,∵平面ABCD⊥平面ABMN,平面ABCD∩平面ABMN=AB,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ABMN,又BM⊂平面ABMN,∴BC⊥BM,且BC⊥BN,又BC=2,CN=23∴BN=CN2−BC∴AN⊥AB,又∵AN//BM,∴BM⊥AB,又BC∩BA=B,BA,BC⊂平面ABCD,∴BM⊥平面ABCD;(2)解:如图,以B为坐标原点,BA,BM,BC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),D(2,0,2),N(2,2,0),M(0,4,0),E=∴设平面BEN的法向量m=(x,y,z),令x=1,∴y=−1,z=1，显然,平面BMN的法向量为BC=(0,0,2),