江西省2023-2024学年高二上学期12月统一调研测试数学试题（含答案）

江西省2023—2024学年高二年级12月统一调研测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.二项式的展开式中的系数为（）A.128 B.56 C. D.2.若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（）A. B. C. D.3.下列双曲线中与双曲线的焦距不相等的是（）A. B. C. D.4.已知，，若点，，共线，则（）A. B. C. D.5.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（）A.4 B.13 C.15 D.166.已知点，是双曲线：（，）的左、右焦点，第一象限的点在上，，点在内，且点到三边的距离均为2，则渐近线方程为（）A. B. C. D.7.已知直线与椭圆：（）有公共点，的右焦点为，则的离心率的最大值为（）A. B. C. D.8.过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（）A. B. C.或 D.或二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（）A. B. C.2 D.410.已知，，，，则（）A.点，关于平面对称B.点，关于轴对称C.存在实数，，使得D.可以构成空间的一组基11.2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（）A.，在后3天介绍的方法种数为144B.，相隔一天介绍的方法种数为96C.不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504D.在，之前介绍的概率为12.已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（）A. B.C.的最小值为7 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则______.14.若，且，则的值为______.15.如图，在四棱锥中，，，，两两垂直且相等，点为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为______.16.过的三条高的垂足，分別作另外两边的垂线，则这六条垂线们垂足共圆，该圆称为的泰勒圆，已知中，，，点在直线上方，过点作的垂线，垂足为.若.则的泰勒圆的标准方程为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知点，，圆：（）.（1）若点在直线上，求；（2）若圆的一条切线过原点且与直线平行，判断直线与圆的位置关系.18.（12分）已知函数（）.（1）当时，用二项式定理证明能被50整除；（2）设，，求的值.19.（12分）已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，.（1）用，，表示；（2）求.20.（12分）已知四棱柱是直四棱柱，延长线与延长线交于点，是边长为2的正三角形.点，分别为，的中点，点为的中点.（1）若，求平而与平而所成二而角的平而角为锐角时的余弦值；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.21.（12分）已知曲线：（）.（1）若为椭圆，点是的一个焦点，点是上任意一点且的最小值为2，求；（2）已知点，是上关于原点对称的两点，点是上与，不重合的点.在下面两个条件中选一个，判断是否存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.①直线的斜率之积为2；②直线，的斜率之积为.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（12分）已知点是抛物线：上与原点不重合的一点，直线与直线交于点，的焦点为，直线与交于另一点.（1）证明：直线轴；（2）若与不重合的点，，，都在上，且以，为直径的圆都过点，直线与交于点，求的取值范围.江西省2023—2024学年高二年级12月统一调研测试数学参考答案及评分细则1.【答案】B【解析】二项式的展开式中的系数为，故选B.2.【答案】A【解析】由直线的一份方向向量，得的斜率，又在轴上的截距为2，所以的方程为，即，故选A.3.【答案】D【解析】由，可得双曲线，，，的焦距都是，双曲线的焦距是，故选D.4.【答案】C【解析】因为点，，共线，所以与共线，所以，解得，，，，，故选C.5.【答案】D【解析】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为，故选.解法二：用直接方法，（1）过点，，，的直线只有1条；（2）过，，中的任意两点作直线，可作3条；（3）从，，，任取一点，从，，中任取1点作直线，可作直线条数为，综上，所得直线的条数为，故选D.6.【答案】B【解析】设，，则，，所以，，又的面积，所以，解得，所以，的渐近线方程为，故选B.7.【答案】B【解析】由的右焦点为，得的左焦点为，设点关于直线对称的点为，则解得，则，所以的离心率的最大值为，故选B.8.【答案】C【解析】化为标准方程为，所以，圆的半径为，设：，由直线与圆相切得，解得，：，令得，若，交于点，且，设原点为，因为，，所以四边形对角互补，点，，，都在圆上，点为线段的中点，，直线的方程为，到直线的距离为；若，设与轴交于点，四边形是等腰梯形，对角互补，点，，，都在圆上，此时点既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以，此时直线的方程为，到直线的距离为，故选C.9.【答案】BD【解析】圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，所以或，即或，所以或或，故选BD.10.【答案】AB【解析】易得AB正确；假设存在实数，，使得，则，即无解，故不存在实数，，使，故C错误；对于D，因为，所以，，共面，不能构成空间的一组基，D错误，故选AB.11.【答案】ACD【解析】，在后3天介绍的方法种数为，A正确；，相隔一天介绍的方法种数为，B错误；不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为（或），C正确：在，之前介绍的概率为，D正确，故选ACD.12.【答案】ABD【解析】设，，直线的方程为，与联立得，所以，，A正确；，所以，B正确；，当且仅当时取等号，C错误；，D正确，故选ABD.13.【答案】2或【解析】直线与直线平行，则，即，解得或.当或时两直线不重合，满足题意，所以或.14.【答案】【解析】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，则，所以.15.【答案】【解析】以点为原点，以，，所在直线分別为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则即取得，所以点到平而的距离为.16.【答案】【解析】过点作的垂线，垂足为，设的中点为，过点作，的垂线，垂足分別为，，则的外接圆就是的泰勒圆，设（），由得，由得，所以，由得，，所以，，，由此可得的外接圆为，所以的泰勒圆的标准方程为.17.解：（1）因为点在直线上，所以，即，所以.（2）由（1）知，，圆的一条切线过原点且与直线平行，该切线方程为，所以圆的半径，直线方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.18.（1）证明：当时，，因为，所以当时，能被50整除.（2）解：当时，由已知得，令，得，①令，得，②联立①②得，.令，得，所以，.19.解：（1）因为，且，，所以，，.（2）由题意可得，，，，，所以，所以.20.解：取的中点，的中点，连接，，则，，两两相互垂直.以点为原点，，，所在直线分別为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，.（1）因为，所以，，，，，，，设是平面的一个法向量，则，即取，得，设是平面的一个法向量，则即取，得，则，所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为，（2）设（），则，，，，，设是平面的一个法向量，则即取，得，设直线与平面所成的角为，则，解得或，所以或.21.解：（1）设，若，表示焦点在轴上的椭圆，由：得，，不失一般性，设，其中，则，，则，所以当时，取得最小值，所以，；若，表示焦点在轴上的椭圆，由：得，，不失一般性，设，其中，则，，则，所以当时，取得最小值，解得，综上得或.（2）若选①，设，则，，设，则，两式相减得，所以，所以直线，的斜率之积为，所以，的方程为.解法一：假设存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，设，，则，且，把，代入的方程得，，两式相减得，即，此时直线的方程为，即，与联立消去得，，所以不存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为.解法二：假设存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，设，，则，直线的斜率存在，设直线的方程为.与联立得，所以，解得，此时直线的方程为，即，与联立消去得，，所以不存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为.若选②，设，则，，设，则，两式相减得，所以，所以直线，的斜率之积为，所以，的方程为.解法一：假设存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，设，，则，且，点在椭圆内，过点的直线与有两个交点，，，两式相减得，即，所以直线的方程为，即，所以存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为.解法二：假设存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，设，，则，直线的斜率存在，设直线的方程为.点在椭圆内，过点的直线与有两个交点，与联立得，所以，解得，所以直线的方程为，即，所以存在过点的直线与交于点，，且线段中