必修四三角函数的图象与性质讲义

1、4—1、5三角函数得图象与性质一、正弦函数得图象与性质1、利用描点法作函数图象(列表、描点、连线)自变量––––注意:(1)由于sin(2k＋)＝sin,因此作正弦函数图象时,我们经常采用“五点法”:(0,0),(,1),(,0),(,－1),(2,0);再通过向左、右平移(每次2个单位),即可得正弦函数图象;(2)正弦函数自变量一般采用弧度制。二、余弦函数得图象1、余弦函数得图象:y＝cosx＝sin(x＋)可将正弦函数y＝sinx向左平移个单位得到。2、“五点作图法”:(0,1),(,0),(,－1),(,0),(2,1)三、正、余弦函数得性质f(x)＝sinxh(x)＝cosxf(x)＝sinxh(x)＝cosx定义域RR值域[－1,1]当x＝2k＋时,f(x)max＝1当x＝2k－时,f(x)min＝－1[－1,1]当x＝2k时,f(x)max＝1当x＝2k＋时,f(x)min＝－1单调区间[2k－,2k＋]单增[2k＋,2k＋]单减[2k,2k＋]单减[2k＋,2k＋2]单增对称轴x＝k＋x＝k对称中心(k,0)(k＋,0)周期性sin(2k＋)＝sincos(2k＋)＝cos最小正周期为2奇偶性sin(－)＝－sin奇函数cos(－)＝cos例1:求下列函数得定义域。(1)f(x)＝(2)f(x)＝变式练习1:求下列函数得定义域(1)f(x)＝lg(sinx)(2)f(x)＝(3)f(x)＝变式练习2:已知cosx＝－,且x∈[0,2],则角x等于()A:或 B:或C:或 D:或【解析】A变式练习3:当x∈时[0,2],满足sin(－x)≥－得x得取值范围就是()A:[0,] B:[,2]C:[0,]∪[,2] D:[,]【解析】C例2:下列函数图象相同得就是()A:y＝sinx与y＝sin(x＋)B:y＝cosx与y＝sin(－x)C:y＝sinx与y＝sin(－x)D:y＝－sin(2＋x)与y＝sinx【解析】B变式练习1:y＝1＋sinx,x∈[0,2]得图象与直线y＝2交点得个数就是()A:0 B:1 C:2 D:3解析B变式练习2:函数y＝sin(－x),x∈[0,2]得简图就是()【解析】B变式练习3:、函数y＝2sinx与函数y＝x图象得交点________个。【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x得图象可见有3个交点。3个变式练习4:、若函数y＝2cosx(0≤x≤2)得图象与直线y＝2围成一个封闭得平面图形,则这个封闭图形得面积为___________。【解析】:图形S1与S2,S3与S4就是两个对称图形,有S1＝S2,S3＝S4,因此函数y＝2cosx得图象与直线y＝2所围成得图形面积可以转化为求矩形OABC得面积。因为|OA|＝2,|OC|＝2π,所以S矩形OABC＝2×2π＝4π、故所求封闭图形得面积为4π、四、正切函数得图象与性质【三点两线】定义域:x≠k＋k∈Z值域:R周期性:最小正周期T＝单调递增区间:(k－,k＋)奇偶性:tan(－x)＝－tanx奇函数对称中心:(,0)例3:求函数f(x)＝tan(2x－)得定义域,最小正周期、单调区间以及对称中心。例4:若直线过点M(2,2)且与以点P(－2,－3)、Q(1,0)为端点得线段恒相交,则直线得斜率得范围就是_________。【解析】:≤k≤2变式练习:若直线过点M(0,2)且与以点P(－2,－3)、Q(1,0)为端点得线段恒相交,则直线得斜率得范围就是_________。【解析】:k≤－2,k≥五、函数y＝sin(x＋)得图象与性质(一)由y＝sinx得图象通过变换法作y＝Asin(x＋)得图象1、先平移后伸缩:y＝sinxy＝sin(x＋)y＝sin(x＋)y＝Asin(x＋)2、先伸缩后平移:y＝sinxy＝sinxy＝sin[(x＋)]y＝Asin(x＋)例5:把函数y＝sin(2x＋)得图象向右平移个单位,再把所得图象上各点得纵坐标缩短到原来得,则所得图象得函数解析式为()A:y＝sin(4x＋)B:y＝sin(4x＋)C:y＝sin4xD:y＝sin2x【解析】:D变式练习1:将函数y＝sin(x＋)得图象上所有点得横坐标伸长到原来得2倍(纵坐标不变),所得图象得函数解析式就是()A:y＝cos2x B:y＝sin(2x＋)QUOTE2x+π4C:y＝sinQUOTE12x+π8(x＋) D:y＝sin(x＋)【解析】:选D变式练习2:已知函数f(x)＝sin(x＋)(＞0)得最小正周期为,则函数f(x)得图象可以由函数y＝sin2x得图象()A:向左平移个单位长度B:向右平移QUOTEπ6个单位长度C:向左平移个单位长度D:向右平移个单位长度【解析】选A变式练习3:要得到函数y＝2cos(2x－)QUOTE2x-π6得图象,只要将函数y＝2cos2x得图象()A:向左平行移动个单位长度B:向右平行移动个单位长度C:向左平行移动QUOTEπ12个单位长度D:向右平行移动个单位长度【解析】选D变式练习4:要得到函数y＝sin(2x－)得图象,只需将函数y＝－cos(2x－)得图象()A:向左平移个单位长度B:向左平移个单位长度C、向右平移个单位长度D:向右平移个单位长度【解析】选C、由于y＝－cos(2x－π)＝cos2x＝sin2x+π2＝y＝sin2x-π3＝sin2x-故只需将函数y＝－cos(2x－π)得图象向右平移512π个单位长度得到函数y＝sin2五、有关函数y＝Asin(x＋)得性质1、定义域为R2、值域为[－A,A]3、最小正周期T＝4、当＝k时,函数y＝Asin(x＋)为奇函数;当＝k＋函数就是偶函数。5、对于函数y＝Asin(x＋)(A＞0,＞0)得单调区间,把x＋瞧成整体2k－≤x＋≤2k＋,解出x得范围为函数得单调递增区间2k＋≤x＋≤2k＋,解出x得范围为函数得单调递减区间6、函数y＝Asin(x＋)得对称轴x＋＝k＋,解出x求得;对称中心x＋＝k,解出x求得。例6:指出函数y＝3sin(2x－)得定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。变式练习1:函数f(x)＝3sin(x＋)在下列区间内递减得就是()A:[－,]B:[0,] C:[－,]D:[,]【解析】:令2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2,k∈Z可得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3,k∈Z,∴函数f(x)得递减区间为2k变式练习2:设函数f(x)＝sin(2x－),x∈R,则f(x)就是()A:最小正周期为得奇函数B:最小正周期为得偶函数C:最小正周期为得奇函数D:最小正周期为得偶函数【解析】:因为f(x)＝sin2x-π2＝-cos2x,所以f(-x)＝-cos2(-x)＝所以f(x)就是最小正周期为π得偶函数、答案:B例7:若函数得图象关于直线对称,那么︱︱得最小值为()A:B:C: D:【解析】:B例8:函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0,＞0,︱︱＜)得部分图象如图所示,则函数f(x)得解析式为()A:f(x)＝2sin(x－) B:f(x)＝2sin(2x－) C:f(x)＝2sin(x＋) D:f(x)＝2sin(2x－)【解析】:B变式练习1:已知cos＝－,且∈(,),函数f(x)＝sin(x＋)(＞0)得图象得相邻两条对称轴之间得距离等于,则f()得值为()。A:B:－C:D:－【解析】:B变式练习2:已知函数f(x)＝sin(x＋)(＞0,︱︱＜)得部分图象如图,则＝_______。【解析】:变式练习3:已知函数f(x)＝sin(x＋)(＞0)得图象如右图如示,则f(4)＝______。【解析】:变式练习4:函数f(x)＝sin(x＋),(︱︱＜)得部分图象如图所示,则f(x)得单调递增区间为()A:(－1＋4k,1＋4k),k∈Z B:(－3＋8k,1＋8k),k∈ZC:(－1＋4k,1＋4k),k∈Z D:(－3＋8k,1＋8k),k∈Z【解析】:【解答】解:根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ),(|φ|＜)得部分图象,可得＝3﹣1＝2,求得ω＝,再根据五点法作图可得•1＋φ＝,∴φ＝,∴f(x)＝sin(x＋).令2kπ﹣≤x＋≤2kπ＋,求得8k﹣3≤x≤8k＋1,故函数得增区间为[﹣3＋8k,1＋8k],k∈Z,故选:D.例9:已知函数f(x)＝sin(2x－)(1)求函数f(x)得最小正周期。(2)求函数f(x)得单调递增区间以及对称中心。(3)求函数f(x)在区间[,]上得最大值与最小值。变式练习1:已知函数f(x)＝sin(x＋)(其中＞0,||＜),若函数y＝f(x)得图象与x轴得任意两个相邻交点间得距离为,且直线x＝就是函数y＝f(x)图象得一条对称轴、(1)求得值;(2)求y＝f(x)得单调递增区间;(3)若x∈[－,],求y＝f(x)得值域。【解析】:(1)因为函数y＝f(x)得图象与x轴得任意两个相邻交点间得距离为π2,所以函数得周期T＝π,所以ω＝2ππ＝2、(2)因为直线x＝π6就是函数y＝f(x)图象得一条对称轴,所以2×π6＋φ＝kπ＋π2,k∈Z,φ＝kπ＋π6,k∈所以函数得解析式就是y＝sin2x+π6、令2x＋π6解得x∈kπ-π3,kπ+π(3)因为x∈-π6,π3,所以2x即函数得值域为-1变式练习2:设函数f(x)＝sin(2x＋)(－＜＜0),已知它得一条对称轴就是直线x＝。(1)求;(2)求函数f(x)得单调递减区间;(3)求函数得对称中心;(4)当x∈[,]函数f(x)得取值范围。【解析】(1)函数得一条对称轴就是直线x＝π8,2×π8＋φ＝kπ＋π2,k∈Z,因为-π<φ<0,所以φ＝-3π4、(2)由(1)知,f(x)＝sin2x-3π4,π2＋2kπ≤2x-3π4≤3π2＋2kπ,k∈Z,即5π变式练习3:设函数f(x)＝tan(－)。(1)求函数f(x)得定义域、周期与单调区间;(2)求不等式－1≤f(x)≤得解集。【解】:(1)由x2-π3≠π2+kπ(k∈Z),得x≠5π3+2kπ,∴f(x)得定义域就是x∈Rx由-π2+kπ<x2-π3<π2+kπ(k∴函数f(x)得单调递增区间就是-π3+2(2)由-1≤tanx2-π3≤3,得-π4+kπ≤x2-∴不等式-1≤f(x)≤3得解集就是xπ课后综合练习1、下列函数中,最小正周期为得就是()A:y＝sinxB:y＝cosxC:y＝sinD:y＝cos2x【解析】:D2、不等式sinx≥,x∈[0,]得解集为()A:[,]B:[,]C:[,]D:[,]【解析】:B3、函数f(x)＝tan(x－)与函数g(x)＝sin(－2x)得最小正周期相同,则等于()A:±1B:1C:±2D:2【解析】:A4、函数图象得一条对称轴就是()A:直线 B:直线 C:直线 D:直线【解析】:D5、把函数y＝sinx得图象经过变换可得到函数y＝cosx得图象,这个变换就是()A:向右平移个单位B:向左平移个单位C:向右平移个单位D:向左平移个单位【解析】:B6、将函数f(x)＝sin(x－)得图象上所有点得横坐标伸长到原来得2倍(纵坐标不变),再将所得图象上得所有点向左平移个单位,得到得图象对应得解析式就是()A:y＝sinxB:y＝sin(x－)C:y＝sin(x－)D:y＝sin(2x－)【解析】:C7、把函数y＝sin(2x＋)得图象向右平移个单位长度后,所得得图象对应得函数就是()A:奇函数B:偶函数C:既就是奇函数又就是偶函数D:非奇非偶函数【解析】:D8、下列函数中,图象得一部分就是右图得就是()A:y＝sin(x＋)B:y＝sin(2x－)C:y＝cos(4x－)D:y＝cos(2x－)【解析】:D9、若,函数得定义域就是__________。【解析】:10、如果直线与函数有且只有一个交点,则。【解析】:±111、函数得单调区间就是()A: B:C: D:【解析】:B12、函数f(x)＝Acos(x＋)(A＞0,＞0)得部分图象如图所示,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(2011)＋f(2012)得值为()A:2＋B:C:2＋2D:0【解析】:f(x)＝Acos(x＋),f(x)＝2sinx【不能代(0,0)】,∵f(