不等式的秘密（第一章）基本不等式

基本不等式ThebasicInequalities均值不等式AM-GMInequalityAM-GM不等式及其应用AM-GMInequalityandApplicationsAM-GM不等式the:AM-GM不等对所有正实数a1,a当且仅当a1=a2=⋯=Forallpositiverealnumbersa1aEqualityoccursifandonlyifa1Proof.当n=2时,不等式显然成立.如果不等式对n个正实数成立,那么它对2n个a因此不等式对n是2的指数幂形式个正实数是成立的.假设不等式对n成立,我们设a依据归纳假设,我们有s因此,如果不等式对n个正实数成立,那么它对n-1个正实数成立,由归纳法(Cauchy归纳)可知,不等式对每一个自然数n都是成立的.当且仅当a1=a2=⋯=Proof.Theinequalityisclearlytrueforn=2.IfitistruefornaThustheinequalityistrueforeverynumbernthatisanexponentof2.Supposethattheinequalityistruefornnumbers.WethenchooseaAccordingtotheinductivehypothesis,wegetsThereforeiftheinequalityistruefornnumbers,itwillbetrueforn-1numbers.Byinduction(Cauchyinduction),theinequalityistrueforeverynaturalnumbern.EqualityoccursifandonlyifAM-GM不等式作为一个著名的、应用广泛的定理,在证明不等式方面也是不可缺少的.下面通过一些著名的不等式来研究它的强大的应用.Asamatteroffact,theAM-GMinequalityisthemostfamousandwide-appbedtheorem.Itisalsoindispensableinprovinginequalities.Consideritsstrongapplicationsthroughthefollowingfamousinequalities.Nesbitt不等式pro:Nesbitt不等式(1)证明对所有非负实数a,(2)证明对所有非负实数a,Proof.(1)考虑下列表达式SMN我们有M+N=3,根据MN所以M+N+2S(2)考虑下列表达式SMN则M+N=4.根据MN因此,M+N+2S≥8,即2S≥4⇒S≥2其他证法Proof1.Usingthewell-knowninequalityxWegetaTherefore,abProof2.Settingxa(1)canbewrittenasyThisinequalityisclearlytruebythewell-knowninequalitypq+Proof3.(1)isequivalentto2Theinequalityfollowsbythewell-knowninequalityx3+Proof4.UsingtheAM-GMinequality,weobtainaSimilarly,wegetb2cAddingthreeaboveinequalities,wehaveaProof5.ABCthenBAABytheAM-GMinequality,wehaveAAThus,2A+BProof6.BytheAM-GMinequality,wehaveaaAddingtwoinequalities,weget2Thus,aSimilarly,wehavebcAddingthreeaboveinequalities,weobtainAddingthreeaboveinequalities,weobtainaProof7.Usingthewell-knowninequalityxWehave2Hence,4Similarly,wegetbcAddingthreeinequalities.wehaveaProof8.(ByCaoMinhQuang)UsingtheAM-GMinequality,wehave2Thus,aSimilarly,wegetbcAddingthreeinequalities,wehaveaWehavetoshowthat3Wesetx=3BytheCauchy-Schwarzinequality,wehavexBytheChebyshev’sinequality,wehavexMultiplying(3)and(4)yields,weobtain3Proof9.(1)isequivalenttoaThelastinequalityisclearlytrue.Proof10.BytheCauchy-Schwarzinequality,wehaveaProof11.Withoutlossofgenerality,wecanassumethata≥bBytheChebyshev’sinequalityandtheAM-GMinequality,wehaveaProof12.Settingx=ab+cxThus,1BytheAM-GMinequality,weget1SinceA>0,henceProof13.Usingthesamesubstitutionasthe12thproof,andsettingft=t1+fProof14.(ByCaoMinhQuang)Firstly,westateandprovealemma.Lemma.Ifxi,yi,ixwherei1,Proof(5).Wesetz1xItiseasytoseethaty1≥zTherefore,xLetusnowprove(1).Withoutlossofgenerality,wecanassumethata≥b≥abaAddingtwoinequalities,weobtain2aaProof15.Withoutlossofgenerality,wecanassumethata≥b≥c(1)becomesxUsingtheAM-GMinequality,wehavexItsufficestoprovethat2ThelastinequalityitruesincexToprove(6),besidetheaboveproof,wealsohaveananotherproof.Proof16.Wesetm=m

Wenotethat7m-24Thisinequalityisclearlytrue.Proof17.(ByCaoMinhQuang)Bysettingx=a(1)canbewrittenasxUsingtheAM-GMinequality,wehavexUsingtheAM-GMinequalityagain,wehavexAddingtwoinequalities,weget7Since(1)inthehomogeneous,wecanassumethata+aWehavesomeproofsof1Proof18.For0<4Hence,4x≥1aProof19.(ByCaoMinhQuang)For0<3Hence11-Therefore,byCauchy-SchwarzInequality,wehaveaProof20.(ByCaoMinhQuang)For0<2Therefore,xUsingthewell-knowninequalityxWegetaProof21.(ByCaoMinhQuang)BytheAM-GMinequality,weaSimilarly,wehavebAddingthreeinequalitiesandnotingthataWeobtainaProof22.Settingft=t1-t Proof23.Withoutlossofgenerality,wecanassumethata≥b≥c.Sinceft=tforaWearedone.Proof24.(ByCaoMinhQuang)Toprove(1’),weneedtoprovealemma.Lemma.(CaoMinhQuangandTranTuanAnh)Ifa,b,aProof.Usingthewell-knowninequalityxWegetaWenowprove(1’).Usingthewell-knowninequalityxyWeobtainaLast,weuse"MixingVariablesTheorem"toprove(1).Proof25.BysettingEa,b,cEThus,Ea加权AMGM不等式pro:加权AMGM不等式假设a1,a2,⋯,an是正实数,如果n个aProof.这个不等式的证明和经典AM-GM不等式的证明是类似的.在n=2的情形,我们必须详细地证明(因为不等式中出现了实数指数).我们先来证明,如果x,y≥0ax证明这个不等式的最简单的方法是考虑x,y是有理数的情况,至于实数我们可以采用极限的方法来进行.如果x,y是有理数,设x=mm+ma如果x,y是实数,则存在两个有理数序列rr于是a或者a取极限,令n→+∞,ax

◻尽管AM-GM不等式非常简单,但它在数学竞赛中的不等式证明方面扮演着重要的角色.用下面的一些例子来帮助你熟悉这个重要的不等式.设a,b,c>0aProof.注意到恒等式2则该不等式等价于cyc由AM-GM不等式,我们有cyc所以,不等式成立.

◻(IMOShortlist1998)设x,y,z>0xProof.利用AM-GM不等式,我们有x因此cyc当x=y=z=(APMO1998)设x,y1Proof.不等式整理之后等价于x由AM-GM不等式,我们有3即x

◻设a,b16Proof.应用AM-GM不等式,我们得到16当且仅当a=b=c=d(PhamKimHung)设a,b,c是周长为1Proof.设x=b+c不等式变为1又设m=xym由AM-GM不等式,我们有m两式相乘即得m所以,原不等式成立.

◻(PhanThanhNam)设a1,a2,⋯,an是正实数,2Proof.根据AM-GM不等式,我们有a将上述不等式对于k∈{1,2k这里的指数cic这是由于ai≤a当且仅当ai=ii=(USAMO1998)设a,b,c1Proof.注意到a3+abc类似地可得另外两个不等式,并将它们相加,我们有abc所以,原不等式成立.

◻注意IMOShortlist1996类似的问题.设x,y,z是积为xy如果x1,x2,⋯,证明xProof.所给条件变形为1应用AM-GM不等式,我们有x类似地可得其他n-1个不等式,并将它们相乘,设x,y,z是正数,且满足xProof.注意到x从这个形式,我们利用AM-GM不等式10类似地,可得10将上述三个不等式相加,我们有10于是,只需证明下列不等式x而这是成立的.事实上x

◻(MathlinksContest)设a,baProof.由AM-GM不等式,我们有LHS≥于是,我们只需证明a由于abc=1,所以式*ab根据AM-GM不等式,我们有2由此4所以,原不等式成立.当且仅当a=b=设a,b,caProof.由加权AM-GM不等式,我们有a整理即得a当且仅当a=b=c时设a,baProof.由恒等式ab我们有ab利用AM-GM不等式,以及a我们有2即ab由式1,2a当且仅当a=b=1,c设a,b1Proof.注意到ac根据AM-GM不等式,我们得到ac此外cyc当且仅当a=b=c=设a,b,c,dabcProof.不失一般性,我们设e根据AM-GM不等式,我们有abc因此,只需证明e这是成立的,可由e-12e(PhamKimHung)设a,b1Proof.我们来证明1凷AM-GM不等式2将上述不等式相加,即得所要证明的不等式.

◻注意(1)使用类似的方法,我们可以证明5个变量的类似的不等式.为此,我们有a(2)本题不等式加强为1(3)猜想:设a1,1(IMO2006)求不等式ab对所有实数a,b,c都成立的最小的记x=a-b其中,s,x,y,z事实上,s是一个独立变量.首先我们来考察xyzz和x2+y2+z2之间的关系.由于x+y+z=0,很显然,x,y,z中有两个变量的符号相同sxyz等号当x=y时成立.设t=x+y2于是4结合式1,2sxyz这就意味着M≥9232.为证明M=9232是最好的常数,我们必须求出sa使用AM-GM不等式的重要的原则是选择合适的系数满足等号成立的条件.例如,在例1.1.2中,使用下列形式的AM-GM不等式是错误的(因为等号不成立）x对于每个问题,为AM-GM不等式给出一个固定的形式是很困难的.这取决于你的智慧,但是寻找等号成立的条件是可以帮助我们做到这一点的.例如，在上面的问题中,猜测到等号成立的条件是x=y=z=1x变量相等使等号成立的这样的问题,在使用AM-GM不等式之前是很容易确定的.对非对称问题,这个方法需要有一定的灵活性(参见例1.1.13,1.1.14和1.1.16).有时你需要建立方程组并求出等号成立的条件(这个方法称为“平衡系数法”,这部分内容将在第6章中讨论).Cauchy求反技术在本节中,我们将AM-GM不等式关联到一个特别的技术,称为Cauchy求反技术.出乎意料的简单,而且十分有效,是这一技术的特殊优势.下面的例子体现了这种优势.(BulgariaTST2003)设a,baProof.事实上,直接对分母使用AM-GM不等式是不行的,因为不等式改变了方向,即a但是,我们可以以另外的形式使用AM-GM不等式a这样,不等式变成ccc这是由于3cy​ab≤ecc​注意 使用类似的方法可以证明下列结果.设a,b,c,d是正实数a这个解法似乎像变魔术,AM-GM不等式应用