导数及其应用复习完整版

《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为〔〕A． B． C． D．【答案】D2．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x变式．f(x)＝－x2＋10，那么f(x)在x＝eq\f(3,2)处的瞬时变化率是__________.3．以下求导正确的选项是()【答案】BA.〔x+〕′=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3xD.(x2cosx)′=－2xsinx4．以下说法正确的选项是〔〕A．假设不存在，那么曲线在点处就没有切线；B．假设曲线在点有切线，那么必存在；C．假设不存在，那么曲线在点处的切线斜率不存在；D．假设曲线在点处的切线斜率不存在，那么曲线在该点处没有切线。【答案】C5．设分别是在区间上的最大值和最小值，那么，由上述估值定理，估计定积分的取值范围是．【解析】：因为当时，，所以，所以由估值定理得：，即，所以答案应填：．6．．【答案】题型二、导数的几何意义7．曲线y＝2x2上一点A(2,8)，那么曲线在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．28．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．变式1．曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，那么a＝________.变式2．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2＋2x，假设存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，那么实数m的取值范围是()A．[6，＋∞)B．(－∞，2]C．[2,6]D．[5,6]变式3.曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，那么实数的值为．9．抛物线y＝x2，直线l：x－y－2＝0，那么抛物线上的点到直线l的最短距离是．变式.点是曲线，那么点到直线的距离的最小值是．题型三、导数的综合应用类型1：导数的运算性质10.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，那么不等式的解集是〔〕A． B．C．D．变式1．函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)＝f(2－x)且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0.设a＝f(0)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c＝f(3)，那么a，b，c的大小关系是______．变式2．设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，那么()A．f(2)>e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2016)>eC．f(2)<e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2016)<e变式3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，那么f(x)＞2x＋4的解集为____________．变式4．定义在上的偶函数的导函数为，假设对任意的实数，都有恒成立，那么使成立的实数的集合为〔〕A．B．C．D．【解析】：当时，由可知：两边同乘以x得：设：，那么，恒成立：∴在单调递减，由∴，即，即；当时，函数是偶函数，同理得：；综上可知：实数的取值范围为，应选：B变式5．函数的定义域是，，对任意，那么不等式的解集为〔〕A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴，即，∴函数在R上单调递增，且∴，∴x>0，应选B类型2：单调性问题11．函数的单调递增区间是〔〕DA．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)变式1．在区间上不单调，实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D变式2．函数的导函数图象如下图，假设为锐角三角形，那么以下结论一定成立的是〔〕A．B．C．D．12．(全国Ⅱ卷)假设函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，那么k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)变式1．假设f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，那么b的取值范围是_____________．变式2．a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．变式3．函数在上单调递增，在上单调递减，在上递增，那么的值为()AA、B、C、D、变式4．假设函数y＝a(x3－x)的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，那么a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(0,1)13．f(x)=ex-ax-1.〔1〕求f(x)的单调增区间；〔2〕假设f(x〕在定义域R内单调递增，求a的取值范围；〔3〕是否存在a,使f(x)在〔-∞，0］上单调递减，在［0，+∞〕上单调递增？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.【答案】解：f′(x)=ex-a.(1)假设a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.假设a＞0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的递增区间为〔lna，+∞〕.〔2〕∵f〔x〕在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤〔ex〕min，又∵ex＞0,∴a≤0.[来源:Z§xx§k.Com]〔3〕由题意知ex-a≤0在〔-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在〔-∞，0］上恒成立.∵ex在〔-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞〕上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞〕上恒成立.∴a≤1，∴a=1.14．设函数.〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数单调区间.【答案】解：因为所以.〔Ⅰ〕当时,,,所以.所以曲线在点处的切线方程为.……………4分〔Ⅱ〕因为，……………5分〔1〕当时,由得；由得.[所以函数在区间单调递增,在区间单调递减.……………6分〔2〕当时,设，方程的判别式……………7分①当时，此时.由得,或；由得.所以函数单调递增区间是和,单调递减区间.……………9分②当时，此时.所以，所以函数单调递增区间是.……………10分③当时，此时.由得；由得,或.所以当时,函数单调递减区间是和,单调递增区间.……………12分④当时,此时，，所以函数单调递减区间是.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是〔〕A．B．C．D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B正确16．〔〕BA.1个B.2个C.3个D.4个变式1.如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能〔〕变式2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图，那么y＝f(x)的图象最有可能的是()类型4：极值〔最值〕问题17．函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为.〔1〕曲线在P点处的切线方程；〔2〕求函数的极大值和极小值【答案】解：〔1〕因为函数在轴上的截距为1，所以又，所以所以，故点，所以切线方程为即〔2〕由题意可得，令得列表如下：+0-0+增区间极大减区间极小增区间所以函数的极大值为，极小值为18．函数在处取得极值，其中为常数．〔1〕求的值；〔2〕求函数的单调区间；〔3〕假设对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：〔1〕，，∴，又，∴；经检验合题意；………4分〔2〕〔∴由得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴单调递减区间为，单调递增区间为……8分〔3〕由〔2〕可知，时，取极小值也是最小值，列表略依题意，只需，解得或………………12分19.函数.〔1〕求的单调区间；〔2〕求在区间上的最小值；〔3〕设，当时，对任意，都有成立，求实数的范围。解：〔I〕的单调递增区间为，单调递减区间为〔4分〕〔II〕当时，的最小值为(1-k)e；当时，的最小值为(2-k)e2；当时，的最小值为；〔8分〕〔=3\*ROMANIII〕.〔12分〕类型5：不等式的证明20．当时，有不等式〔〕A．B．C．当时，当时D．当时，当时【解析】：对于函数其导数，当时，当时当时变式．假设，那么()A．B．C．D．【解析】令,所以,所以时,当时.那么函数在上单调递减.因为,所以.故B正确.21．函数〔〕〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕当时，求在上的最大值和最小值〔〕；〔Ⅲ〕求证：．【解析】〔Ⅰ〕函数的定义域为，∵，∴，假设，因，所以，故，函数在上单调递减；假设，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上，假设，函数的单调减区间为；假设，的单调增区间为，单调减区间为．〔Ⅱ〕时，，由〔Ⅰ〕可知，在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的最大值为；而；，，所以，故函数在上的最小值为．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在上的最大值为，即．故有恒成立，所以，故，即．类型6：恒成立〔存在性〕问题22．函数f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)(x≥1)，(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)假设f(x)≥eq\f(k,x＋1)恒成立，求实数k的取值范围．23．设函数，．〔1〕求的单调区间；〔2〕判断方程在区间上是否有解？假设有解，说明解得个数及依据；假设无解，说明理由．解析：〔1〕，时，，，时，，，，，当时，的增区间为，此时无减区间，当时，的增区间为，减区间为．〔2〕由〔1〕知，当时，在上递增，且时，在上无实数解．〔i〕当时，，此时在上递增，当时，在上也无实数解．〔ii〕当时，在的最小值为当时，在上也无实数解．〔iii〕当时，在上递减，且又当时，在上有且只有一个实数解．综上：当时，在上无实数解，当时，在上有且只有一个实数解．24.函数f〔x〕=x-1-lnx〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕求函数的极值；〔3〕对恒成立，求实数的取值范围．【解析】：〔1〕函数的定义域为，，∴曲线y=f〔x〕在点〔2,f〔2〕〕处的切线方程为，即x-2y-2ln2=0,〔2〕令，得x=1，列表：x〔0,1〕1-0+f〔x〕↘0↗∴函数y=f〔x〕的极小值为f〔1〕=0,无极大值。〔3〕依题意对恒成立等价于在上恒成立可得在上恒成立，令,令，得列表：x-0+g〔x〕↘↗∴函数y=g〔x〕的最小值为,根据题意，．类型四、利用导数解决函数综合问题25．函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－aex.(1)假设a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)假设f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．26．设函数.(I)求函数的单调递增区间;(II)假设关于的方程在区间内恰有两个不同的实根，求实数的取值范围.解析：(Ⅰ)函数的定义域为,∵,∵,那么使的的取值范围为,故函数的单调递增区间为(Ⅱ)∵,∴令, ∵,且,由得，由得.∴在区间内单调递减,在区间内单调递增,故在区间内恰有两个相异实根即解得:.综上,的取值范围是27．,〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕假设在处有极值，求的单调递增区间；〔Ⅲ〕是否存在实数，使在区间的最小值是3，假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由.解析：〔Ⅰ〕函数的定义域为，因为，所以当时，，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.3分〔Ⅱ〕因为在处有极值，所以，由〔Ⅰ〕知，所以经检验，时在处有极值．4分所以，令,解得或；因为的定义域为，所以的解集为，即的单调递增区间为.6分〔Ⅲ〕假设存在实数，使在区间上有最小值3，由，①当时，，在上单调递减，，解得，舍去.8分②当即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，满足条件.10分③当即时，，所以在上单调递减，，解得，舍去.综上，存在实数，使在区间上的最小值是3.12分28．函数，g〔x〕=x+lnx，其中a＞0．〔1〕假设x=1是函数h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕的极值点，求实数a的值；〔2〕假设对任意的x1，x2∈[1，e]〔e为自然对数的底数〕都有f〔x1〕≥g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕∵，g〔x〕=x+lnx，∴，其定义域为〔0，+∞〕，∴．∵x=1是函数h〔x〕的极值点，∴h′〔1〕=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴经检验当时，x=1是函数h〔x〕的极值点，∴；〔2〕对任意的x1，x2∈[1，e]都有f〔x1〕≥g〔x2〕成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f〔x〕]min≥[g〔x〕]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g〔x〕=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g〔x〕]max=g〔e〕=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，假设1≤x＜a，那么，假设a＜x≤e，那么．∴函数在[1，a〕上是减函数，在〔a，e]上是增函数．∴[f〔x〕]min=f〔a〕=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．29．函数，.〔1〕当时，求函数在上的极值；〔2〕假设，求证：当时，.〔参考数据：〕解析：〔1〕，∴，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极小值为，无极大值；〔2〕构造函数，∴在区间上单调递增，∵，，∴在区间上有唯一零点，∴，即，由的单调性，有，构造函数在区间上单调递减，∵，∴，即，∴，∴.30．函数，其中，〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕讨论的单调性；〔3〕假设有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问是否存在，使得？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由.解析：〔1〕当时，，所以，，又因为切线过，所以切线方程为〔2〕的定义域为，令，其判别式①当，故上单调递增②当，的两根都小于0，在上，，故上单调递增．③当，设的两根为，当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．〔3〕由〔2〕可知：当在上有两个极值点因为所以由〔2〕可知：，于是，假设存在，使得，那么，即，亦即设函数，当时，，所以在上单调递增，而，所以，这与式矛盾．故不存在，使得31．设函数．〔1〕当〔为自然对数的底数〕时，求的最小值；〔2〕讨论函数零点的个数；〔3〕假设对任意恒成立，求的取值范围．解析：〔1〕由题设，当时，，那么，1分∴当在上单调递减，当，在〔〕上单调递增，2分∴时，取得极小值∴的极小值为2．3分〔2〕由题设令，得4分设那么5分当时，在上单调递增；当时，在上单调递减。6分∴是的唯一极值点，且是极大直点，因此也是的最大值点，∴的最大值为7分又，结合的图像，可知①当时，函数无零点；②当时，函数有且只有一个零点；③当时，函数有两个零点；④当时，函数有且只有一个零点。8分综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；9分〔3〕对任意的恒成立，等价于恒成立〔*〕10分设∴〔*〕等价于在上单调递减．