勾股定理预习资料

勾股定理预习资料一、 概述：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等），这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么广-TOC\o"1-5"\h\z勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 .二、 内容：直角三角形（等腰直角三角形也算在内）两勾直角边（即“勾"“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长口 >的平方。 ，股图1—5三、 历史几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。我国也是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理.这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用.古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角.他们把绳子按3,4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形.他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角（3+4,5）。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯（大约公元前540年）的名字命名，但有证据表明，该定理的历史可以追溯到华达哥拉斯之前1000年的古巴比伦的汉漠拉比年代.把该定理名字归于毕达哥拉斯，大概是因为他第一个对自己在学校中所写的证明作了记录.毕达哥拉斯定理的结论和它的证明，遍及于世界的各个大洲、各种文化及各个时期.事实上，这一定理的证明之多，是其他任何发现所无法比拟的。四、 作用与影响

⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象一一数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数〃与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。五、证明方法【证法1】（课本的证明）a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即, ,1 .1,a2+b2+4x—ab=c2+4x—ab2 2 ，整理得a2+b2=c2.【证法2】（邹元治证明）B、F、C三点在一条直线上，以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上C、B、F、C三点在一条直线上，C9abHFabBAaERtAHAE丝RtAC9abHFabBAaE・.・ZAHE=ZBEF.•/ZAEH+ZAHE=90°,・.・ZAEH+ZBEF=90°.・.・ZHEF=180°—90°=90°..•・四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. b•/RtAGDH丝RtAHAE,

・.・ZHGD=ZEHA.ZHGD+ZGHD=90°,・.・ZEHA+ZGHD=90°.又ZGHE=90°,・.・ZDHA=90°+90°=180°.・・・ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于・+b*..（a+b）2=4x—ab+c2・・ 2 . ・•a2+b2=c2.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2•.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.•/RtADAH丝RtAABE,・.・ZHDA=ZEAB.•/ZHAD+ZHAD=90°,・.・ZEAB+ZHAD=90°,・・・ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.•/EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°.・・・EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于(-a农4x^ab+(b-a*=c22・•a2+b2=c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）baAbEaB以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.DbaAbEaBRtAEAD・ZRtAEAD・ZADE=ZAED+ZAED+ZBEC.ZADE=90°,ZBEC=90°.・.・ZDEC=180°—90°=90°.・.・ADEC是一个等腰直角三角形，^2它的面积等于2c.

又ZDAE=90°,ZEBC=90°,・.・AD〃BC・1（ \・.・ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2也+"—(a+b)2=2xLab+—c22 2 2a2+b2=c2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.D、E、F在一条直线上，且RtAGEF丝RtAEBD,・.・ZEGF=/BED,•//EGF+/GEF=90°,・../BED+/GEF=90°,・../BEG=180°—90°=90°.又・.・AB=BE=EG=GA=c,・.・ABEG是一个边长为c的正方形./ABC+/CBE=90°.•/RtAABC丝RtAEBD,/ABC=/EBD.・.・/EBD+/CBE=90°.即 /CBD=90°.又.../BDE=90°,/BCP=90°,BC=BD=a.・.・BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,贝IJ1a2+b2=S+2x—ab,2CCC1 ，c2=S+2x—ab2 ,

【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP#BC,交AC于点P.过点B作BMXPQ,垂足为M；再过点F作FNXPQ,垂足为N.ZBCA=90°,QP〃BC,・.・ZMPC=90°,•/BMXPQ,・.・ZBMP=90°,・.・BCPM是一个矩形，即ZMBC=90°.•/ZQBM+ZMBA=ZQBA=90°，ZABC+ZMBA=ZMBC=90°，・.・ZQBM=ZABC，又ZBMP=90°，ZBCA=90°，BQ=BA=c，・RtABMQ丝RtABCA.同理可证RtAQNF丝RtAAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）・【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上BF、CD.过C作CL±DE，交AB于点M，交DE于点L.•/AF=AC，AB=AD，ZFAB=ZGAD，・.・AFAB丝AGAD，心1a2・.•AFAB的面积等于2，AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，・.・矩形ADLM的面积=a2.同理可证，矩形MLEB的面积连结・.•正方形ADEB的面积连结=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积c2=a2+b2，艮Pa2+b2=c2.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB，垂足是D.C从而有BC2=BD•AB.在C从而有BC2=BD•AB.ZADC=ZACB=90°，ZCAD=ZBAC，・.・AADCsAACB.AD:AC=AC:AB，艮PAC2=AD•AB.同理可证，ACDBsAACB，...AC2+BC2=（AD+DB）•AB=AB2，艮口a