空间向量及其运算的坐标表示

1.3空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】课程标准学科素养1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示．2.会判断两向量平行或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝减法a－ba－b＝数乘λaλa＝数量积a·ba·b＝空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a·b＝模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝夹角cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【预习检测】1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则点B的坐标是()A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定判断对错。(1)空间直角坐标系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与终点B的坐标相同．()(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2).()(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))的坐标相同．()(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．()【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．[跟踪训练]1如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.eq\o(AM,\s\up6(→))＝________，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝________.题型二空间向量的坐标运算例2（1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________.[跟踪训练]2若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.题型三空间向量坐标运算的运用例3设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[跟踪训练]3已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.【当堂达标】1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为()A.0° B.45° C.90° D.180°2.设O为坐标原点，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点B应为()A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形4．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)6.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(55),5) C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(11,5)7.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．8.设O为坐标原点，向量eq\o(OA,\s