北师大版八年级数学下学期期中质量检测卷（三）含答案与解析

北师大版八年级（下）期中质量测试卷（三）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：100分）

班级姓名学号分数

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对

应的位置上，并认真核对；

2.答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；

3.考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）

1.下列所述图形中，是中心对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

2.若等腰三角形的底角为72。，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

3.下列各选项中因式分解正确的是()

A.x2-l=(x-l)2B.2a~+a—cr(a2)

C.-2/+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n^m-\y

4.在平面直角坐标系中，点A（2,0）,点B（0,1）,将线段AB绕点A顺时针旋转60。得到线段AC,则

线段BC长为（）

A.72B.括C.75D.如

（a1、a-1

5.当a=2020时，一7一——~U的值是（）

l4+la+\J（a+1）

A.2021B.2021.5C.2020D.2020.5

6.下列说法正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.线段垂直平分线上的点到线段的距离相等

D.同角（或等角）的余角互补

x—1>0

7.不等式组C，的解集在数轴上表示正确的是（）

5—2x21

A

c.

012

8.如图，在^ABC中，AC=5,BC=4近，BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E.连接CD,

若CDXAB,则^ABC的面积为（）

A.12B.14C.24D.28

9.如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角/BAF的角平分线相交于点P,且/APB=

10.如图，点P是△ABC内一点，AP1BP,BP=12,CP=15,点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC

的中点，若四边形DEFG的周长为28,则AP长为（）

二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：a2+3a=.

12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是.

13.如图，在平面直角坐标系中，将点P（4,6）绕坐标原点O顺时针旋转90。得到点Q,则点Q的坐标为

5x+lAB

i4-已知西FT二则实数A+B

15.在A4BC中，若NB=45。，AB=10、历，AC=5#），则A4BC的面积是.

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD

的边上，若AAEF为等腰三角形，则EF的长为.

三、解答题（共52分）

1+2x

17.解不等式：-^―>x-1.

3x)x-2

18.化简:（冗一

x+1%2+2尤+1

19.如图，在9x7的网格中，每个小正方形边长都是1,其顶点叫做格点，图中A、B、D、E均为格点，

ABD为格点三角形.

（1）直接在网格中画。ABCD,要求C点在格点上；

（2）直接在网格中将（1）中。ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF,再以线段

EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH；

（3）直接填空：（2）中正方形EFGH的周长是（长度单位）.

20.如图，在口BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A,连接CD,

AF.

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）若CA=CB,贝胆ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）.

21.某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路.实际施工时，每月的

工效比原计划提高了20%,结果提前3个月完成这一工程.求原计划完成这一工程的时间是多少个月？

22.某水果超市计划购进A与B两种苹果.已知每箱A种苹果的进价为60元，如果一次购进A种苹果超

过20箱，超出部分可以享受七折优惠；每箱B种苹果的进价为54元，没有优惠.设超市计划购进x(x>0,

且x为整数)箱苹果.

(1)若超市只购进A种苹果需要花费y元，求y与x之间的函数关系式：

(2)超市决定在A、B两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省

钱.

23.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一个)；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+X(1+x)n=(直接填空)；

(3)运用上述结论求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中x=#-1-

24.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为(0,6),点P在线段AB上，ZOAB

=ZAOP=30°.

(1)求点P的坐标；

(2)将△AOP绕点0顺时针方向旋转，旋转角度为a((TVa<180。)，旋转中的三角形记为△A1OP1(点

A、P的对应点分别Al、P1),在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M,直线OP1交直线AB于点N,

当AOMN为等腰三角形时，请直接写出a的值.

图1图2

25.如图1,△ABC是等腰直角三角形，AB=BC,ZABC=90°,线段BD可绕点B在平面内旋转，BD=

4.

(1)若AB=8,在线段BD旋转过程中，当点B,C,D三点在同一直线上时，直接写出CD的长.

(2)如图2,若将线段BD绕点B按顺时针方向旋转90。，得到线段BE,连接AE,CE.

①当点D的位置由△ABC外的点D转到其内的点E处，且NAEB=135。，AE=2j］时，求CE的长；

②如图3,若AB=8,连接DE,将△BDE绕点B在平面内旋转，分别取DE,AE,AC的中点M,P,N,

连接MP,PN,NM,请直接写出△MPN面积S的取值范围.

参考答案与试题解析

四、选择题(共10题，每小题3分，共30分)

1.下列所述图形中，是中心对称图形的是()

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

【答案】B

试题解析：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；

B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；

C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；

D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

2.若等腰三角形的底角为72。，则这个等腰三角形的顶角的度数是()

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【详解】••,等腰三角形的底角为72。,

二等腰三角形的顶角=180。-72°-72。=36。.

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

3.下列各选项中因式分解正确的是()

A.x2-1=(%-1)B.a，—2/+a=/(a-2)

C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n-/i(m-1)'

【答案】D

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可.

【详解】解：A.X2-1=(X+1)(X-1),故此选项错误；

B.a3-2a2+«=a(a-l)2,故此选项错误；

C.-2/+4y=-2y(y-2),故此选项错误；

D.m2n-2mn+n-,正确.

故选D.

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

4.在平面直角坐标系中，点A(2,0),点B(0,1),将线段AB绕点A顺时针旋转60。得到线段AC,则

线段BC长为()

A.屈B.币C.75D.710

【答案】C

【分析】△ABC是等边三角形，求出AB即可解决问题.

【详解】解：如图,

VA(2,0),B(0,1),；.AB=AC=正+22=小，

VZBAC=60°,AB=AC,.'△ABC是等边三角形，；.BC=AB=g

故选：C.

【点睛】本题考查旋转的性质和等边三角形的判定和性质.熟练掌握等边三角形的判定定理和性质定理是

解题的关键.

(a1、a-1

5.当a=2020时，一7----~~群的值是(

1a+\)g+i)

A.2021B.2021.5C.2020D.2020.5

【答案】A

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得.

(a1、a-1

【详解】—7一~77-7--7

1a+(Q+1)

_a-1a-1

Q+l(q+l)2

Q—1(Q+1)~

Q+1CI—1

=a+1,

当a=2020时，

原式=2020+1=2021,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

6.下列说法正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.线段垂直平分线上的点到线段的距离相等

D.同角（或等角）的余角互补

【答案】B

【分析】根据平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、余角的性质分别对各个选项进行判断，

即可得出结论.

【详解】A、•.•平行四边形的对角线互相平分，

二选项A不符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，

...选项B符合题意；

C、•.•线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，

.•.选项C不符合题意；

D、•.•同角（或等角）的余角相等，

.•・选项D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、余角的性质等知识；熟练掌握平

行四边形的判定与性质是解题的关键..

x—1>0

7.不等式组°，的解集在数轴上表示正确的是（）

5-2x>1

A.IB,ZZ3-1_>

01230123

C

【答案】c

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

【详解】解：解不等式x—l>0得x>l,

解不等式5—2x21得xW2,

则不等式组的解集为l<x«2,

故选C.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

8.如图，在AABC中，AC=5,BC=4、5，BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E.连接CD,

若CDLAB,则△ABC的面积为（）

A.12B.14C.24D.28

【答案】B

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC,则可判断△BCD为等腰直角三角形，得出

8。=。。=也8。=4,再利用勾股定理计算出AD,然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积.

2

【详解】解：VCD±AB,.•.NCDB=NCDA=90。，

：DE垂直平分BC,；.DB=DC,.♦.△BCD为等腰直角三角形，

万/?

ABD=CD=BC=x4J2=4，

22

在RtZkADC中，AD=6—42=3,，AB=4+3=7,

ASAABC=—xCDxAB=-x4x7=14.故选：B.

22

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相

等

9.如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角NBAF的角平分线相交于点P,且NAPB=

【答案】C

【分析】根据多边形ABCDEF是正六边形，可得/FAB=120。，再根据AP是/FAB的角平分线，可得

ZPAB=60°,最后根据三角形内角和即可求出/ABP的度数，进而求出/CBP的度数.

【详解】•••多边形ABCDEF是正六边形，

（6-2）x180°

，ZFAB=ZABC=-i-------L---------=120°，

6

VAP是NFAB的角平分线，ZPAB=-ZFAB=60°,

2

ZAPB=40°,ZABP=1800-ZPAB-NABP=80°,

二ZCBP-ZABC-NABP=40。.故选：C.

【点睛】本题考查了多边形内角和定理以及角平分线的定义，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理.

10.如图，点P是△ABC内一点，AP±BP,BP=12,CP=15,点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC

的中点，若四边形DEFG的周长为28,则AP长为（）

【答案】C

【分析】根据三角形的中位线定理得到DG=EF=!PC=5X15=£,DE=FG=-AB,求得AB=13,根据勾

2222

股定理即可得到结论.

【详解】；点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC的中点,

.•.DG=EF=-PC=-x15=—,DE=FG=1AB,:四边形DEFG的周长为28,

2222

1151513

DE=FG=-x(28--------)=—,.,.AB=13,

2222

VAPIBP,BP=12,AP=y/AB2-PB2=V132-122=5'故选：c.

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.

五、填空题(共6题，每小题3分，共18分)

11.分解因式：a2+3a=.

【答案】a(a+3).

【解析】a1+3a=a(a+3).

12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是.

【答案】8

【详解】解：设边数为n,由题意得，

180(n-2)=360x3

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

13.如图，在平面直角坐标系中，将点P(4,6)绕坐标原点。顺时针旋转90。得到点Q,则点Q的坐标为

【答案】(6,-4)

【分析】画出坐标系，然后找到旋转后得到的Q点，根据三角形全等找到对应线段，从而求出坐标.

【详解】解：作图如下，

VZMPO+ZPOM=90°,ZQON+ZPOM=90°,AZMPO=ZQON,

4PM0=NONQ

在APMO和AONQ中，\ZMPO^ZNOQ,/.APMO^AONQ(AAS),

PO=OQ

.,.PM=ON,OM=QN,：P点坐标为(4,6),；.Q点坐标为(6,-4),

故答案为(6,-4).

【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系，关键是根据旋转的条件，确定全等三角形.

5x+lAB

14-已知)(X+2)=KT-P则实数A+B=

【答案】5

【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求.

5x4-1A(x+2)+B(x-l)

【详解】解：等式整理得:

(x-l)(x+2)(x—l)(x+2)

，5x+l=A(x+2)+B(x・l),・・.5x+l=(A+B)x+2A・B,即A+B=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了分式的加减.解题的关键是通分.

15.在A4BC中，若28=45°，AB=10j5，4c=5后，则AABC的面积是.

【答案】75或25

【分析】过点A作AO_LBC十点D,通过解直角三角形及勾股定理可求出AO,BD,C。的长，进而可

得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出AABC的面积.

【详解】解：过点A作AO18C,垂足为。，如图所示.

在RfAAB。中，AD=AB-sinB=10,BD=AB-cosB=10：

在RfMCO中，A£>=10,AC=5乔，=CD=JAC?-AD?=5,

BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，二AO=75或25.

故答案为75或25.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及•:角形的面积，通过解直角•:角形及勾股定理，求出AD.

8C的长度是解题的关键.

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD

的边上，若AAEF为等腰三角形，则EF的长为

【答案】3/或3或§

【分析】△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30。直角三角形性质、平行四边形

的性质可求解.

【详解】解：当AE=AF时，如图，过点A作A”J.E/于“，

•.•E是A3的中点，

:.AE=-AB=3,

2

-.-AE=AF,AH1EF,NA=120°,

ZAEF=NAFE=30°,FH=EH.

.-.AH=-AE=-,EH=,

222

EF=2EH=36，

当Ab=ER时，如图2,

过点A作AN，CO于N,过点尸作尸M，AS于M,

ME

B

DNF。

图2

•.•在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=4,NA=120°,

AD=BC=4,ZADC=60°,

NDAN=30°,

:.DN=^AD=2,AN=&DN=20

•;AB/ICD,ANLCD,FM上AB,

:.AN=MF=26

•••AF=EF,FMLAB,

3

.-.AM=ME=-,

2

EF={ME?+MF?=J12+：=~~；

当AE=EF=3时，如图3,

图3

EF=3,

综上所述：EF的长为3G或3或4.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本

题的关键.

六、解答题（共52分）

1+2.x

17.解不等式：----->x-1.

3

【答案】x<4

【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可.

1+2x

【详解】解：------>x-1,l+2x>3x-3,

3

2x-3x>-3-1,-x>-4,x<4.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.

3x、x-2

18.化简:(x-—r)4--~~7

x+1x+2%+1

【答案】x2+x

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，即可解答

/3x、x-2

【详解】化简:(x-----)+—；-------

x+1x~+2x+1

修T「x(x+l)3x~\(x+l)2

解：原式=------------x-i------

x+1x+1x-2

_^+x—(x+1)

%+1x—2

=x(x—2)x%+；

x2+x

【点睛】此题考查分式的化简，掌握运算法则是解题关键

19.如图，在9x7的网格中，每个小正方形边长都是1,其顶点叫做格点，图中A、B、D、E均为格点，

ABD为格点三角形.

(1)直接在网格中画。ABCD,要求C点在格点上；

(2)直接在网格中将(1)中口ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF,再以线段

EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH；

(3)直接填空：(2)中正方形EFGH的周长是(长度单位).

【答案】(I)见解析；(2)见解析；(3)4M

【分析】（1）把线段AB平移，使点A平移到D点，则B点的对应点为C点，连接BC,平行四边形ABCD

即为所求；

（2）把C点向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到F点，然后把EF绕E点顺时针旋转90。得到EH,

把EF绕F点逆时针旋转90。得到FG,则四边形EFGH为正方形；

（3）先利用勾股定理计算出EF,从而得到正方形EFGH的周长.

【详解】（I）如图，四边形ABCD为所作；

（2）如图，线段EF、正方形EFGH为所作；

（3）EF=4+32=而,

...正方形EFGH的周长=4EF=4.

故答案为4M.

【点睛】本题考查图象的平移、旋转及勾股定理的应用，熟练掌握平移的性质、网格的特征及勾股定理是

解题关键.

20.如图，在口BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A,连接CD,

AF.

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）若CA=CB,则nADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）.

【分析】（1）首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线

互相平分的四边形为平行四边形证明即可.

（2）先证明DE=AE=EC=，AC.根据三角形一边的中线等于这边的一半，则这个一角形为直角三角形，得到

2

NADC=90。，即可得到。ADCF为矩形.

【详解】解：（1）在平行四边形BCFD中，DE//BC,

是DF的中点，.•.DE=[BC,.，.DE是AABC的中位线，

...E是AC的中点，四边形ADCF是平行四边形.

（2）：CA=CB,DE是△ABC的中位线，

.,.DE=LBC」AC=AE=EC,AZADC=90°,，LJADCF是矩形.

22

故答案为：矩形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是

结合图形，熟练运用相关的判定和性质进行证明.

21.某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路.实际施工时，每月的

工效比原计划提高了20%,结果提前3个月完成这一工程.求原计划完成这一工程的时间是多少个月？

【答案】原计划完成这一工程的时间是18个月

【分析】设原计划完成这一工程的时间为x个月，根据实际施工的工效=（l+20%）x原计划的工效建立方程

求出其解即可.

【详解】解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，

由题意，得：（l+20%）x—=-------,解得：x=18.

xx-3

经检验，x=18是原方程的解.

答：原计划完成这一工程的时间是18个月.

【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是

关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤.

22.某水果超市计划购进A与B两种苹果.已知每箱A种苹果的进价为60元，如果一次购进A种苹果超

过20箱，超出部分可以享受七折优惠；每箱B种苹果的进价为54元，没有优惠.设超市计划购进x（x>0,

且x为整数）箱苹果.

（1）若超市只购进A种苹果需要花费y元，求y与x之间的函数关系式；

（2）超市决定在A、B两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省

钱.

60x(0<x<20)

【答案】⑴y=,且x为整数；(2)当x<30时，购进B种苹果更省钱，当x=30时,

42x+360(x>20)

购两种苹果花费一样多，当x>30时，购买A种苹果更省钱

【分析】(1)根据题意，利用分类讨论的方法，可以写出y与x之间的函数关系式：

(2)根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到超市选择购进哪种苹果更省钱.

【详解】解：(1)当0<xW2()月.x为整数时，y=60x,

当x>20且x为整数时，y=20x60+60(x-20)x0.7=42x+360,

60x(0<x<20)

由上可得，y与x之间的函数关系式为.小且x为整数；

42x+360(x>20)

(2)当54x<42x+360时，得x<30,即x<30时，购进B种苹果更省钱,

当54x=42x+360,即x=30,即当x=30时，购两种苹果花费一样多；

当54x>42x+360,得x>30,即当x>30时，购买A种苹果更省钱.

综上可知，当xV30时，购进B种苹果更省钱，当x=30时，购两种苹果花费一样多，当x>30时，购买

A种苹果更省钱.

【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，分两段列出函数解析

式是解(1)的关键，分三种情况讨论是解(2)的关键.

23.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一个);

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+,..+x(1+x)n=(直接填空)；

(3)运用上述结论求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中

【答案】(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1；(3)36

【分析】(1)观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可：

(2)由题意根据题中的方法确定出所求即可；

(3)由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.

【详解】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)[l+x+x(1+x)+x(1+x)2]

=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)(1+x)[(1+x)(14-X)]

=(1+x)4；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n

=(1+x)[1+x+x(1+x)+...+x(1+x)n-1]

=(1+x)n[(1+x)(1+x)n-n]

=(1+x)n(1+x)

=(1+x)n+1；

(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)4,

当x=#-1时，原式=(l+>/6-04=(m)4=36.

故答案为：(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1.

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为(0,6),点P在线段AB上，ZOAB

=ZAOP=30°.

(1)求点P的坐标；

(2)将△AOP绕点O顺时针方向旋转，旋转角度为a(0。<(1<180。)，旋转中的三角形记为△A1OP1(点

A、P的对应点分别Al、P1),在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M,直线OP1交直线AB于点N,

当4OMN为等腰三角形时，请直接写出a的值.

图1图2

【答案】（1）P（、后，3）;（2）当AOMN为等腰：角形时，a的值是45。或90。或135。

【分析】（1）如图1,过P作PH_LOB于H,根据三角形中位线定理得PH=3,由含30度的直角三角形的

性质可得OB的长，从而得OH的长，即可解决问题；

（2）分情况讨论：若NO=NM,则由旋转的性质可得NNOM=/NMO=30。，此时M、A重合，不符合题意：

如图2,当OM=ON,旋转角小于90。时，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性

质求解；如图3,当OM=MN时，可直接得出a=90。；如图4,当OM=ON,旋转角大于90。时，根据旋

转的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可.

【详解】解：（1）如图1,过P作PHLOB于H.

图1

♦.•点A的坐标为（0,6）,；.OA=6,

VZOAB=ZAOP=30°,

二NABO=NBPO=60°,AP=OP,

.♦.△OBP是等边三角形，

，AP=OP=BP,

VPH/7OA,；.OH=BH,

:.PH='OA=3,

2

RQAOB中，VZBAO=30°,/.OB=2^,

.♦.P（73-3）；

（2）若NO=NM,则NNOM=NNMO=30。，此时M、A重合，不符合题意;

如图2,当OM=ON,旋转角小于90。时，则/OMN=NONM,

・♦・/OMN=75。，

TNBAO=30。，

/.a=ZOMN-ZBAO=75°-30°=45°；

如图3,当OM=MN时，a=90。；

如图4,当OM=ON,旋转角大于90。时，ZAOP=ZAlOPl=30°,

VZAOAl=ZPOPl=a,

/.ZAON=180°-a-30°=150°-a,

VOM=ON,

AZN=ZM=60°-(a-90°)=150°-a,

VZOAP=ZN+ZAON,

A30°=2(150°-a),

解得：a=135°；

综上，当AOMN为等腰三角形时，a